数学物理方法_第7章 Green函数法
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G(M , M 0 ) u(M ) u(M ) G(M , M 0 ) u(M ) (M M 0 ) G(M , M 0 )h(M ) 将上式在 上 对 M ( x, y, z ) 积分，利用Green
2 2
公式，经过繁复的推导，并考虑Green函 数的对易性 G(M , M0 ) G(M0 , M ) 得到
其中， G(M , M 0 ) 为二维Poisson方程的Dirichlet -Green函数，即定解问题
G( M , M 0 ) ( M M 0 ) ( M D), G( M , M ) 0 (7.2.22) 0 c
2
的解。 应当指出，Green法，即解的积分表示具 有上述理论意义，在实际求解中，只有几种 特殊边界可以求出Green函数，下面我们 来讨论求Green函数的一种特殊方法—电 像法。
因此，普遍地说，Green函数是一个点源在 一定的边界条件和（或）初始条件下所产生 的场，利用Green函数，可求出任意分布的 源所产生的场。下面以Poisson方程的第一、 二、三类边界条件为例进一步阐明Green函 数的概念，并讨论Green函数法—解的积分 表示。
§7.2 Poisson方程的边值问题 三维Poisson方程的边值问题，可以统一写成
1
0
可见，只要从式（7.2.6）和式（7.2.15）中 解出G(M , M0 ) 则式（7.2.16）也已全部由已知 量表示。我们称方程（7.2.6）和边界条件 （7.2.15）所构成的定解问题
2G(M , M 0 ) (M M 0 ) (M ), n G( M , M 0 ) G(M , M 0 ) 0 S 的解 G(M , M 0 ) 为由方程（7.2.1）和边界条件
u
容易些。不仅如此，对方程（7.2.1）中不同的 非齐次项 h( M ) 和边界条件（7.2.2）中不同 g ( M ) 只要属于同一类型的边界条件， 的
，
) 函数 G(M , M0都是相同的。这就把解 Poisson
方程的边值问题化为在几种类型边界条件下 求Green函数 G(M , M0 ) 的问题。 类似于上面的讨论过程，可以得到二维 Poisson方程的各类边值问题的积分公式。 如二维Poisson方程的Dirichlet问题
1 1 u(M ) G(M , M 0 )h(M 0 )d G(M , M 0 ) g ( M ) u( M 0 ) dS S
u(M ) dS
0 S
1
与 M 无关，为常数，故有
S
u(M ) C G(M , M 0 )h(M 0 )d G(M , M 0 ) f (M ) dS
G(M , M 0 ) (M M 0 ) (M )
2
其中 M0 M0 ( x0 , y0 , z0 ) 为区域 中的任意点， G(M , M 0 ) 为在 M 0 则由 的函数定义知， 点的点源所产生的场，以函数 G(M , M 0 ) 乘式（7.2.1）的两边，同时以函数 u ( M ) 乘式（7.2.6）的两边，然后相减得
具有奇异性，一般可以用有限形式表示出来， 下面通过具体例子，说明求基本解的方法。 例1 求三维泊松方程的基本解．
解 Green函数满足的方程为
G ( x x0 , y y0 , z z0 )
2
.
