求解线性递推关系方法综述

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常见线性递推数列通项的求法

常见线性递推数列通项的求法对于由递推式所确定的数列通项公式问题，往往将递推关系式变形转化为我们熟知的等差数列或等比数列，从而使问题简单明了。

这类问题是高考数列命题的热点题型，下面介绍常见线性递推数列求通项的基本求法。

一、一阶递推数列1、q pa a n n +=+1型形如q pa a n n +=+1（q p 且1≠为不等于0的常数）的数列，可令)(1x a p x a n n +=++ 即x p pa a n n )1(1-+=+与q pa a n n +=+1比较得1-=p q x ，从而构造一个以11-+p qa 为首项以p 为公比的等比数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+1p q a n 例1．在数列{a n }中，,13,111-⋅==+n n a a a 求n a .解：在131-⋅=+n n a a 的两边同加待定数λ，得n n n a a a (3131⋅=+-⋅=++λλ+（λ－1）/3），令,3)1(-=λλ得).21(321.211-⋅=-∴-=+n n a a λ数列{}21-n a 是公比为3的等比数列, ∴a n 21-=).13(21,32111+=∴⋅--n n n a2、 ()n g a c a n n +⋅=+1型(1)1=c 时：解题思路：利用累差迭加法，将)1(1-=--n g a a n n ，--1n a 2-n a =)2(-n g ，…，-2a 1a =)1(g ,各式相加，正负抵消，即得n a .例2．在数列{}n a 中，01=a 且121-+=+n a a n n ，求通项n a .解：依题意得，01=a ，()32112,,3,112312-=--=-=-=--n n a a a a a a n n ，把以上各式相加，得【评注】由递推关系得，若()n g 是一常数，即第一种类型，直接可得是一等差数列；若n n a a -+1非常数，而是关于n 的一个解析式，可以肯定数列n a 不是等差数列，将递推式中的n 分别用2,3,4,,2,1 --n n 代入得1-n 个等式相加，目的是为了能使左边相互抵消得n a ，而右边往往可以转化为一个或几个特殊数列的和。

数列专题——线性递推数列的求法(本人)

数列专题——线性递推数列的求法已经掌握的数列通项求法：（1）公式法：等差、等比；（2）n S 法，即1112n n n S n a S S n -⎧=⎪=⎨-≥⎪⎩；（3）1()n n a a f n +-=累加法、1()n na f n a +=累乘法；（4）1n n a pa q +=+构造法（等比数列）；1()n n a pa f n +=+，()f n 为高中数学的一些基本初等函数，例如一次函数、二次函数、指数函数、高次函数等等，那么用“待定系数构造等比数列、等差数列” ．1．1 推广之一，()f n 为一次函数：即1n n a pa bn c +=++，()f n 为一次函数时，即1n n a pa bn c +=++，此法可行高效．只需构造1[(1)]n n a n u p a n u λλ+++=+-+，利用待定系数求出λ与u 即可．例1 (04年全国高中数学联赛四川省初赛) 数列{}n a 满足11a =，122(2)nn a a n n -=+-≥，求通项n a ．分析：令：12[(1)]n n a n u a n u λλ-++=+-+ 整理：122nn a a n u λλ-=+-+由待定系数：122u λλ=⎧⎨-+=-⎩，得：10u λ=⎧⎨=⎩所以：12[(1)](2)n n a n a n n -+=+-≥即：{}n a n +是以11a +为首项，2为公比的等比数列，得：2n n a n =- 练习：1． (07天津文20) 在数列{}n a 中，12a =，1431n n a a n +=-+，n ∈*N ．(1)证明数列{}n a n -是等比数列；(2)求n a 前n 项和n S ；(3)略答案：14n n a n -=+；41(1)32n n n n S -+=+ 1．2 推广之二，()f n 为二次或二次以上函数：即11121m m n n m m a pa c n c n c n c -++=+++++ ，其中：p ,*(11,,2)i c i m m N m ≤≤+∈≥为常数例2 已知数列{}n a 满足11a =，212n n a a n +=+，求通项n a ．分析：令： 221(1)(1)2()n n a n u n v a n un v λλ++++++=+++ 整理：212(2)n n a a n u n v u λλλ+=++-+--由待定系数：2200u v u λλλ=⎧⎪-=⎨⎪--=⎩，得：246u v λ=⎧⎪=⎨⎪=⎩所以：2122(1)4(1)62246n n a n n a n n ++++++=+++ 即：2{246}n a n n +++是以1246a +++为首项，2为公比的等比数列，得：12132246n n a n n -=⋅---注：继续推广，()f n 为二次函数(或二次以上时)，此法仍旧可行高效，只需构造，221(1)(1)()n n a n u n v p a n un v λλ++++++=+++利用待定系数求出λ、u 与v 即可．1．3 推广之三，()f n 为指数函数：即1n n n a pa q +=+（此种类型构造等差比构造等比容易，建议讲构造等差，较好解决，下面的方法是构造等比的）例3 (08年高考四川卷20) 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()21n n n ba b S -=-(1)证明：当2b =时，{}12n n a n --⋅是等比数列；(2)求{}n a 的通项公式．分析：由题意知12a =，且()21n n n ba b S -=-，()11121n n n ba b S +++-=-，两式相减得：()()1121n n n n b a a b a ++--=-，即：12n n n a ba +=+ ①(1)当2b ≠时，得：112n n a λ+++=()2n n b a λ+，12b λ=-- 易得：()112222n n n a b b b-⎡⎤=+-⎣⎦-．（本小题也可以构造等差数列） (2)当2b =时，由①知122n n n a a +=+，两边除以12n +，构造等差数列，当2b =时，由(1)知()112n n a n -=+．综合：例4 已知数列}a {n 满足1a 425a 3a 1n n 1n =+⋅+=+，，求数列}a {n 的通项公式．解：设)y 2x a (3y 2x a n n 1n 1n +⋅+=+⋅+++⑥将425a 3a n n 1n +⋅+=+代入⑥式，得： )y 2x a (3y 2x 425a 3n n 1n n n +⋅+=+⋅++⋅++，整理得y 32x 3y 42)x 25(n n +⋅=++⋅+．令⎩⎨⎧=+=+y 3y 4x 3x 25，则⎩⎨⎧==2y 5x，代入⑥式，得： )225a (3225a n n 1n 1n +⋅+=+⋅+++ ⑦ 由013121225a 11≠=+=+⋅+及⑦式，得0225a n n ≠+⋅+，则3225a 225an n 1n 1n =+⋅++⋅+++，故数列}225a {n n +⋅+是以13121225a 11=+=+⋅+为首项，以3为公比的等比数列，因此1n n n 313225a -⋅=+⋅+，则225313a n 1n n -⋅-⋅=-．。

特征方程解数列递推关系

用特征方程与特征根解数列线性递推关系式的通项公式一.特征方程类型与解题方法类型一递推公式为An+2＝aAn+1＋bAn 特征方程为 X 2=aX+b 解得两根X 1 X 2(1)若X 1≠X 2 则A n =pX 1n +qX 2n(2)若X 1=X 2=X 则A n =(pn+q)X n(其中p.q 为待定系数，由A 1.A 2联立方程求得) (3)若为虚数根，则为周期数列类型二递推公式为特征方程为X =dc b a X X ++解得两根X 1 X 2(1)若X 1≠X 2 则计算2111x A x A n n --++=21x d cA b aA x d cA baA n n n n -++-++=k21x A x A n n --接着做代换B n =21x A x A n n -- 即成等比数列（2）若X 1=X 2=X 则计算x A n -+11=x dcA b aA n n -++1=k+x A n -1接着做代换B n =xA n -1即成等差数列(3)若为虚数根，则为周期数列类型三递推公式为特征方程为X =dc b ax X ++2解得两根X 1 X 2 。

