新人教版2020届高考理科数学一轮复习课件：第二篇 第5节 对数函数

y=log2x
和
y=(
1 3
)x
的图象,由图象可知,

1 3
x1
>log2x1,
即
f(x1)=log2x1-

1 3
x1
<0.
故选 A.
(2)(2017·新疆乌鲁木齐一诊)设f(x)=|ln(x+1)|,已知f(a)=f(b)(a<b),则 () (A)a+b>0 (B)a+b>1 (C)2a+b>0 (D)2a+b>1
的图象关于直线 y=x
对称.
双基自测
1.log42-log48等于( B ) (A)-2 (B)-1 (C)1
(D)2
解析:log42-log48=log4 2 =log44-1=-1,故选B.
8
2.(2016·湖南衡阳期末)已知函数
f(x)=lo
g
1 2
x,x∈
[
1 4
,
2 ] ,则 f(x)的值域是 2
第5节 对数函数
考纲展示
1.理解对数的概念及其运算 性质,知道用换底公式将一般 对数转化成自然对数或常用
过的特殊点,会画底数为 2, 10, 1 的对数 2
函数的图象.
对数;了解对数在简化运算中 3.体会对数函数是一类重要的函数模型.
的作用.
4.了解指数函数 y=ax(a>0,且 a≠1)与对数
2.理解对数函数的概念及其 函数 y=logax(a>0,且 a≠1)互为反函数.
念 x= logaN .其中a叫做 底数 ,N叫做 真数 .
底数的限制a>0,且a≠1 对数式与指数式的互化:ax=N⇔ logaN=x
性
负数和零没有对数
质
1的对数是 零 :loga1= 0
底数的对数是 1 :logaa= 1
对数恒等式: aloga N = N
运算性质 换底公式
loga(M·N)= logaM+logaN loga M = logaM-logaN
(4)形如 aloga N(a>0且a≠1,N>0)的式子可以直接用对数恒等式求解.
跟踪训练 1:(1)log2 8 4 3 +log2 8 4 3 =
;
(2)log3 3 -log3 9 +( 1 )-1=
4
43
(3)(log29)·(log34)=
; .
解析:(1)原式=log2( 8 4 3 × 8 4 3 )
(A )
(A) [1 , 2] 2
(B) [ 1 , 2] 2
(C)[0,2]
(D) [0, 1 ] 2
解析:函数
f(x)=lo
g
1 2
x,x∈
[
1 4
,
2 ] 是减函数,所以函数的最小值为 f( 2
2 2
)=
lo g1
2
2 2
=
1 2
,函数的最大值为
f(
1 4
)=lo g 1
2
1 4
=2.函数的值域为[1 , 2] .选 2
2
=log2 82 4 3 =log2 64 48 =log24=2.
(2)原式=log3( 3 ÷ 9 )+31=log3 1 +3=-1+3=2.
44
3
(3)原式= lg 9 · lg 4 = 2lg 3 2lg 2 =4. lg 2 lg 3 lg 2 lg 3
答案:(1)2
(A)logac<logbc (B)logca<logcb
(C)ac<bc
(D)ca>cb
解析:(1)由题意令 a=4,b=2,c= 1 . 2
A 选项:logac=- 1 ,logbc=-1,logac>logbc,A 错误. 2
B 选项:logca=-2,logcb=-1,logca<logcb,B 正确.同理 C,D 选项错误,故选 B.
(2)2
(3)4
考点二 对数函数的图象及应用 【例2】 (1)导学号 38486031 (2017·郑州一模)若函数y=a|x|(a>0,且a≠1)的 值域为{y|y≥1},则函数y=loga|x|的图象大致是( )
解析:(1)由于y=a|x|的值域为{y|y≥1},所以a>1,则y=logax在(0,+∞)上是 增函数,又函数y=loga|x|的图象关于y轴对称. 因此y=loga|x|的图象应大致为选项B. 答案:(1)B
38486031
已知函数
f(x)=
log2 x, x 0, 3x 1, x 0,
则
f(f(1))+f（log3
1 2
）
的值是( )
(A)5
(B)3
(C)-1
(D) 7 2
解析:由题意可知
f(1)=log21=0,f(f(1))=f(0)=30+1=2,
f(log3 1
)=
Fra Baidu bibliotek
3 log3
3.如图是对数函数①y=logax;②y=logbx;③y=logcx;④y=logdx的图象,则a,b, c,d与1的大小关系是什么?
提示:图中直线y=1与各图象交点的横坐标即为它们各自底数的值,即0<a<b< 1<c<d.
知识梳理
1.对数
概 如果 ax=N
(a>0,a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作
4.若a=log43,则2a+2-a=
.
解析:因为 a=log43=log2 3 ,
所以 2a+2-a= 2log2
+ 2 3
log2
3=
答案: 4 3 3
3+ 1 =4 3 . 33
5.函数f(x)=1+loga(2x-3)(a>0且a≠1)必过定点
.
解析:令2x-3=1得x=2,当x=2时,f(2)=1. 因此函数f(x)必过定点(2,1). 答案:(2,1)
lg
2
2 2lg
2 1 ;
(3)(lg 1
-lg
25)÷

