第五章 位置的确定 教案

第五章位置的确定
§5.1 确定位置（1）
【学习目标】
1.识别现实生活中大量存在的确定位置的模型，借助现实情境解释其中蕴含的思考方法；
2.掌握“由点找坐标”和“由坐标确定点的位置”的思想方法.
【学习重点】
体会平面上确定物体位置有多种形式和方法，但基本都需要两个数据.
【学习难点】
灵活运用不同的方式确定物体的位置.
【学习过程】
一.情景引入
1.在电影院内如何找到电影票上所指的位置？
2.2003年2月24日10时03分，我国新疆伽师发生6.8级强烈地震，地震中心位于新疆伽师县城正东40公里处（北纬39.5度，东经77.2度）.根据这个报道，你能在地图上找到地震中心的大致位置吗？有几种方法？
二.新课学习
〖问题讨论〗
1.（1）在电影票上，“6排3号”与“3排6号”中“6”的含义有什么不同？
（3）如果将“8排3号”简记为（8，3），那么“3排8号”如何表示？（5，6）表示什么含义？
2.生活中有哪些方法可以确定位置？
〖例题精选〗
例1如图是某次海战中敌我双方舰艇对峙示意图.对我方舰艇来说：
（1）北偏东40º的方向上有哪些目标？要想确定敌舰B的位置，还需要什么数据？
（2）距我方潜艇图上距离1cm处的敌舰有哪几艘？
（3）要想确定每艘敌舰的位置，各需几个数据？
我方潜艇
注：（1）在平面上确定一个点的位置，不论用哪种方式，都必须有两个数据，仅有一个数据不能确定位置；
（2）用有序数对（a ，b ）确定位置时，注意有序性.当a ≠b 时，点（a ，b ）与（b ，a ）的位置不同.
请在图中标出飞机在不同时刻的位置，并按时间顺序把表示飞机位置的点连接起来（O 点表示控制中心，以10km 为单位长度）.
三.课堂随练
完成课本P126：1及议一议 四.课堂小结
1.确定位置的必要性；
2.常用的确定位置的方法：
（1）用一对有序实数对（a ，b ）来确定，若（3，4）；
（2）先确定一点为中心，再利用方位角及中心点的距离来确定，如（30º，40）； （3）用经纬度来确定，如北纬39度，东经118度； （4）利用区域定位，如C4区、4号楼3单元. 3.确定位置的注意点：
（1）不论用哪种方式确定位置，都必须有两个数据；
（2）注意实数对（a ，b ）的有序性，当a ≠b 时，点（a ，b ）与（b ，a ）的位置不同. 五.课后作业
完成课本P127：习题5.1；《评价手册》P86：3、4
1 0º
30º 60º 90º 120º 150º 180º 210º
240º 270º 300º 330º
O 2 3 4 5 6
§5.1 确定位置（2）
【学习目标】
经历在方格纸上确定点的位置的过程，进一步体会平面上确定位置的两种方式. 【学习重点】
平面上点的位置的确定. 【学习难点】
坐标思想在点的位置确定中的体现. 【学习过程】 一.复习引入
生活中有哪些常用的确定位置的方法？ 二.新课学习
1.完成课本P128：做一做. 〖例题精选〗
例1如图为某学校的平面示意图.借助刻度尺、量角器，解决如下问题： （1）教学楼位于校门的北偏东多少度的方向上？到校门的图上距离约为多少厘米？实际距离呢？ （2）某楼位于校门的南偏东约75º的方向，到校门的实际距离为400米.说出这一地点的名称. （3）如果用（2，5）表示图上校门的位置，那么图书馆的位置如何表示？（10，5）表示哪个地点的位置？
想一想：仅有一个数据（如方位角或距离），能准确确定教学楼的位置吗？
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
1 2 3 4 12
11
10 9 8 7 6 5 比例：1∶10000 图书馆 · 教学楼 ·
· 校门
· 花坛 · 实验楼 · 旗杆 北
例2如图所示，点A 表示2街与5大道的十字路口，点B 表示4街与3大道的十字路口，点C 表示5街与4大道的十字路口.