然后参照类型二的方法进行整理类型四 k 阶常系数齐次线性递归式 A n+k =c 1A n+k-1+c 2A n+k-2+…+c k A n 特征方程为 X k = c 1X k-1+c 2X k-2+…+c k(1) 若X 1≠X 2≠…≠X k 则A n =X k n11+X k n22+…+X k k nk(2) 若所有特征根X 1,X 2,…,X s.其中X i 是特征方程的t i 次重根,有t 1+t 2+…+t s =k 则A n=Xn Q n)(11+X n Q n)(22+…+X n Q s n s)( ，其中)(n Q i=B 1+n B 2+…+n B ti ti 1-（B 1,B 2，…，B ti 为待定系数）二.特征方程的推导及应用类型一、p ，q 均为非零常数）。

7.线性递推

第六讲:线性递推线性递推数列{a n }:a 1=a,a n+1=pa n +f(n)是最简单的递推数列,也是内容丰富的递推数列.因此是高考的重要的递推数列模型,值得深入地研究.1.a n+1=pa n +r 的通项例1:(2008年安徽高考试题)设数列{a n }满足:a 1=a,a n+1=ca n +1-c,n ∈N*,其中a,c 为实数,且c ≠0.(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式; (Ⅱ)设a=21,c=21,b n =n(1-a n ),n ∈N*,求数列{b n }的前n 项和S n ; (Ⅲ)若0<a n <1对任意n ∈N*成立,证明0<c ≤1.解析:(Ⅰ)由a n+1=ca n +1-c ⇒a n+1-1=c(a n -1)⇒(i)当a ≠1时,数列{a n -1}是以a 1-1=a-1为首项,公比为c 的等比数列⇒a n -1=(a-1)cn-1⇒a n =1+(a-1)c n-1;(ii)当a=1时,a n =1,且a n =1满足a n =1+(a-1)c n-1,所以,数列{a n }的通项公式a n =1+(a-1)c n-1;(Ⅱ)由(I)知b n =n(1-a)c n-1=n(21)n ⇒S n =-(n+2)(21)n+2; (Ⅲ)由0<a n <1对任意n ∈N*成立⇔0<1+(a-1)c n-1<1⇔0<(1-a)c n-1<1……①.当n=1时,①⇔0<1-a<1⇔0<a<1;所以,①⇔0<c n-1<a-11⇔0<c n-1≤1⇔0<c ≤1. 另解(本解法是作者给出的):令f(x)=cx+1-c,则函数f(x)恒过定点A(1,1),且在y 轴上的截距为1-c;因0<a n <1对任意n ∈N*成立⇔当0<x<1时,0<f(x)<1⇔c>0,且1-c ≥0⇔0<c ≤1.[思想方法]:求数列{a n }:a 1=a,a n+1=pa n +r 的通项公式a n :迭代函数不动点法:迭代函数的定义:如果递推数列{a n }满足:a 1=a,a n+1=f(a n ),则函数f(x)称为数列{a n }的迭代函数,如数列{a n }:a 1=a,a n+1=pa n +r 的迭代函数是f(x)=px+r.迭代函数不动点法:令f(x)=x ⇒px+r=x ⇒x=-1-p r .由a n+1=pa n +r ⇒a n+1+1-p r =p(a n +1-p r )⇒a n =(a+1-p r )p n-1-1-p r . 类题:1.(2007年全国II 高考试题)设数列{a n }的首项a 1∈(0,1),a n =231--n a ,n=2,3,4,…. (Ⅰ)求数列{a n }的通项公式;(Ⅱ)设b n =a n n a 23-,证明:b n <b n+1,其中,n 为正整数.2.(2006年福建高考试题)己知数列{a n }满足:a 1=1,a n+1=2a n +1(n ∈N*). (Ⅰ)求数列{a n }的通项公式;(Ⅱ)若数列{b n }满足:n n b n b b b a )1(44411121+=⋅⋅⋅⋅⋅⋅---(n ∈N*),证明:{b n }是等差数列; (Ⅲ)证明:312-n <3221a a a a ++…+1+n n a a <2n.2.a n+1=pa n +bq n的通项例2:(2006年全国I 高考试题)设数列{a n }的前n 项和S n =34a n -31×2n+1+32.(Ⅰ)求首项a 1与通项a n ; (Ⅱ)设T n =n nS 2,证明231<∑=n i i T .解析:(Ⅰ)由S n =34a n -31×2n+1+32,令n=1,得:a 1=S 1=2;当n ≥2时,a n =S n -S n-1=34a n -31×2n+1+32-(34a n-1-31×2n +32)⇒a n =4a n-1+2n⇒n n n nn a a )21(4411+=--⇒n n a 4=41a +(44122a a -)+(223344a a -)+…+(1144---n n n n a a )=21+(21)2+(21)3+…+(21)n =1-(21)n ⇒ a n =4n-2n;(Ⅱ)由(Ⅰ)知S n =34a n -31×2n+1+32=34(4n -2n )-31×2n+1+32=32(2×4n -2n +1)=32(2n -1)(2n+1-1)⇒T n =n n S 2=)12)(12(223--⋅n=23(1211211---+n n )⇒∑=n i i T 1=23(12112111---+n )<23. [思想方法]:求数列{a n }:a 1=a,a n+1=pa n +bq n 的通项公式的基本方法是同除系数法:由a n+1=pa n +bq n ⇒11++n n pa =nn p a +p b (pq )n. 类题:1.(2003年新课程高考试题)设a 0为常数,且a n =3n-1-2a n-1(n ∈N*). (Ⅰ)证明:对任意n ≥1,a n =51[3n +(-1)n-1×2n ]+(-1)n ×2na 0; (Ⅱ)假设对任意n ≥1有a n >a n-1,求a 0的取值范围. 2.(2007年天津高考试题)在数列{a n }中,a 1=2,a n+1=λa n +λn+1+(2-λ)2n(n ∈N*),其中λ>0.(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式; (Ⅱ)求数列{a n }的前n 项和S n ; (Ⅲ)证明:存在k ∈N*,使得kk n n a a a a 11++≤对任意n ∈N*均成立.3.a n+1=pa n +bq n的性质例3:(2009年全国II 高考试题)设数列{a n }的前n 项和为S n ,己知a 1=1,S n+1=4a n +2.(Ⅰ)设b n =a n+1-2a n ,证明数列{b n }是等比数列; (Ⅱ)求数列{a n }的通项公式.解析:(Ⅰ)在S n+1=4a n +2中,令n=1得:S 2=4a 1+2⇒a 2=5⇒b 1=3;又因a n+2=S n+2-S n+1=(4a n+1+2)-(4a n +2)⇒a n+2-2a n+1=2(a n+1-2a n )⇒b n+1=2b n ⇒数列{b n }是以b 1=3为首项,公比为2的等比数列; (Ⅱ)由(Ⅰ)知b n =3×2n-1⇒a n+1-2a n =3×2n-1⇒12+n a -n a 2=43⇒数列{n a 2}是以21为首项,公差为43的等差数列⇒n a 2= 21+43(n-1)=43n-41⇒a n =(3n-1)2n-2. [思想方法]:数列{a n }满足:a 1=a,a n+1=pa n +kq n ⇔数列{a n }的前n 项和S n 满足:(p-1)S n =pa n +1-q k q n+1+a-q 1-q k. 类题:1.(2008年全国II 高考试题)设数列{a n }的前n 项和为S n .己知a 1=a,a n+1=S n +3n,n ∈N*. (Ⅰ)设b n =S n -3n,求数列{b n }的通项公式; (Ⅱ)若a n+1≥a n ,n ∈N*,求a 的取值范围.2.(2009年全国I 高考试题)在数列{a n }中,a 1=1,a n+1=(1+n 1)a n +n 21+. (Ⅰ)设b n =na n,求数列{b n }的通项公式;(Ⅱ)求数列{a n }的前n 项和S n .4.a n+1=pa n +f(n)(多项式)的通项例4:(2007年安徽高考试题)某国采用养老储备金制度,公民在就业的第一年就交纳养老储备金,数目为a 1,以后每年交纳的数目均比上一年增加d(d>0),因此,历年所交纳的储备金数目a 1,a 2,…是一个公差为d 的等差数列.与此同时,国家给予优惠的计息政策,不仅采用固定利率,而且计算复利.这就是说,如果固定年利率为r(r>0),那么,在第n 年未,第一年所交纳的储备金就变为a 1(1+r)n-1,第二年所交纳的储备金就变为a 2(1+r)n-2,….以T n 表示到第n 年所累计的储备金总结.(Ⅰ)写出T n 与T n-1(n ≥2)的递推关系式;(Ⅱ)求证:T n =A n +B n ,其中,{A n }是一个等比数列,{B n }是一个等差数列.解析:(Ⅰ)由题知T n =a 1(1+r)n-1+a 2(1+r)n-2+…+a n ⇒T n-1=a 1(1+r)n-2+a 2(1+r)n-1+…+a n-1⇒T n =(1+r)T n-1+a n ;或者由T n 的意义直接可得:T n =(1+r)T n-1+a n ;(Ⅱ)由(I)知T n =(1+r)T n-1+a n ⇒T n =(1+r)T n-1+a 1+(n-1)d ⇒T n =(1+r)T n-1+dn+(a 1-d).令T n -(xn+y)=(1+r){T n-1-[x(n-1)+y]}⇒T n =(1+r)T n-1-xrn+y+(x-y)(1+r)与己知比较得⎩⎨⎧-=-+++=-da y x r y r rx 1))(1(1⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+--=+-=221)1(1r r r a d y rr x .所以T n -(xn+y)=[T 1-(x+y)](1+r)n-1⇒T n =(a 1-x-y)(1+r)n-1+xn+y,令A n =(a 1-x-y)(1+r)n-1,B n =xn+y,则T n =A n +B n ,其中,{A n }是一个等比数列,{B n }是一个等差数列.[思想方法]:求数列{a n }:a 1=a,a n+1=pa n +f(n)(其中,f(n)是n 的多项式)的通项的基本方法是待定系数法.如{a n }:a 1=a,a n+1=pa n +bn+c.令a n+1-[x(n+1)+y]=p[a n -(xn+y)]⇒a n+1=pa n +(1-p)xn+x+(1-p)y,与己知a n+1=pa n +bn+c 比较得⎩⎨⎧=-+=-c y p x b x p )1()1(⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧---=-=2)1(11p b p c y p b x . 类题:1.(2007年天津高考试题)在数列{a n }中,a 1=2,a n+1=4a n -3n+1,n ∈N*. (Ⅰ)求数列{a n }的前n 项和S n ;(Ⅱ)证明;不等式S n+1≤4S n ,对任意n ∈N*皆成立.2.(2007年湖南高考试题)己知A n (a n ,b n )(n ∈N*)是曲线y=e x上的点,a 1=a,S n 是数列{a n }的前n 项和,且满足:S n 2=3n 2a n+ S n-12,a n ≠0,n=2,3,,4,…. (Ⅰ)证明:数列{nn b b 2+}(n ≥2)是常数数列; (Ⅱ)确定a 的取值集合M,使a ∈M 时,数列{a n }是单调递增数列; (Ⅲ)证明:当a ∈M 时,弦A n A n+1(n ∈N*)的斜率随n 单调递增.5.a n+1f(n)=a n g(n)+h(n)q n(f(n),g(n),h(n)为多项式)的通项例5:(2007年全国高中数学联赛河南初赛试题)设{a n }是正数组成的数列,其前n 项和为S n ,并且对所有自然数n,都有S n =213+n -2na n . (Ⅰ)求数列{a n }的通项公式(写出推证过程); (Ⅱ)令b n =11-n a (n ∈N +),求数列{b n }的前n 项和.解析:(Ⅰ)a 1=34,a n =213+n -2n a n -223-n +21-n a n-1⇒(n+2)a n =(n-1)a n-1+3⇒(n+2)(n+1)na n =(n+1)n(n-1)a n-1+3(n+1)n,令x n =(n+2)(n+1)na n ⇒x 1=8,x n -x n-1=3(n+1)n=3(n 2+n)⇒x n =x 1+(x 2-x 1)+(x 3-x 2)+…+(x n -x n-1)=2+3[(12+22+32+…+n 2)+(1+2 +3+…+n)]=2+3[6)12)(1(++n n n +2)1(+n n ]=2+n(n+1)(n+2)⇒⇒a n =1+)2)(1(2++n n n ;(Ⅱ)b n =11-n a =21n(n+1)(n+2)=81[n(n+1)(n+2)(n+3)-(n-1)n(n+1)(n+2)]⇒T n =81n(n+1)(n+2)(n+3).[思想方法]:对该类递推数列:选择适当的式子(n+k)(n+k+1)…(n+m)(m>k),对递推关系式同乘,或同除该式(当f(n)>g(n)时,同乘;当f(n)<g(n)时,同除),然后换元求解.类题:1.(2011年全国高中数学联赛吉林初赛试题)已知数列{a n }满足:a 1=0,a n+1=n n 2+a n +n1,求数列{a n }的通项公式. 2.(2004年全国高中数学联赛上海初赛试题)数列{a n }满足:(n-1)a n+1=(n+1)a n -2(n-1),n ∈N +,且a 100=10098,求数列{a n }的通项公式.6.转化为线性递推例6:(1993年全国高中数学联赛试题)设正数列a 0,a 1,a 2, ,a n , 满足2-n n a a -21--n n a a =2a n-1(n ≥2),且a 0=a 1=1.求{a n }的通项公式.解析:2-n n a a -21--n n a a =2a n-1(同除21--n n a a )⇒1-n na a -1=221--n n a a ⇒1-n na a +1=2(21--n n a a +1),且01a a+1=2⇒ 1-n n a a +1=2n ⇒1-n n a a =(2n -1)2⇒a n =a 112a a …1-n n a a = ni i 12)12(=-(n ≥1).a 0=1不适合.[思想方法]:对递推关系式进行恰当变形,然后换元,转化为线性递推求解.类题:1.(2011年全国高中数学联赛贵州初赛试题)已知数列{a n }满足a 1=3,a n +a n-1=2+1)13(--+n n a a n n (n ≥2,a n >0),求数列{a n }的通项公式.2.(2006年全国高中数学联赛天津初赛试题)已知数列{a n }满足a 1=p,a 2=p+1,a n+2-2a n+1+a n =n-20,其中p 是给定的实数,n 是正整数,试求n 的值,使得a n 的值最小.。

