函数的概念及表示方法
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?x
| x|? 1 | x|? 1
7．复合函数： 若y=f(u),u=g(x),x? (a,b), u? (m,n),那么y=f[g(x)]称为复合函数， u称为中间
变量，它的取值范围是 g(x)的值域.
特级教师 王新敞
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例1 判断下列各式中哪些可确定 y是x的函数？ 为什么？
(1)x2 ? y ? 1
2
（3） 图象法 （如图）
函数的值域是 {2,4,6,8}
O 1 2 34 5 6
x
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8．求函数定义域一般有三类问题： （1）给出函数解析式的：函数的定义域是 使解析式有意义的自变量的取值集合； （2）实际问题：函数的定义域的求解除 要考虑解析式有意义外，还应考虑使实 际问题有意义；
(2)x ? y2 ? 1
(3) y ? 1? x x?1
(4) y ? 1? x ? x ? 1.
答： （1）、（4）可确定 y是x的函数；
（2）、（3）不能确定 y是x的函数.
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例2 下图中不可能是函数图象的是（ B ）
y
y
y
y
。
o
x
o
x
o。 x
o
x
A
B
C
D
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根据余弦定理得
x
y
3-x
12 ? y 2 - 2ycosθ ? (3 ? x) 2
①B 1
θq
D1
C
12 ? y 2 - 2ycos(? - θ) ? x 2 .
②
由①＋②整理得 y ? x2 ? 3x ? 7 .
2
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例2 在△ABC中，BC=2 ，AB+AC=3，中线
? f（ x 2 ? 1）的定义域为 [? 3， 3 ].
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例5
已知f (x ?
1) ? x
x2
?
1 x2
，求（f x）的解析式.
解：令t
?
x?
1 x
，
则x2
?
1 x2
?
t2
?
2.
? f (t) ? t 2 ? 2
? f ( x) ? x2 ? 2.
换元法
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4.映射的定义 ：一般地，设 A、B是两个集 合，如果按照某种对应关系 f，对于集合 A中的 任何一个元素，在集合 B中都有唯一的元素和它 对应，那么，这样的对应（包括集合 A、B，以 及集合A到集合B的对应关系 f）叫做集合 A到集 合B的映射，记作 f:A→B.
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3.两个函数的相等： 函数的定义含有三个要素， 即定义域A、值域C和对应法则 f. 当函数的定义 域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函 数的值域也就随之确定 .因此，定义域和对应法 则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数 的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函 数才是同一个函数 .
?
0
或
?a ??Δ
? ?
Baidu Nhomakorabea
0, a2
?
4a
?
(? 3)
?
0,
可得 ? 12 ? a ? 0 .
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例2 在△ABC中，BC=2，AB+AC=3，中线
AD的长为 y，AB的长为 x，建立 y与 x的函数关系
式，并指出其定义域 .
A
解：设 ? ADC ? θ ，则 ? ADB ? ? ? θ .
AD的长为 y，AB的长为 x，建立 y与x的函数关系
式，并指出其定义域 .
A
由①＋②整理得 y ? x2 ? 3x ? 7 .
1.函数的定义： 设A、B是非空的数集，如果按 某个确定的对应关系 f，使对于集合 A中的任意一 个数x，在集合 B中都有唯一确定的数 f（x）和它 对应，那么就称 f:A→B为从集合 A到集合B的一个 函数，记作
y=f（x），x∈A， 其中x叫做自变量 .x的取值范围 A叫做函数的定义 域；与x的值相对应的 y的值叫做函数值，函数值 的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域 .
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（3）已知f(x)的定义域求 f[g(x)]的定义域 或已知f[g(x) 】的定义域求 f(x)的定义域：
①掌握基本初等函数（尤其是分式函数、无 理函数、对数函数、三角函数）的定义域；
②若已知 f(x) 的定义域 [a,b] ，其复合函数 f[g(x)]的定义域应由 a≤g(x)≤b解出．
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2.表示函数的常用方法： 列表法，解析法，图象法 .
列表法 简洁明了，函数的“输入值”与“输出 值”一目了然 .
解析法 表示函数，函数关系清楚，容易从自 变量求出其对应的函数值，便于用解析式研究函 数的性质 .
图象法 的优点是能直观地反映函数值随自变 量值变化的趋势 .
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练习
1.购买某种饮料 x听，所需钱数为 y元. 若每听2元， 试分别用解析法、列表法、图象法将 y表示成x （x∈{1,2,3,4}）的函数，并y指出该函数的值域 . 解：（1）解析法：
y=2x, x∈{1,2,3,4}. 8
（2）列表法：
6
X/听 1 2 3 4
4
Y/元 2 4 6 8
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例4 已知f (x)的定义域是 [? 2, 2]，求f (x2 ? 1)的定义域.
解：? f (x)的定义域为[? 2，2]
? f (x2 ? 1)的定义域就是满足 ? 2 ? x2 ? 1 ? 2 的x的集合.
由 ? 2 ? x2 ? 1，得x2 ? ? 1，解集为R. 由x2 ? 1 ? 2，得x2 ? 3，解集为[? 3， 3].
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特级教师
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例 1 已知函数 f (x) =
3 3x ? 1
的定义域
ax 2 ? ax ? 3
是 R，则实数 a 的取值范围是 ( B )
A. a ? 1 3
B. ? 12 ? a ? 0
C. ? 12 ? a ? 0
D. a ? 1 3
剖析：由 a
由映射和函数的定义可知，函数是一类特 殊的映射，它要求 A、B非空且皆为数集 .