(7.3.1)
采用球坐标，并将坐标原点放在源点 M 0 ( x0 , y0 , z0 ) 上，有 r ( x x0 )2 ( y y0 )2 ( z z0 )2
f (M ) g (M ) 其中C为待定常数，
1
（7.2.20）
由上面的讨论看到，在各类非齐次边界条件 下求解Poisson方程（7.2.1），可以先在相应 的同类齐次边界条件下求解Green函数所满 足的方程（7.2.6），然后通过积分公式 （7.2.12）、（7.2.16）或（7.2.20）得到解 u ( M ) 格林函数的定解问题，其方程（7.2.6）形式 上比式（7.2.1）简单，而且边界条件又是齐 次的，因此，相对地说，求G比求解
2G(M , M 0 ) (M M 0 ), G 1 . n S
（7.2.19）
的解为第二类边界条件下，Laplace算符的广 义格林函数，将式（7.2.19）和式（7.2.17）中 的边界条件代入式（7.2.9），得 由于 u 在边界上的分布客观存在，故
从而式（7.2.9）变为
u(M ) G(M , M 0 )h(M 0 )d 0
f ( M 0 ) G ( M , M 0 ) d 0 n0 (7.2.12)
我们称方程（7.2.6）和边界条件（7.2.11） 所构成的定解问题
2G( M , M 0 ) (M M 0 ) ( M ), G( M , M ) 0 0 S
u(M )
(M 0 )
rMM 0
dM 0 G(M , M 0 ) (M 0 )dM 0
(7.1.3)
其中 dM 0 为空间体积元 dx0dy0dz0 的简写。 ) 式中的 G(M , M0 称为方程（ 7.1.1）左边 2 Laplace算符 在无界空间中的Green 函数，用它可以求出方程（7.1.1）在无界 空间的解式（7.1.3）。 在一般的数学物理问题中，要求的是满足 一定边界条件和（或）初始条件的解，相应 的Green函数也就比举例的Green函数要复杂 一些，因为在这种情形下，一个点源所产生 的场还受到边界条件和（或）初始条件的影 响，而这些影响本身也是待定的。
u 1 G ( M , M 0 ) u ( M ) G( M , M 0 ) G( M , M 0 ) g ( M ) n n S
u(M ) G(M , M 0 )h(M 0 )d 0 G(M , M ) g (M )dS
0 0 S
（7.2.2）所构成的定解问题的格林函数，式
（7.2.16）即为由式（7.2.1）和式（7.2.2）
所构成的定解问题的积分形式的解。
（3）第二类边界条件 第二类边界条件时，定解问题为
2u(M ) h(M ) (M ), u 1 g (M ). n S
(7.2.17)
例如，静电场的电势
2
u
满足Poisson方程
(7.1.1)
其中 是电荷密度，根据库仑定律，位于 M 0 点的一个正的点电荷在无界空间中的 M点处产生的电势是
G(M , M 0 ) 1 rMM 0
(7电荷分布密度为 的“源” M点所产生的电势为
.
由于区域是无界的，点源所产生的场应与方 向无关，而只是r的函数，于是式(7.3.1)简化 为
当 r 0 时，方程化为齐次的，即
d 2 dG r 0 dr dr
1 d 2 dG r ( r ) 2 r dr dr
积分两次求得其一般解为
其中 C1和C2 为积分常数。不失一般性，取
2u h( M ) ( M D), u f ( M ) c
(7.2.20)
的积分形式的解，即二维空间的Dirichlet积分 公式为 u(M ) G(M , M 0 )h(M 0 )d 0 f (M 0 ) G(M , M 0 )dl0 n0 D C
7.1 引言 Green函数，有时又称点源函数或者影响函 数，是数学物理中的一个重要概念。这概念 之所以重要是由于以下原因：从物理上看， 在某种情况下，一个数学物理方程表示的是 一种特定的场和产生这种场的源之间的关系 （例如热传导方程表示温度场和热源的关系， Poisson方程表示静电场和电荷分布的关系等 等），而Green函数则代表一个点源所产生 的场，知道了一个点源的场，就可以用叠加 的方法算出任意源的场。
因此，定解（7.2.18）的解不存在。为了解决 这个矛盾，取待定常数 A 作下列定解问题
2G(M , M 0 ) (M M 0 ), G A. n S [ (M M 0 )]d Ad
S
由条件 得出 其中
A
1
S
为曲面S的面积，称
Green函数求法 从上一节的讨论可以看出，求解边值问题 实际上归结为求相应的Green函数，只要求 出Green函数，将其代入相应的积分公式， 就可得到问题的解。 一般来说，实际求Green函数，并非一件容 易的事，但在某些情况下，却可以比较容易 地求出。 一、无界区域的Green函数 无界区域的Green函数G，又称为相应方程 的基本解。G满足含有 函数的非齐次方程
（2）第三类边界条件，即式（7.2.2）中 , 均不为零。若要求 G(M , M0 ) 满足第三类
G(M , M 0 ) G(M , M 0 ) 0 (7.2.15) n S
齐次边界条件，即
则以 G(M , M 0 ) 乘以（7.2.2），以 u ( M ) 乘 以（7.2.15），然后再将两式相减，得 代入式（7.2.9），有
0
在具体的边界条件下，解式有更具体的形式。 （1）第一类边界条件，即在式（7.2.2）中，
0, 则
uS
1
若要求 G(M , M 0 ) 满足第一类齐次边界条件
G( M , M 0 ) S 0
(7.2.11)
g (M ) f (M )
(7.2.10)
u 则式（7.2.9）中的面积分中，含 n0 的项消失
相应的格林函数 G(M , M0 ) 满足
2G(M , M 0 ) (M M 0 ), G 0. n S
.