第七章求解递推关系2剖析

hn cos 3 3 sin 3
总结
对线性齐次递推式
hn a1hn1 a2hn2 ... ak hnk 0 (ak 0)
若 q1 , q2 , ... qt 是特征方程的全部互异的特征根，
qi是si重根（i 1,2,..., t )，则
其中
hn
H (1) n
H (2) n
...
特征根：
x3
齐次通解： Hn c3n 再求非齐特： Gn An B
代入递推式： Gn 3Gn1 4n
An B 3A(n 1) B 4n
(3A 4)n 3(B A)
比较系数：
A 3A 4 B 3(B A)
A 2 B 3
非齐次特解： Gn 2n 3
非齐特通解： hn c3n 2n 3
相应的特征方程为： xk a1 xk1 ... ak1 x ak 0
若 q 是特征方程的解，则 qn 是齐次递推式的解.
性质4 对线性齐次递推式
hn a1hn1 a2hn2 ... ak hnk 0 (ak 0)
若 q1 , q2 , ... qk 是特征方程的k个不同的特征根，则
解特征方程： x2 4 x 4 0
x 22 0
二重特征根： x 2
通解：
hn c1 c2n2n
性质6 对线性齐次递推式
hn a1hn1 a2hn2 ... ak hnk 0 (ak 0)
若 q1,2 i e iθ
是特征方程的单重共轭复根，则
比较n3系数： D D 1
求 hn hn-1 n3 , h0 0 的特解。
解法2 hn hn-1 n3
n
求和： hn h0 k 3 k 1 hn 13 23 33 ... n3