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5.映射的概念中象、原象的理解： (1) A中每
一个元素都有象 ;(2)B中每一个元素不一定都有原
象，不一定只一个原象； (3)A中每一个元素的象
唯一. 6．分段函数：如
? x2 f (x) ? ?
| x|? 1 | x|? 1
7．复合函数： 若y=f(u),u=g(x),x? (a,b), u? (m,n),那么y=f[g(x)]称为复合函数， u称为中间
变量，它的取值范围是 g(x)的值域.
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例1 判断下列各式中哪些可确定 y是x的函数？ 为什么？
(1)x2 ? y ? 1
2
（3） 图象法 （如图）
函数的值域是 {2,4,6,8}
O 1 2 34 5 6
x
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8．求函数定义域一般有三类问题： （1）给出函数解析式的：函数的定义域是 使解析式有意义的自变量的取值集合； （2）实际问题：函数的定义域的求解除 要考虑解析式有意义外，还应考虑使实 际问题有意义；
(2)x ? y2 ? 1
(3) y ? 1? x x?1
(4) y ? 1? x ? x ? 1.
答： （1）、（4）可确定 y是x的函数；
（2）、（3）不能确定 y是x的函数.
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例2 下图中不可能是函数图象的是（ B ）
y
y
y
y
。
o
x
o
x
o。 x
o
x
A
B
C
D
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根据余弦定理得
x
y
3-x
12 ? y 2 - 2ycosθ ? (3 ? x) 2
①B 1
θq
D1
C
12 ? y 2 - 2ycos(? - θ) ? x 2 .
②
由①＋②整理得 y ? x2 ? 3x ? 7 .
2
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例2 在△ABC中，BC=2 ，AB+AC=3，中线
? f（ x 2 ? 1）的定义域为 [? 3， 3 ].
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例5
已知f (x ?
1) ? x
x2
?
1 x2
，求（f x）的解析式.
解：令t
?
x?
1 x
，
则x2
?
1 x2
?
t2
?
2.
? f (t) ? t 2 ? 2
? f ( x) ? x2 ? 2.
换元法
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4.映射的定义 ：一般地，设 A、B是两个集 合，如果按照某种对应关系 f，对于集合 A中的 任何一个元素，在集合 B中都有唯一的元素和它 对应，那么，这样的对应（包括集合 A、B，以 及集合A到集合B的对应关系 f）叫做集合 A到集 合B的映射，记作 f:A→B.
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3.两个函数的相等： 函数的定义含有三个要素， 即定义域A、值域C和对应法则 f. 当函数的定义 域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函 数的值域也就随之确定 .因此，定义域和对应法 则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数 的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函 数才是同一个函数 .
?
0
或
?a ??Δ
? ?
Baidu Nhomakorabea
0, a2
?
4a
?
(? 3)
?
0,
可得 ? 12 ? a ? 0 .
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例2 在△ABC中，BC=2，AB+AC=3，中线
AD的长为 y，AB的长为 x，建立 y与 x的函数关系
式，并指出其定义域 .
A
解：设 ? ADC ? θ ，则 ? ADB ? ? ? θ .
AD的长为 y，AB的长为 x，建立 y与x的函数关系
式，并指出其定义域 .
A
由①＋②整理得 y ? x2 ? 3x ? 7 .
1.函数的定义： 设A、B是非空的数集，如果按 某个确定的对应关系 f，使对于集合 A中的任意一 个数x，在集合 B中都有唯一确定的数 f（x）和它 对应，那么就称 f:A→B为从集合 A到集合B的一个 函数，记作
y=f（x），x∈A， 其中x叫做自变量 .x的取值范围 A叫做函数的定义 域；与x的值相对应的 y的值叫做函数值，函数值 的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域 .
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（3）已知f(x)的定义域求 f[g(x)]的定义域 或已知f[g(x) 】的定义域求 f(x)的定义域：
①掌握基本初等函数（尤其是分式函数、无 理函数、对数函数、三角函数）的定义域；
②若已知 f(x) 的定义域 [a,b] ，其复合函数 f[g(x)]的定义域应由 a≤g(x)≤b解出．
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2.表示函数的常用方法： 列表法，解析法，图象法 .
列表法 简洁明了，函数的“输入值”与“输出 值”一目了然 .
解析法 表示函数，函数关系清楚，容易从自 变量求出其对应的函数值，便于用解析式研究函 数的性质 .
图象法 的优点是能直观地反映函数值随自变 量值变化的趋势 .
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练习
1.购买某种饮料 x听，所需钱数为 y元. 若每听2元， 试分别用解析法、列表法、图象法将 y表示成x （x∈{1,2,3,4}）的函数，并y指出该函数的值域 . 解：（1）解析法：
y=2x, x∈{1,2,3,4}. 8
（2）列表法：
6
X/听 1 2 3 4
4
Y/元 2 4 6 8
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例4 已知f (x)的定义域是 [? 2, 2]，求f (x2 ? 1)的定义域.
解：? f (x)的定义域为[? 2，2]
? f (x2 ? 1)的定义域就是满足 ? 2 ? x2 ? 1 ? 2 的x的集合.
由 ? 2 ? x2 ? 1，得x2 ? ? 1，解集为R. 由x2 ? 1 ? 2，得x2 ? 3，解集为[? 3， 3].
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例 1 已知函数 f (x) =
3 3x ? 1
的定义域
ax 2 ? ax ? 3
是 R，则实数 a 的取值范围是 ( B )
A. a ? 1 3
B. ? 12 ? a ? 0
C. ? 12 ? a ? 0
D. a ? 1 3
剖析：由 a
由映射和函数的定义可知，函数是一类特 殊的映射，它要求 A、B非空且皆为数集 .
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5.映射的概念中象、原象的理解： (1) A中每
一个元素都有象 ;(2)B中每一个元素不一定都有原
象，不一定只一个原象； (3)A中每一个元素的象
唯一. 6．分段函数：如
? x2 f (x) ? ?