(7.2.18)
由于 (M M 0 )d 1 但
2
G Gd (G)d G d S dS 0 S S n
(7.2.13)
的解G(M , M 0 ) 为由方程（7.2.1）的边界条件 （7.2.10）所构成的Direchlet问题
2u ( M ) h( M ) ( M ), u f ( M ) S
(7.2.14)
的Green函数。简称Direchlet-Green函数；而 称式（7.2.12）为Direchlet积分公式，它是 Direchlet问题（7.2.14）的积分形式的解。
u(M ) h(M ), M , (7.2.1) u u g (M ). (7.2.2) S n 其中 , 是不同时为零的常数， S 是 的边界。
2
下面推导定解问题（7.2.1）—（7.2.2）用 Green函数表示的解的积分表达式， 引入函数 G(M , M 0 ) 使之满足
u(M ) G(M , M 0 )h(M 0 )d 0
（7.2.9） u G(M , M 0 ) dS0 u(M 0 ) G(M , M 0 )dS0 n0 n0 S S
式（7.2.9）被称为基本积分公式或解的 积分表达式。它的物理意义是十分清楚的: 右边第一个积分代表在区域 中体分布源 h(M ) 在M点产生的场的总和，而第二、三两个积 分则是边界上的源所产生的场。这两种影响 都是由同一Green函数给出的。式（7.2.9） 给出了Poisson方程或Laplace方（ h 0 时） 解的积分表达式。
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公式，经过繁复的推导，并考虑Green函 数的对易性 G(M , M0 ) G(M0 , M ) 得到
其中， G(M , M 0 ) 为二维Poisson方程的Dirichlet -Green函数，即定解问题
G( M , M 0 ) ( M M 0 ) ( M D), G( M , M ) 0 (7.2.22) 0 c
2
的解。 应当指出，Green法，即解的积分表示具 有上述理论意义，在实际求解中，只有几种 特殊边界可以求出Green函数，下面我们 来讨论求Green函数的一种特殊方法—电 像法。
因此，普遍地说，Green函数是一个点源在 一定的边界条件和（或）初始条件下所产生 的场，利用Green函数，可求出任意分布的 源所产生的场。下面以Poisson方程的第一、 二、三类边界条件为例进一步阐明Green函 数的概念，并讨论Green函数法—解的积分 表示。
§7.2 Poisson方程的边值问题 三维Poisson方程的边值问题，可以统一写成
1
0
可见，只要从式（7.2.6）和式（7.2.15）中 解出G(M , M0 ) 则式（7.2.16）也已全部由已知 量表示。我们称方程（7.2.6）和边界条件 （7.2.15）所构成的定解问题
2G(M , M 0 ) (M M 0 ) (M ), n G( M , M 0 ) G(M , M 0 ) 0 S 的解 G(M , M 0 ) 为由方程（7.2.1）和边界条件
u
容易些。不仅如此，对方程（7.2.1）中不同的 非齐次项 h( M ) 和边界条件（7.2.2）中不同 g ( M ) 只要属于同一类型的边界条件， 的
，
) 函数 G(M , M0都是相同的。这就把解 Poisson
方程的边值问题化为在几种类型边界条件下 求Green函数 G(M , M0 ) 的问题。 类似于上面的讨论过程，可以得到二维 Poisson方程的各类边值问题的积分公式。 如二维Poisson方程的Dirichlet问题
1 1 u(M ) G(M , M 0 )h(M 0 )d G(M , M 0 ) g ( M ) u( M 0 ) dS S
u(M ) dS
0 S
1
与 M 无关，为常数，故有
S
u(M ) C G(M , M 0 )h(M 0 )d G(M , M 0 ) f (M ) dS
G(M , M 0 ) (M M 0 ) (M )
2
其中 M0 M0 ( x0 , y0 , z0 ) 为区域 中的任意点， G(M , M 0 ) 为在 M 0 则由 的函数定义知， 点的点源所产生的场，以函数 G(M , M 0 ) 乘式（7.2.1）的两边，同时以函数 u ( M ) 乘式（7.2.6）的两边，然后相减得
具有奇异性，一般可以用有限形式表示出来， 下面通过具体例子，说明求基本解的方法。 例1 求三维泊松方程的基本解．
解 Green函数满足的方程为
G ( x x0 , y y0 , z z0 )
2
.