100
1 2
;
4
解:(2)原式=lg 2 (2lg 2 +lg 5)+
2
lg 2 2lg 2 1
=lg 2 ×(lg 2+lg 5)+|lg 2 -1|
=lg 2 ×lg(2×5)+1-lg 2
=1.
(3)原式=lg( 1
A.
3.已知函数y=loga(x+c)(a,c为常数,其中a>0,且a≠1)的图象如图,则下列结 论成立的是( D ) (A)a>1,c>1 (B)a>1,0<c<1 (C)0<a<1,c>1 (D)0<a<1,0<c<1
解析:由题图可知,函数在定义域内为减函数, 所以0<a<1. 又当x=0时,y>0,即logac>0, 所以0<c<1.故选D.
1 2
+1=
3log3
2
+1=2+1=3,所以
f(f(1))+f(log3
1
)=5.
故选 A.
2
2
反思归纳 求解与分段函数有关的求值问题,应根据自变量的值的范围选 择解析式,涉及对数值的范围,应根据对数的性质确定其范围.
考查角度2:比较大小
【例4】 (1)(2016·全国Ⅰ卷)若a>b>0,0<c<1,则( )
2 所以 x>1.综上可知 x≥0.故选 D.
反思归纳 (1)根据对数函数的单调性,当a>0,且a≠1时,有
①logaf(x)=logag(x)⇔f(x)=g(x)(f(x)>0,g(x)>0); ②当a>1时,logaf(x)>logag(x)⇔f(x)>g(x)(f(x)>0,g(x)>0); ③当0<a<1时,logaf(x)>logag(x)⇔f(x)<g(x)(f(x)>0,g(x)>0). (2)常见的对数不等式有三种类型:
N
logaMn= nlogaM (n∈R)
a>0,且 a≠1,M>0,N>0
公式:logab= logc b (a>0,且 a≠1;c>0,且 c≠1;b>0) logc a
推广: logam
bn=
n m
logab(a>0
且
a≠1,b>0);
logab= 1 (a>0 且 a≠1;b>0 且 b≠1) logb a
考点专项突破
考点一 对数的基本运算
【例 1】 求下列各式的值. (1) lg 2 lg5 lg8 ;
lg 50 lg 40
lg 2 5 lg 5 解:(1)原式= 8 = 4 =1.
lg 50 lg 5 40 4
在讲练中理解知识
(2)2(lg 2 )2+lg 2 ·lg 5+
考查角度3:解对数不等式
【例5】
设函数f(x)=
21x , x 1,
则满足f(x)≤2的x的取值范围是(
)
(A)[-1,2]
(B)[0,21] log2 x, x 1,
(C)[1,+∞) (D)[0,+∞)
解析:当 x≤1 时,21-x≤2,解得 x≥0, 所以 0≤x≤1; 当 x>1 时,1-log2x≤2,解得 x≥ 1 ,
2.对数函数的概念、图象与性质
概念
函数 y=logax
底数
a>1
(a>0,a≠1)叫做对数函数 0<a<1
图象
定义域 值域
性质
(0,+∞) R
过定点 (1,0) ,即x= 1 时,y= 0 在(0,+∞)上是 增 函数 在(0,+∞)上是 减 函数
3.指数函数与对数函数的关系
指数函数y=ax(a>0且a≠1)与对数函数y=logax(a>0且a≠1)互为反函数,它们
(2)(2017·全国Ⅰ卷)设x,y,z为正数,且2x=3y=5z,则( ) (A)2x<3y<5z (B)5z<2x<3y (C)3y<5z<2x (D)3y<2x<5z
解析:(2)设 2x=3y=5z=k(k>1),两边分别取对数得