4.2_求解线性递推关系

a2 = ��,�� +2��,�� +4��,�� =-1,∴ ��,�� =3, ��,�� = −��
4.所得��,�� ,�� ,�� 值代入第2步，得an =(1+3n-2n2)(-1)n
��
练习P190 2 c)d)e)f)g)
4.2.2 求解常系数线性齐次递推关系
特征根相等的情况：
定理2 c1 和c2 是实数, c2 ≠0。 r2 – c1r – c2 = 0 只有一个根：�� 当 ��
0
��n
0
(n = 0,1,2,… ，�� 和 �� 是常数)
练习P190 2 a)b)
4.2.2 求解常系数线性齐次递推关系
下面推广：求大于2阶的线性齐次递推关系的解。它的特征根也有两种情况：不相等，有重根。
特征根不相等的情况：
定理3
c1, c2 ,…, ck是实数。 rk – c1rk−1 –⋯ – ck = 0有k个不等的根： r1, r2, …, rk。
当
n
(n = 0,1,2,… ，α1, α2,…, αk是常数)时，序列 {an} 是递推关系an = c1an−1 + c2an−2 + ….. + ck an−k的解。
4.2.2 求解常系数线性齐次递推关系
例. 求递推关系an = 6an−1 -11an−2 + 6an−3的解，其中初始值a0 = 2 , a1 = 5，a2 = 15 。解：1.求其特征方程： an =rn代入，得rn –6rn-1+11rn-2 – 6rn-3 =0，除以rn-3得 r3 −6r2 +11r −6= 0.该方程的根为r=3 ,r=2和r=1 n 2.根据定理3公式 an = �� 1 �� +�� 2�� + �� 3�� 3.由已知的初始值 a0 = 2 , a1 = 5, a2 = 15代入上式得 a0 =�� 1 +�� 2 +�� 3 = 2 ,a1 =�� 1 +�� 2 +3�� 3 =5, a2 =�� 1 +�� 2 +9�� 3 =15,∴�� 1 =1，��2=-1, �� 3 =2 4.所得�� 1 、�� 2 、�� 3值代入第2步，得an =1-2n + 2∙3n.

数列的递推关系与通项公式推导

数列的递推关系与通项公式推导数列是数学中非常重要的概念，它是按照一定规律排列的一系列数字。

在数列中，每个数字称为数列的项，而数列中的规律则可以通过递推关系和通项公式来描述和推导。

本文将重点介绍数列的递推关系与通项公式的推导方法。

一、数列的递推关系数列的递推关系指的是通过已知的前一项或前几项来确定后一项的规律。

递推关系可以分为线性递推关系和非线性递推关系两种情况。

1. 线性递推关系线性递推关系是指数列的每一项与前一项之间存在着常数倍的关系。

例如，斐波那契数列就是一种线性递推关系的数列。

斐波那契数列的递推关系可以表示为：F(n) = F(n-1) + F(n-2)其中，F(n)表示第n项的值，F(n-1)表示第n-1项的值，F(n-2)表示第n-2项的值。

通过已知的前两项，即F(1)=1和F(2)=1，可以递推得到后面的项。

2. 非线性递推关系非线性递推关系是指数列的每一项与前一项之间没有简单的常数倍关系，而是通过其他函数或运算来确定。

例如，等差数列和等比数列都属于非线性递推关系的数列。

对于等差数列来说，递推关系可以表示为：a(n) = a(n-1) + d其中，a(n)表示第n项的值，a(n-1)表示第n-1项的值，d表示公差。

通过已知的前一项和公差，可以递推得到后面的项。

对于等比数列来说，递推关系可以表示为：a(n) = a(n-1) * r其中，a(n)表示第n项的值，a(n-1)表示第n-1项的值，r表示公比。

通过已知的前一项和公比，可以递推得到后面的项。

二、数列的通项公式推导数列的通项公式是指通过数列中的项数n来计算第n项的值的公式。

对于递推关系已知的数列，通项公式可以通过递推关系进行推导得到。

以等差数列为例，已知递推关系为：a(n) = a(n-1) + d要求解这个等差数列的通项公式，可以使用数学归纳法进行推导。

首先，假设n=k时，等差数列的通项公式成立，即a(k) = a(1) + (k-1)d接下来，考虑n=k+1时，可以通过递推关系推导得到：a(k+1) = a(k) + d = (a(1) + (k-1)d) + d = a(1) + kd由此可见，当n=k+1时，等差数列的通项公式仍然成立。