(7.3.1)
采用球坐标，并将坐标原点放在源点 M 0 ( x0 , y0 , z0 ) 上，有 r ( x x0 )2 ( y y0 )2 ( z z0 )2
f (M ) g (M ) 其中C为待定常数，
1
（7.2.20）
由上面的讨论看到，在各类非齐次边界条件 下求解Poisson方程（7.2.1），可以先在相应 的同类齐次边界条件下求解Green函数所满 足的方程（7.2.6），然后通过积分公式 （7.2.12）、（7.2.16）或（7.2.20）得到解 u ( M ) 格林函数的定解问题，其方程（7.2.6）形式 上比式（7.2.1）简单，而且边界条件又是齐 次的，因此，相对地说，求G比求解
2G(M , M 0 ) (M M 0 ), G 1 . n S
（7.2.19）
的解为第二类边界条件下，Laplace算符的广 义格林函数，将式（7.2.19）和式（7.2.17）中 的边界条件代入式（7.2.9），得 由于 u 在边界上的分布客观存在，故
从而式（7.2.9）变为
u(M ) G(M , M 0 )h(M 0 )d 0
f ( M 0 ) G ( M , M 0 ) d 0 n0 (7.2.12)
我们称方程（7.2.6）和边界条件（7.2.11） 所构成的定解问题
2G( M , M 0 ) (M M 0 ) ( M ), G( M , M ) 0 0 S
u(M )
(M 0 )
rMM 0
dM 0 G(M , M 0 ) (M 0 )dM 0
(7.1.3)
其中 dM 0 为空间体积元 dx0dy0dz0 的简写。 ) 式中的 G(M , M0 称为方程（ 7.1.1）左边 2 Laplace算符 在无界空间中的Green 函数，用它可以求出方程（7.1.1）在无界 空间的解式（7.1.3）。 在一般的数学物理问题中，要求的是满足 一定边界条件和（或）初始条件的解，相应 的Green函数也就比举例的Green函数要复杂 一些，因为在这种情形下，一个点源所产生 的场还受到边界条件和（或）初始条件的影 响，而这些影响本身也是待定的。
u 1 G ( M , M 0 ) u ( M ) G( M , M 0 ) G( M , M 0 ) g ( M ) n n S
u(M ) G(M , M 0 )h(M 0 )d 0 G(M , M ) g (M )dS
0 0 S
（7.2.2）所构成的定解问题的格林函数，式
（7.2.16）即为由式（7.2.1）和式（7.2.2）
所构成的定解问题的积分形式的解。
（3）第二类边界条件 第二类边界条件时，定解问题为
2u(M ) h(M ) (M ), u 1 g (M ). n S
(7.2.17)
例如，静电场的电势
2
u
满足Poisson方程
(7.1.1)
其中 是电荷密度，根据库仑定律，位于 M 0 点的一个正的点电荷在无界空间中的 M点处产生的电势是
G(M , M 0 ) 1 rMM 0
(7电荷分布密度为 的“源” M点所产生的电势为
.