xln 2=yln 3=zln 5=ln k,所以 2xln 2=2ln k,所以 2x= 2ln k . ln 2
解析:(2)作出函数f(x)=|ln(x+1)|的图象如图所示, 由f(a)=f(b),得-ln(a+1)=ln(b+1), 即ab+a+b=0,a+b=-ab, 由图象知a<0<b,所以-ab>0.所以a+b>0.故选A.
考点三 对数函数性质及其应用★★★★
考查角度 1:分段函数求值
【例 3】
导学号
(2)(2017·衡水调研)已知函数f(x)=
log2 x, x 3x , x 0,
0,
且关于x的方程f(x)+x-a=0有且
只有一个实根,则实数a的取值范围是
.
解析:(2)如图,在同一坐标系中分别作出y=f(x)与y=-x+a的图象,其中a表 示直线在y轴上截距.由图可知,当a>1时,直线y=-x+a与y=log2x只有一个 交点.
单调性,掌握对数函数图象通
知识梳理自测 考点专项突破 易混易错辨析
知识梳理自测
把散落的知识连起来
【教材导读】 1.是不是所有实数都有对数? 提示:零和负数没有对数,即真数大于零. 2.是否任意指数式都可以转化为对数式? 提示:不是.只有在指数式的底数大于0且不等于1的情况下,指数式才能化为 对数式.
同理 3y= 3ln k ,5z= 5ln k ,所以 2x = 2ln 3 = ln 9 >1,所以 2x>3y,
ln 3
ln 5
3 y 3ln 2 ln 8
2x = 2ln 5 = ln 25 <1,所以 2x<5z,所以 5z>2x>3y.故选 D. 5z 5ln 2 ln 32
反思归纳 比较对数的大小.(1)若底数为同一常数,则可由对数函数的单 调性直接进行判断;若底数为同一字母,则需对底数进行分类讨论;(2)若底 数不同,真数相同,则可以先用换底公式化为同底后,再进行比较;(3)若底数 与真数都不同,则常借助1,0等中间量进行比较.
答案:(2)(1,+∞)
反思归纳
(1) 函 数 y=loga|x|(a>0 且 a≠1) 是 偶 函 数 . 可 先 画 出 x>0
时 ,y=logax 的 图 象 , 再 作 该 图 象 关 于 y 轴 的 对 称 图 象 ,y=loga|x+k| 可 利 用
y=loga|x|图象进行平移而得到,而y=|logax|可将y=logax在x轴下方部分翻折
到上方而得到.
(2)在研究对数型方程、不等式问题时,常转化为相应函数的图象问题,利用数
形结合法求解.
跟踪训练2:(1)已知f(x)=log2x-(
1 3
)x,若实数x0是方程f(x)=0的解,且0<x1<x0,
则f(x1)的值( )
(A)恒为负 (B)等于0
(C)恒为正 (D)不小于零
解析:(1)在同一坐标系中画出函数
×
1
)÷
102

1 2
=lg
10-2÷10-1=-20.
4 25
(4)lg 5 +2lg 2-( 1 )-1.
2
2
解:(4)lg 5 +2lg 2-( 1 )-1=lg 5-lg 2+2lg 2-2
2
2
=lg 5+lg 2-2
=lg 10-2
=-1.
反思归纳 (1)利用对数的运算性质化简对数式主要有以下两种方法: 一是“正向”利用对数的运算法则,把各对数分成更为基本的一系列对数的 代数和.由于某些对数能相互抵消,使所给对数式得到了化简;二是“逆向” 运用对数运算法则,把同底的各对数合并成一个对数. (2)利用已知对数式表示不同底数的对数式时,可以将待求式中底数利用换 底公式化为已知对数式的底数表示. (3)幂值相等的指数式问题,求解时可利用指、对数式的互化转化为对数式 求解.