相邻三项线性递推关系数列通项的简便求法

２０２４年５月上半月㊀解法探究㊀㊀㊀㊀相邻三项线性递推关系数列通项的简便求法∗◉陕西省西安市第七十一中学㊀尚㊀萍㊀㊀摘要:熟练掌握数列通项公式的求解是高考以及各类考试的基本要求．在高中阶段,相邻三项线性递推关系数列通项公式的求解是一个难点,需要构造相邻两项的差为特殊数列进行求解,具有一定的难度．本文中在常规解法的基础上,用特征方程法快速准确地求解通项公式,大大缩短了求解时间．关键词:递推数列;特征方程;通项公式１一个实例及解法例１㊀已知数列{a n }满足a １＝１,a ２＝２,且a n ＋１＝２a n ＋３a n －１(n ȡ２,n ɪN ＋)．求数列{a n }的通项公式．解法１:常规解法．因为a n ＋１＝２a n ＋３a n －１(n ȡ２,n ɪN ＋),所以a n ＋１＋a n ＝３(a n ＋a n －１)(n ȡ２)．又因为a ２＋a １＝３,所以{a n ＋１＋a n }是以３为首项,３为公比的等比数列．所以a n ＋１＋a n ＝３ˑ３n －１＝３n ,从而a n ＋１３n ＋１＋１３ a n ３n ＝１３．进一步,a n ＋１３n ＋１－１４＝－１３(a n３n －１４)．又因为a １３－１４＝１１２,所以数列a n ３n －１４{}是首项为１１２,公比为－１３的等比数列．故a n ３n －１４＝１１２ˑ(－１３)n －１．所以a n ＝３n －(－１)n４．解法２:特征方程法．设a n ＋１－x １a n ＝x ２(a n －x １a n －１),与a n ＋１＝２a n ＋３a n －１比较系数,得x １＋x ２＝２,x １x ２＝－３．{由韦达定理可知,x １,x ２是方程x ２－２x －３＝０的两根－１和３．取x １＝－１,x ２＝３,有a n ＋１＋a n ＝３(a n ＋a n －１)．又因为a ２＋a １＝３,所以{a n ＋１＋a n }是以３为首项,３为公比的等比数列,所以a n ＋１＋a n ＝３ˑ３n －１＝３n．取x １＝３,x ２＝－１,有a n ＋１－３a n ＝－(a n －３a n －１)．又因为a ２－３a １＝－１,所以{a n ＋１－３a n }是以－１为首项,－１为公比的等比数列,则a n ＋１－３a n ＝(－１)ˑ(－１)n －１＝(－１)n ．于是有a n ＋１＋a n ＝３n,a n ＋１－３a n ＝(－１)n,{由方程组解法可知a n 是(－１)n 和３n的线性组合．因此,设a n ＝c １ (－１)n ＋c ２３n ．又因为a １＝１,a ２＝２,代入方程解得c １＝－１４,c ２＝１４．ìîíïïïï所以a n ＝３n－(－１)n４．２利用特征方程法解题的步骤由例１解法２的解析可以看出,特征方程法是将相邻两项的线性组合构造成等比数列[１],而对应的系数刚好是题目中相邻三项线性递推关系数列的特征方程的根,通过解特征方程可以直接写出最终a n 的表达形式,再根据数列中的任意两项,求出线性组合的系数,最终得到数列{a n }的通项公式[２]．因此可以将解题过程简化为以下三个步骤:(１)写出特征方程并求出两根x １,x ２;(２)设a n ＝c １ x n １＋c ２ x n ２;(３)将a １,a ２的值代入求出系数c １,c ２,进而写出数列{a n }的通项公式．例２㊀已知数列{a n }满足a １＝a ２＝２,且a n ＋１＝３a n ＋４a n －１(n ȡ２,n ɪN ＋)．求数列{a n }的通项公式．３０１∗课题信息:２０２２年陕西省教育科学规划课题基于核心素养的高中数学教育与立德树人的实践研究 ,课题批准号为S G H ２２Y ０１４０．解法探究２０２４年５月上半月㊀㊀㊀解析:特征方程法．由题可知,数列的特征方程为x ２－３x －４＝０,解方程得x １＝４,x ２＝－１．因此,设a n ＝c １ (－１)n ＋c ２４n,将a １＝a ２＝２代入,解得c １＝－６５,c ２＝１５．所以a n ＝４n －６ (－１)n５．由例２的解析[３]可以看出,利用特征方程法解决此类问题具有简洁快速的明显优势,同时在解题过程中不容易出现错误,非常适合高中阶段的学生学习和理解．３特征方程法应用中的问题及对策利用特征方程法求解这类问题,关键是构造特征方程．对于形如a n ＋２＝a a n ＋１＋b a n (a ,b 为常数)的递推数列,它的特征方程是x ２＝a x ＋b ,即x ２－a x －b ＝０．另外,既然是二次方程就可能存在两个相等的根和无实根的情形,下面对这两种情形进行探究．例３㊀已知数列{a n }满足a １＝１,a ２＝２,且a n ＋１＝６a n －９a n －１(n ȡ２,n ɪN ＋)．求数列{a n }的通项公式．对于此题,首先用特征方程法求解．由题可知,数列的特征方程为x ２－６x ＋９＝０,解得x １＝x ２＝３．因此设a n ＝c １３n ＋c ２３n,将a １＝１,a ２＝２代入,得３c １＋３c ２＝１,９c １＋９c ２＝２,{无解．因此,例３无法用特征方程法快速求出通项公式．下面继续用构造等差数列的方法重新求解,探求新思路[２]．解析:常规解法．因为a n ＋１＝６a n －９a n －１(n ȡ２,n ɪN ＋),所以a n ＋１－３a n ＝３(a n －３a n －１)(n ȡ２)．又因为a ２－３a １＝－１,所以{a n ＋１－３a n }是首项为－１,公比为３的等比数列．所以a n ＋１－３a n ＝(－１)ˑ３n －１,从而a n ＋１３n ＋１－a n３n ＝－１９．又因为a １３１＝１３,所以数列a n ３n {}是首项为１３,公差为－１９的等差数列．所以a n ３n ＝１３＋(n －１) (－１９)＝４－n９．故a n ＝(４－n )３n９．由例３可以看出,当特征方程有两个相等的根时,无法用特征方程法求出数列的通项公式,此时需要构造一个新的等差数列,求出这个等差数列的通项公式是A n ＋B 的形式,进而求出数列{a n }的通项公式a n ＝(A n ＋B ) x n ．例４㊀已知数列{a n }满足a １＝１,a ２＝２,且a n ＋１＝a n －a n －１(n ȡ２,n ɪN ＋)．求a ２０２４．解析:由题可知,数列的特征方程为x ２－x ＋１＝０,此方程无实数根．由a １＝１,a ２＝２,a n ＋１＝a n －a n －１分别计算可得a ３＝１,a ４＝－１,a ５＝－２,a ６＝－１,a ７＝１,a ８＝２,所以{a n }是周期为６的周期数列,又２０２４ː６＝３３７２,所以a ２０２４＝a ２＝２．由例４可以看出,当特征方程无实数根时,数列{a n }是一个周期数列[２]．这一结论具有普遍性,在这里省略证明．４特征方程法的解法总结根据例２~例４的解答过程可以将相邻三项线性递推关系数列通项公式的求解归纳如下:(Ⅰ)当特征方程有两个不相等的实根时(１)写出特征方程并求出两根x １,x ２;(２)设a n ＝c １ (x １)n ＋c ２ (x ２)n ;(３)将a １,a ２的值代入,求出系数c １,c ２,进而写出数列{a n }的通项公式．(Ⅱ)当特征方程有两个相等的实根时(１)写出特征方程并求出根x ;(２)设a n ＝(A n ＋B ) x n ;(３)将a １,a ２的值代入,求出系数A ,B ,进而写出数列{a n }的通项公式．(Ⅲ)当特征方程无实数根时分别计算前几项的值,判断数列{a n }的周期性,进而求出{a n }的通项公式．参考文献:[１]卢海英．相邻三项线性递推数列的解法[J ]．中学生数学,２０１９(１５):９,８．[２]黎真．特征方程法求数列通项[J ]．数理天地(高中版),２０２２(２１):１９Ｇ２２,２８．[３]王益洲,李燕．常见构造数列法的探究[J ]．数理化解题研究,２０２３(２１):２Ｇ４．Z ４０１。

