最大熵谱估计

g m1 (n
1)
K* m1
f m1 (n)
总结: ⑴从信息论角度出发，定义了熵谱 ⑵有约束的优化问题，在不同约束条件下 AR谱估计(相关匹配) ARMA谱估计(相关匹配＋倒谱匹配)
⑶Levinson递推(典范表示) ⑷Burg递推
p
A(z满) 足 a(i)zi
i0
p
2
W (z) A(z) 2 a(i)zi
i0
而且若 A(z)的根0全部在单位园内，则A(z)是唯一确定的。
功率谱(spectrum)
P(倒) 谱(cepstrum)
ln P()
max 1
log P()d
2
条件
相关函数匹配：21
P( )e
倒谱匹配：1 log P( )e j
性质1： I (xk ) 0, 若Pk 1
性质2 (非负性)：
I(xk ) 0Q 0 Pk 1
性质3： I (xk ) I (x j ), 若Pk Pj
熵：平均信息量，X取值的字符集
H (X ) Pk I (xk ) Pk log Pk
xk
xk
连续型随机变量：
H (X ) p(x)I (x)dx p(x) log p(x)dx EI (x)
(功率)谱熵： H
P()
1
2
log
P( )d
已知： R(k), k 0, 1,L2p+,1个p样本相关函数，使
max H P()
问题：求 P( )
max
H
P( )
max
1
2
log
P( )d
约束条件：Rˆ (k) 1 P()e jk d R(k),
2
k 0, 1,L , p
相关函数匹配
jk d kd
R(k), C (k ),
k 0, 1,L , p k 0, 1,L , p
2
J () 1
2
log
P( )d
p k p
k
R(k
)
1
2
－
P( )e
j k
d
q k q
k
C (k )
1
2
－
log
P(
)e
j
k
d
q
k e jk
P( )
k q p
k e jk
am
(m)
am 1 (m)
K
m
a* m1
(0)
am (m) Km
am
(i)
am1 (i )
K
m
a* m1
(m
i)
Km am (m)
Pm
1 Km 2
Pm1
预测误差功率
但 K如m 何递推？
Burg递推解决
Burg定义：前向预测误差 后向预测误差
m
fm (n) am (i)x(n i) i0
J P() 1
2
ln
P( )d
p k
p
k
Rˆ x
(k)
1
2
ຫໍສະໝຸດ Baidu
P(
)e
jk d
J P( )
0
P( )
P() p 1
ke jk
k p
k
1
p
ke jk
k p
与AR功率谱等价
Fejer-Riesz定理：
W (z)
p k zk zejW ( )
p
k e jk
k p
k p
若 W () ，0则一定可以找到一个
Levinson递推：
am
(i)
am1
(i)
K
m
a* m1
(m
i),
i 0,1,L , m
前向
反射系数
后向预测系数
特殊值：⑴
i 0,
am
(0)
am 1 (0)
K
m
a* m1
(m)
am 1 (0)
m 1,⑵取初始值a1(0)=1 a1(0) a2 (0) L am (0) 1
i m,
k p
结构熵
与ARMA功率谱等价
max
H
2
P(
)
1
2
P() log P()d
相关函数匹配
则会得到指数模型的
P( )
难求！
Levinson递推
递推的算法：阶数递推 时间递推
am1(i) am (i) ak (i) ak (i 1)
典范表示： am (i) am1(i) 校正项 ak (i) ak (i 1) 校正项
m
gm (n) am* (m i)x(n i) i0
Pm
1N 2 nm
fm (n) 2
gm
(n)
2
平均预测误差能量
N
f
m1
(n)
g
* m
1
(n
1)
Km
nm1
1N 2 nm1
fm1(n) 2
g m 1 (n
1)
2
fm (n) fm1(n) Km1gm1(n 1)
gm (n)