由于区域是无界的，点源所产生的场应与方 向无关，而只是r的函数，于是式(7.3.1)简化 为
当 r 0 时，方程化为齐次的，即
d 2 dG r 0 dr dr
1 d 2 dG r ( r ) 2 r dr dr
积分两次求得其一般解为
其中 C1和C2 为积分常数。不失一般性，取
2u h( M ) ( M D), u f ( M ) c
(7.2.20)
的积分形式的解，即二维空间的Dirichlet积分 公式为 u(M ) G(M , M 0 )h(M 0 )d 0 f (M 0 ) G(M , M 0 )dl0 n0 D C
7.1 引言 Green函数，有时又称点源函数或者影响函 数，是数学物理中的一个重要概念。这概念 之所以重要是由于以下原因：从物理上看， 在某种情况下，一个数学物理方程表示的是 一种特定的场和产生这种场的源之间的关系 （例如热传导方程表示温度场和热源的关系， Poisson方程表示静电场和电荷分布的关系等 等），而Green函数则代表一个点源所产生 的场，知道了一个点源的场，就可以用叠加 的方法算出任意源的场。
因此，定解（7.2.18）的解不存在。为了解决 这个矛盾，取待定常数 A 作下列定解问题
2G(M , M 0 ) (M M 0 ), G A. n S [ (M M 0 )]d Ad
S
由条件 得出 其中
A
1
S
为曲面S的面积，称
Green函数求法 从上一节的讨论可以看出，求解边值问题 实际上归结为求相应的Green函数，只要求 出Green函数，将其代入相应的积分公式， 就可得到问题的解。 一般来说，实际求Green函数，并非一件容 易的事，但在某些情况下，却可以比较容易 地求出。 一、无界区域的Green函数 无界区域的Green函数G，又称为相应方程 的基本解。G满足含有 函数的非齐次方程
（2）第三类边界条件，即式（7.2.2）中 , 均不为零。若要求 G(M , M0 ) 满足第三类
G(M , M 0 ) G(M , M 0 ) 0 (7.2.15) n S
齐次边界条件，即
则以 G(M , M 0 ) 乘以（7.2.2），以 u ( M ) 乘 以（7.2.15），然后再将两式相减，得 代入式（7.2.9），有
0
在具体的边界条件下，解式有更具体的形式。 （1）第一类边界条件，即在式（7.2.2）中，
0, 则
uS
1
若要求 G(M , M 0 ) 满足第一类齐次边界条件
G( M , M 0 ) S 0
(7.2.11)
g (M ) f (M )
(7.2.10)
u 则式（7.2.9）中的面积分中，含 n0 的项消失
相应的格林函数 G(M , M0 ) 满足
2G(M , M 0 ) (M M 0 ), G 0. n S
.
(7.2.18)
由于 (M M 0 )d 1 但
2
G Gd (G)d G d S dS 0 S S n
(7.2.13)
的解G(M , M 0 ) 为由方程（7.2.1）的边界条件 （7.2.10）所构成的Direchlet问题
2u ( M ) h( M ) ( M ), u f ( M ) S
(7.2.14)
的Green函数。简称Direchlet-Green函数；而 称式（7.2.12）为Direchlet积分公式，它是 Direchlet问题（7.2.14）的积分形式的解。
u(M ) h(M ), M , (7.2.1) u u g (M ). (7.2.2) S n 其中 , 是不同时为零的常数， S 是 的边界。
2
下面推导定解问题（7.2.1）—（7.2.2）用 Green函数表示的解的积分表达式， 引入函数 G(M , M 0 ) 使之满足
u(M ) G(M , M 0 )h(M 0 )d 0
（7.2.9） u G(M , M 0 ) dS0 u(M 0 ) G(M , M 0 )dS0 n0 n0 S S
式（7.2.9）被称为基本积分公式或解的 积分表达式。它的物理意义是十分清楚的: 右边第一个积分代表在区域 中体分布源 h(M ) 在M点产生的场的总和，而第二、三两个积 分则是边界上的源所产生的场。这两种影响 都是由同一Green函数给出的。式（7.2.9） 给出了Poisson方程或Laplace方（ h 0 时） 解的积分表达式。