数列递推的技巧

数列递推的技巧
数列递推是指根据已知的数列前几项，通过某种规律或公式来确定数列的后续项。

下面列举一些常见的数列递推的技巧：
1. 线性递推法：对于满足线性递推关系的数列，可以使用线性递推法来求解。

线性递推关系一般可以表示为an = c1 * an-1 + c2 * an-2 + ... + ck * an-k，其中c1,c2,...,ck为常数。

常见的线性递推数列有斐波那契数列、等差数列等。

2. 指数递推法：对于满足指数递推关系的数列，可以使用指数递推法来求解。

指数递推关系一般可以表示为an = c * an-1^k，其中c和k为常数。

常见的指数递推数列有幂函数数列、几何数列等。

3. 差分递推法：对于满足差分递推关系的数列，可以使用差分递推法来求解。

差分递推关系一般可以表示为an = an-1 + dn，其中dn为常数。

常见的差分递推数列有阶乘数列、等差数列等。

4. 递归递推法：对于满足递归递推关系的数列，可以使用递归递推法来求解。

递归递推关系一般可以表示为an = f(an-1, an-2, ...)，其中f为一个函数。

常见的递归递推数列有斐波那契数列、双核函数数列等。

5. 其他递推技巧：还有一些特殊的递推技巧，如矩阵快速幂递推法、莫比乌斯反演递推法等，可根据具体的问题和数列特点选择合适的方法进行递推求解。

线代递推法

线代递推法
线代递推法指的是在线性代数中，通过递推关系式来求解一系列线性方程组的方法。

具体操作步骤如下：
1. 设定初始条件。

给出递推关系式之前，首先需要给出起始的一组线性方程组解。

这些解可以通过已知条件、初值或者自选来确定。

2. 建立递推关系式。

假设我们已经知道了第n个方程组的解，我们希望求解出第n+1个方程组的解。

通过观察已知的方程
解的规律，我们可以得到一个递推关系式，将第n+1个方程
组的解与第n个方程组的解建立起联系。

3. 求解递推关系式。

根据递推关系式，我们可以通过已知的第n个方程组的解求解出第n+1个方程组的解。

这可以通过矩阵
运算来实现，例如求解矩阵的特征值和特征向量，进行矩阵相乘等。

4. 迭代求解。

通过不断重复第2步和第3步，我们可以计算出连续的方程组解，直到达到所需的精度或者满足其他终止条件。

5. 检验结果。

最后，我们需要检验所求得的方程组解是否满足递推关系式，并对计算结果进行验证。

线代递推法常用于求解具有递推性质的问题，在数学、物理等领域中有广泛的应用。

9-递推关系的求解

9 3 9
所以特解为 an = 7(−1)n − 1 n(−1)n + 2 2n
9 3 9
8.1 常系数齐次递推关系求解
一般方法总结: 一般方法总结 (1) 求齐次关系的一般解；求齐次关系的一般解； (2) 求非齐次关系的一个特解；求非齐次关系的一个特解； (3) 将一般解和特解相加即为非齐次的通解；将一般解和特解相加,即为非齐次的通解即为非齐次的通解；通过初始条件确定一般解中出现的常系数值. 通过初始条件确定一般解中出现的常系数值
L 6 =L = (4n−6)(4n−10)(4n−14)L ⋅ 2a1
L = 2⋅ (2n− 3) ⋅ 2⋅ (2n− 5)L 2⋅ 3⋅ 2⋅ 1
( = 2n−1 ⋅ 1⋅ 3⋅L 2n− 5) ⋅ (2n− 3)
= 2n−1(2n− 3)!!
8.3 差分
本节将介绍差分表，并利用差分表可计算通项公式,还可将多项式表示为广义组合数之和。如此的表示法可用来计算前 n个正整数
例求解递推关系
an = −an 1 + 3an 2 + 5an 3 + 2an 4 − − − − a0 = 1, a1 = 0, a2 = 143; x3 − 3x2 −5x − 2 = 0
, 特征根 q = q2 = q3 = −1 q4 = 2 1
第八讲递推关系的求解
8.1 常系数齐次递推关系求解
定义1:令是一个数列,若存在量定义令h0, h1, h2,…, hn,…是一个数列若存在量是一个数列 a1, a2, …,ak和bn(ak≠0,每个量是常数或依赖于的每个量是常数或依赖于n的每个量是常数或依赖于使得:h 数)使得 n= a1hn-1+ a2hn-2+…+ akhn-k+bn (n≥k)则使得则称序列满足k阶线性递推关系阶线性递推关系. 称序列满足阶线性递推关系称齐次的; 若bn=0,称齐次的称齐次的取常数,称常系数的称常系数的. 若a1, a2, …,ak取常数称常系数的

三项递推关系求通项

三项递推关系求通项要求一个递推关系的通项，需要知道递推关系的初始条件和递推公式。

以下是三种常见的递推关系的通项求解方法：1. 线性递推关系：假设线性递推关系为 a_n = p*a_(n-1) + q*a_(n-2)，其中p和q为常数，a_n为第n项的值。

我们需要知道的初始条件为 a_0和 a_1。

假设通项形如a_n = x^n，其中x为常数。

将其代入递推关系，得到：x^n = p*x^(n-1) + q*x^(n-2)整理，得到特征方程：x^2 - p*x - q = 0解特征方程，得到x1和x2，这两个根就是递推关系的通项的形式。

2. 非线性递推关系：假设递推关系为 a_n = f(a_(n-1), a_(n-2))，其中f为一个函数。

我们需要知道的初始条件为 a_0 和 a_1。

通常情况下，求非线性递推关系的通项比较困难，没有统一的解法。

需要根据具体的递推关系和函数f的性质来进行分析和求解。

3. 递归递推关系：递归递推关系是一种常见的递推关系形式，常用于定义数列的递推关系。

比如斐波那契数列的递推关系为：F_n = F_(n-1) + F_(n-2)，初始条件为 F_0 = 0 和 F_1 = 1。

可以通过数学归纳法证明，斐波那契数列的通项为F_n = (φ^n - (-φ)^(-n)) / √5，其中φ=(1+√5)/2为黄金分割比。

总结来说，要求一个递推关系的通项，需要根据具体的递推关系形式进行分析和解决。

对于线性递推关系，可以通过特征方程解得通项表达式；对于非线性递推关系，需要具体问题具体分析；对于递归递推关系，可以通过数学归纳法证明通项的形式。

组合数学求解递推关系2

性质3
对线性齐次递推式：
hn a1hn1 a2 hn 2 ... ak hn k 0 (ak 0)
设 ak x k , 可以吗？
相应的特征方程为：
x k a1 x k 1 ... ak 1 x ak 0
若 q 是特征方程的解，则 q n 是齐次递推式的解 .
性质4
对线性齐次递推式
hn a1hn1 a2 hn 2 ... ak hn k 0 (ak 0)
若 q1 , q2 , ... qk 是特征方程的 k个不同的
特征根，则 hn c1q1 c2 q2 ... ck qk
n n n
是齐次递推式的通解 .
对初始条件 h0 , h1 , ...， hk -1，可以唯一确定 hn c1q1 c2 q2 ... ck qk
总结
对线性齐次递推式
hn a1hn1 a2 hn 2 ... ak hn k 0 (ak 0)
若 q1 , q2 , ... qt 是特征方程的全部互异的特征根， qi 是si 重根（ i 1,2,..., t )，则 hn H n 其中 Hn
(i ) (1)
错位排列 :
Dn ( n 1)( Dn-1 Dn-1 )
二阶变系数线性齐次式。
Dn nDn-1 ( 1)n
一阶变系数线性非齐次式。例2 Fibonacci数列 f n f n-1 f n- 2 , f 0 0, f1 1 二阶常系数线性齐次式。例3 等比数列 hn qhn1 一阶常系数齐次等差数列 hn hn1 d 一阶常系数非齐次阶乘数列 hn n hn1 一阶变系数齐次

线性规律与递推

线性规律与递推线性规律和递推是数学中非常重要且常见的概念。

它们在代数、数列、函数、几何等各个领域都有广泛的应用。

本文将探讨线性规律和递推的定义、特点以及在实际问题中的应用。

一、线性规律的定义和特点线性规律是指在数学中满足一次函数的规律性。

一次函数的特点就是图像呈现一条直线，而非折线或曲线。

在一次函数中，自变量和因变量之间存在着线性关系，即自变量每增加（或减少）一个单位，因变量的增加（或减少）相同的单位。

例如，y = 2x + 3就是一个线性规律。

其中，2是斜率，表示因变量y每增加1个单位时自变量x增加的单位数；3是截距，表示当x为0时，y的值为3。

该线性规律的图像就是一条经过点(0, 3)且斜率为2的直线。

线性规律在实际问题中有着广泛的应用，比如单位价格与数量的关系、速度与时间的关系等。

通过线性规律，我们可以预测和计算各种数值之间的关系。

二、数列与递推数列是一系列有序排列的数。

而递推是指数列中的每一项通过给定的公式或规律来确定。

递推关系可以将前一项或几项的信息进行推演，得到下一项的值。

例如，斐波那契数列就是一个著名的递推数列。

它的规律是前两项之和等于下一项，即Fn = Fn-1 + Fn-2，其中F0 = 0，F1 = 1。

根据这个递推关系，我们可以计算得到斐波那契数列的各个项：0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...递推在数学中有很多应用，比如在排列组合、概率和动态规划等领域。

通过递推，我们可以利用已知的信息来计算和推导出未知的数值，从而解决问题。

三、线性规律与递推的关系线性规律和递推之间有着密切的关系。

实际上，线性规律可以看作是一种特殊的递推关系。

在线性规律中，每一项的计算都是通过找到自变量和因变量之间的线性关系得到的。

当我们遇到一个数列，如果能够确定其中的递推关系，那么该数列很可能满足某种线性规律。

反之，如果我们已知了线性规律，我们也可以通过递推的方式来得到数列的各项值。

四、线性规律与递推的应用线性规律和递推在实际问题中有着广泛的应用。

3.2常系数线性齐次递推关系

2
也都是递推关系(3.2.1)的解。
3.2.4 递推(3.2.1)特征根互不同
特征方程(3.2.2)有k个不同的根x1,x2,…,xk 递推关系(3.2.1)的通解 an＝A1x1n＋A2x2n＋…＋Akxkn 共轭复根x1＝peiө，x2＝pe-iө 递推关系(3.2.1)的通解an＝A1pncosnө ＋ A2pnsinnө ＋A3x3n ＋…＋Akxkn
定理3.2.3 如果特征方程(3.2.2)有k 个不同的根x1,x2,…,xk (可有共轭虚 x ( 根)，则 an＝A1x1n＋A2x2n＋…＋Akxkn 是递推关系(3.2.1)的通解，其中 A1,A2,…,Ak为任意的常数。
3.2.4 递推(3.2.1)特征根互不同
例3.2.1 解递归 f 0=0, 1=1 f
3.2.4 递推(3.2.1)特征根互不同
把f0＝0, f1＝1代入通解得
A1 + A 2 = 0 1 + 5 1− 5 A1 + 2 A 2 = 1 2
5 A1 = 5 =− 5 A2 5
因此所求递归的解为
5 1+ 5 5 1− 5 fn= − 5 5 2 2
定理3.2.5 设x1,x2,…xt-1,xt(t＜k)是特征方程 (3.2.2)的t个不同根，且xt为m(m＝k－t＋1) 重根，则 an＝A1x1n＋A2x2n＋…＋At-1xt-1n ＋n0Atxtn＋n1At+1xt+1n＋ …＋nm-1Akxkn 是递推关系(3.2.1)的通解，其中A1,A2,…,Ak 为任意的常数。
3.3.5 递推(3.2.1)特征根有重根
例3.2.3 解递归 a 0=0,a =1, 2=2, 3=3 a a

递推关系的建立及其求解方法

procedui,temp : double;
begin
for i := 2 to n do begin
minF4i :=1e+100; for j := 1 to i-1 do
begin temp := 2*F4[j] + F3[i-j];
递推关系的建立及其求解方法
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一、递推式的建立
1、Hanoi塔问题
问题Ⅰ: 三柱问题
问题Ⅱ：四柱问题
问题Ⅲ：m柱问题
2、平面分割问题
问题Ⅰ：封闭曲线分割平面
问题Ⅱ：‘Z’分割平面
问题Ⅲ：‘M’分割平面 3、Catalan数
问题一：凸n边形的三角形剖分
问题二：二叉树数目问题三：出栈序列 4、第二类Stirling数
动次数为f(n-1)。
第二步：然后再把1柱最下面的一个盘子移动到3柱上，只需要1次盘子。
第三步：再借助1柱把2柱上的n-1个盘子移动到3上，所需的移动次数为f(n-1)。
由以上3步得出总共移动盘子的次数为：f(n-1)+1+ f(n-1)。所以：f(n)=2 f(n-1)+1
f(n)= 2n-1
问题二：二叉树数目问题描述：求n个结点能构成不同二叉数的数目。
【问题分析】：设F(n)为n个结点组成二叉树的数目。容易知道：f(1)=1;f(2)=2,f(3)=5
选定1个结点为根，左子树结点的个数为i，二叉树数目f（i）种；右子树结点数目为n-i-1，二叉树数目f（n-i-1）种，I的可取范围[0 ，n-1]。所以有：
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问题Ⅰ:三柱问题
设f(n)为n 个盘子从1柱移到3柱所需移动的最少盘次。当n=1时，f(1)=1。当n=2时，f(2)=3。

线性常系数递推关系

n0
所以通项体现式为：an Ar1n Br2n ,
其中常数A, B能够利用待定系数法拟定，或者利用
初始条件(A+B=a0, Ar1+Br2=a1)来拟定。
(1)’ 假如r1≠r2，且是一对共轭复根，则能够假设
r1 ei , r2 e-i
这Байду номын сангаас就有：
an Ar1n Br2n A
e i
解得特征根为 r1 r2 2.
所以通项体现式能够设为：an ( A Bn) 2n.
代入初始条件有
a0 A 1,
A 1, B 1.
a1 2( A B) 4,
所以通项体现式为： an (1 n) 2n.
接下来讨论一般旳k阶线性常系数齐次递推关系：
an C1an1 C2an2 Ckank 0.
(2)
其中 C1,C2, ,Ck (Ck 0), d0,d1, ,dk 1 都是常数，
则(1)称为一种k阶线性常系数递推关系，
(2)称为初始条件。
假如b(n)=0，则称为齐次旳，不然称为非齐次旳。
先考虑二阶线性常系数齐次递推关系，即
an b an1 c an2 0, c 0
令母函数为G(x)=a0+a1x+a2x2+…，则
1 r1x
ba0 ) x
1 r2 x
.
下面要根据特征根来进行分类讨论。
(1) 假如r1≠r2，则
G(x)
a0 (a1 ba0 ) x
1 r1x1 r2 x
A 1 r1 x
B 1 r2 x
A (r1 x)n B (r2 x)n
n0
n0
( Ar1n Br2n ) xn ,

如何利用数学归纳法解决递推关系

如何利用数学归纳法解决递推关系在数学中，归纳法是一种证明数学命题的方法。

它通过证明成立的初始条件和推导规则，逐步推论出所有情况都成立的结论。

归纳法在解决递推关系问题中起到了至关重要的作用。

本文将介绍如何利用数学归纳法解决递推关系。

一、了解递推关系的定义递推关系是指一个数列中的每一项按照特定的规则来确定。

通常，递推关系可以分为线性递推关系和非线性递推关系两种类型。

线性递推关系可以表示为：an = c1 * an-1 + c2 * an-2 + ... + cn * an-k，其中an 为数列的第n项，c1、c2、...、cn为常数，k为非负整数。

二、确定递推关系的初始条件在利用数学归纳法解决递推关系时，首先需要确定递推关系的初始条件。

这些初始条件是递推关系的基础，通过这些条件可以推导出后续的项。

三、应用数学归纳法进行证明1. 第一步：验证初始条件是否成立通过数学归纳法，我们需要验证初始条件是否成立。

即验证递推关系中的第一个或多个初始条件是否满足。

如果初始条件成立，那么我们可以继续进行下一步的推导。

2. 第二步：假设第k个条件成立在数学归纳法中，我们先假设第k个条件成立，即假设an = c1 * an-1 + c2 * an-2 + ... + cn * an-k成立。

3. 第三步：推导第k+1个条件的成立根据递推关系，我们可以推导出第k+1个条件的成立。

即假设an+1 = c1 * an + c2 * an-1 + ... + cn * an-k+1成立。

4. 第四步：证明第k+1个条件成立通过推导，我们可以得到第k+1个条件的表达式。

然后，我们将第k个条件代入这个表达式中，将其化简为合理形式。

如果第一个条件成立，那么我们可以得出结论：递推关系对于第k+1个条件也成立。

5. 第五步：利用数学归纳法推导出所有条件成立通过以上步骤的循环，我们可以得到由初始条件出发，逐步推导出所有条件都成立的结论。

这样，我们就利用数学归纳法成功地解决了递推关系问题。

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第１卷第４３月２１年１期０１２
辽宁师专学报
ＪｏｒａｆＬｉｏｎａｈｒｌｇｕｎｌｏａｎｉｇＴｅｃｅｓＣｏｌｅｅ
ＶＯＩ．１３ＮＯ．４
Ｄｅｅ．２０ｌｌ
【术研究】学
３特征根法］
定义１设志阶常系数线性齐次递推关系为
ｎ＋Ｃｌ１Ｃ２ｔ２－＋Ｃ口一一０Ｃ ≠ ０口一＋Ｏ一４ … ，＾
（６）
则称
ｚ＋Ｃｌ－ｚ一４ … ＋Ｃ一ｚ４Ｃ＾０ｚ一４Ｃ２－ｌ－一（）７
的特解依厂）（的类型变化的规律，也与求常系数线性非齐次微分方程确定特解所遵循的规律十分相似．例３求解二阶非齐次递推关系ｎ一６ａ一一３．ａ一＋９。
解：对应的齐次递推关系的特征方程为
一
６ｚ＋９＝０＝＝
例用函方求递关｛：ｌ－一５母数法解推系ｏ，＂。Ｉ＝一ａ一．Ｕ－，２ｎ口９ｚ１￣９：ａ一，｛。－１
ｎ（４１）
由定理４
一— 十一岳ＺＺＺ
其中６，ｂ０６，：为待定常数．
Ａ）一＋一一丢ｃｚ号南
再将Ａ（工）的每个部分分式展成幂级数（式上）于是就有形，
‘
Ａ， ÷ ｚ号３－ｃｉ３３ｚ一薹＂一一１＋］ｃ一十Ｘ＂３一
故
口一一
÷［一（）］１一３＋３
ｆ口一十。 ≥ １口一ｌ，（。一０【口
收稿日期：２１一Ｏ — ２０１９Ｏ作者简介：刘连福（９５，男，辽宁大连市人，副教授，主要从事高等数学教学研究．１６一）
刘连福
从以上解题过程可见，Ａ具有ｎ个线性无关的特征向量是必须的．因为只有这样才可以确定可逆阵Ｐ，使Ａ与对角阵Ａ满足
Ａ — ＰＡＰ一
所以使用这种方法的前提是Ａ具有，个线性无关的特征向量．ｚ
５母函数法 ‘
６向量空间同构映射法［ｓ］
设递推关系为
ｆ＋ｂ＋Ｃ２— ０口ａａ，ｎ≥ ３
Ｉ一。口一２ｎ，２
考虑对任一固定的自然数ｎｎ≥ ３，ａ一（ｎ，，看成复数域Ｃ上的，维向量空间Ｃ（）将ｎ， … ｎ）ｚ中的向量，则ＣＩ，中的向量满足
ｎ一Ａｌ，－ｑ４ … ＋ＡｌＡ２ ” －ｑ４
其中Ａ，，，为任意常数．Ａｚ … Ａ定理３若ｑ为（）志６的重特征根，在ｎ则通解表达式中含有的对应项为
（＋Ａ２＋ … ＋Ａ＾ｎｌ）Ａ１ｑ
ｎ一［１（＋）＋（一）］一０１ … １ ”，，，
，
ｃ３
将（２代人到（），１）９中得
ａ
、。
ｎＡ）Ａ一；］＋Ｐ一丢：－（（ｌ一）Ｐ）一一：Ｊｇ）
比较（３两端分量，１）立得
ｎ一－（）厂ｎ（）２
则（）为（）解．２称１的
求解线性递推关系一般有迭代法、归纳法、特征根法、矩阵特征向量法、母函数法以及向量空间法．
１迭代法
此方法适合阶数较低的递推关系的求解，特别是对一阶递推关系更加有效．例１解递推关系
求解线性递推关系方法综述
刘连福
（大连海洋大学，辽宁大连１６０）１３０
摘要：介绍求解线性递推关系常用的迭代法、归纳法、特征根法、矩阵特征向量法、母函数法和向量空间法等多种方法，并结合实例对各种方法的适用性予以辨析．关键词：递推关系；迭代法；特征向量；母函数；同构映射中图分类号：Ｏ１６１５．文献标识码：Ａ文章编号：１０ — ５８（０】Ｏ一ｏ１ — Ｏ０８６８２１）４０Ｏ４
为递推关系（）６的特征方程，特征方程（）７的根称为（）６的特征根．对于递推关系（）６，有以下几个结论成立：定理１若ａ一ｑ为（）６的非零解的充分必要条件是ｑ为（）６的特征根，口满足方程（）即７．定理２若ｑ，ｚ … ，为（）ｇ，６的互不相同的特征根，递推关系（）则６的通解为
用母函数法求解递推关系过程比较复杂，相对而言特征根法要简单一些．但特征根方法只能适用于常系数线性递推关系的求解，而对于非线性递推关系却是无能为力的．母函数方法恰好弥补了这一缺陷，它
对于变系数线性递推关系和非线性递推关系均是有效的．
ｎ一（＋Ｂ３７３Ａ）叶／２
其中Ａ，Ｂ为任意常数．４矩阵特征向量法［］・
结合实例介绍此种解法．
例４求递关定问ｆ４２＋＇解推系解题。１。ｎｎ— ：一 ≥ －
ｌａｏ＝＝＝ａｌ＝＝ｊ＝
０引言
所谓递推关系，是指由数列ａ，ｎ，… ，ａ，… ，和自然数７所确定的关系式，一般称隐函数。１
Ｆ（０ｌ … ，一Ｏａ，，ａ）
为递推关系．当Ｆ是关于ｎ的线性函数，则称Ｆ为线性递推关系．
如果从（）１可求出不含ｎ，ｎ，… ，ｎ一的ｎ。关于的解析表达式
定设数。一口，称Ａｚ一∑ 口该数母函而列口，．ｎ，义２列口，， …，（）ｎ为列的数，称数。． …为ｚｎ ’
Ａ（）的生成数列．ｘ利用母函数可求解递推关系，且这种方法适用面较宽，许多较为复杂的递推关系均可由此法求解．关
．
由以上几条结论不难看出，求已知递推关系（）６的通解问题与求解常系数线性齐次微分方程的通解颇
有类似．同理忌阶常系数线性非齐次递推关系
ｎ＋Ｃｎ一＋ＣＣ一＋ … ＋Ｃａ一＝／，ｋ０１１２２ｔｋ（）Ｃ ≠ （）８
（５）
对（）５逐次迭代，可得
ｂ一ｂ一＋１ｂ２２６３３ … 一ｂ十：２ｌ一一＋ — ＋一０＝＋＝
所以口＝３（２，ｎＯ＝十） ≥ ＝
２归纳法］
对于一些递推关系，可以通过观察当 ”取较小值时ｎ的取值随着变化的初步规律，进而总结、推知ｎ关于的一般函数关系，然后用归纳法加以证明．例２用归纳法求解递推关系
由（４，１）以及初值ａ一０口１）（５。，一１口 —２求得ｂ＝０ｂ — １ｂ —１于是，２，。＝，１＝，２，
刘连福
求解线性递推关系方法综述
Ａ（）二ｚ一『
将Ａ（）分解成部分分式之和形式，得
ｆ＝ａ＿＋３， ≥ １ｎ＝３ｌ１ ”
Ｉ０ｎ —２
（３）
解：将（）３变形为
一
＋
（）４
令６鲁，－，，则（化为递一ｎ１２ …，３新的推关系）
ｆ＿＋１ ≥ １ｂ一６１１，ｎ【。２ｂ＝
解对递关采矩表，于ｎ（）。以（一（．：该推系用阵示由ａｚ（）有＋，，）（）１所）
辽宁师专学报
２１年第４期０１
记一，（一（反运此推系得Ａ（则））复用递关可）有Ａ：，二ａ）（。ａ／ｎ：）ｎ一＋Ａ－Ｉ（）
求解线性递推关系方法综述
解：给定几个较小的，观察口的取值，可知
口一０
ｎ一１１＝一
（＋１Ｏ）
ｎ —９３＝（４１－）２ — ：Ｏ－４２＝
ｎ—３ —６一３６。
（４１２３。０－＋＋）
口一１０１。０＝０一（－＋２３４Ｏｑ１－＋＋）
至此猜想口有可能为（＋Ｉ＋… ｑｎ即Ｏ＋２－），
一ｃｚ．［］。＋．。ｃ＋＋一
接下来需要用数学归纳法证明其真实性（．略）
＝
（９）