如果用（4，3）→（5，3）→（5，4）表示由B 到C 的一条路径，那么你能用同样的方式写出由A 经B 到C 的路径吗？
三.课堂随练
完成：课本P130：随堂练习1、2；
《百分百训练》P146：一、二；P147：一. 四.课堂小结
平面上确定位置常用方法： （1）选定一个原点（观测点），然后利用方向角和物体到原点的距离来确定； （2）选定一个原点，把平面分成若干个小格，标明排列序号，然后用“列”、“排”序号表示平面上点的位置.
无论哪种方法，都用两个数据表示位置. 五.课后作业
课本P131：习题5.2
《评价手册》P88：2、3、5
7大道 6大道
5大道 4大道 3大道 2大道
1大道
1街 2街 3街 4街 5街 6街 7街
·
·
A ·
B
C
§5.2 平面直角坐标系（1）
【学习目标】
1.认识并能画出平面直角坐标系；能在方格纸上建立适当的直角坐标系；
2.初步理解坐标平面内点与有序实数对的一一对应关系，并能熟练地有点的位置求坐标； 明确数轴上点的坐标特征和四个象限中点的坐标符号的特征. 【学习重点】 由点求坐标；（a ，b ）与（b ，a ）的区别和书写顺序. 【学习难点】
坐标平面内的点和有序实数对的一一对应关系. 【学习过程】 一.情景引入
数学家笛卡儿在潜心研究能否用代数中的计算来代替几何中的证明时，有一天，在梦中他看见一只蜘蛛正忙于结网，顺着吐出的丝在空中飘动.一个念头闪过脑际：眼前这一条条经纬线不正是我全力以赴研究的直线和曲线吗？惊醒之后，灵感终于来了，那只蜘蛛的位置不是可以用它到窗框两边的距离来确定吗？由此他发明的笛卡儿直角坐标系便诞生了. 二.新课学习
1.平面直角坐标系
通常，两条数轴分别置于水平位置和铅直位置，
取向右和向上的方向分别为两条数轴的正方向.
水平的数轴叫做x 轴或横轴，
铅直的数轴叫做y 轴或纵轴，x 轴和y 轴统称坐标轴它们的公共原点O
称为直角坐标系的原点.
如图所示，两条坐标轴把平面分成四个部分：
右上部分叫做第一象限依次叫做第二象限、第三象限、第四象限. 注：坐标轴上的点不在任何象限内. 2.点的坐标.
如图，对于平面内的任意一点P ，过点P 分别向x 轴、y 轴作垂线，垂足在x 轴、y 轴上对应的数a 、b 分别叫做点P 的横坐标、纵坐标，注：
1.书写顺序：横坐标写在前面，纵坐标写在后面，中间用逗号隔开，外面加括号.
2.点的位置与坐标：
若点P 在第一象限，则a >0，b >0；
若点P 在第二象限，则a <0，b >0； 若点P 在第三象限，则a <0，b <0；
若点P 在第四象限，则a >0，b <0；
若点P 在x 轴上，则b=0若点P 在y 轴上，则a=0，即：纵轴上的点的横坐标为0. 反之亦然.
〖例题精选〗
例1 写出图中多边形ABCDEF 各个顶点的坐标.
想一想：
（1）点B 和点C 的纵坐标相同，线段BC 的位置有什么特点？ （2）线段CE 的位置有什么特点？
例2如图，已知A 、B 两村庄的坐标分别
为（2，2）、（7，4），一辆汽车从原点O
在x 轴上行驶.
（1）汽车行驶到什么位置时离A 村最近？
写出此点的坐标； （2）汽车行驶到什么位置时离B 村最近？ 写出此点的坐标；
（3到两村的距离和最小.
三.课堂随练
完成：课本P133：做一做；随堂练习；《百分百训练》P149：一、二. 四.课堂小结
平面直角坐标系及相关概念；
课本P134：习题5.3；《评价手册》P91：3、4、5
§5.2 平面直角坐标系（2）
【学习目标】
能正确地画出平面直角坐标系；在给定的直角坐标系中，会根据坐标描出点的位置. 【学习重点】
能根据点的坐标确定平面内点的位置.
【学习难点】
体会点的坐标与点到坐标轴的距离之间的关系.
【学习过程】
一.课前复习
平面直角坐标系的相关概念及坐标平面内的点的坐标的特征.
二.新课学习
例1 在直角坐标系中描出下列各组点，并将各组内的点用线段依次连接起来.
①（－6，5），（－10，3），（－9，3），（－3，3），（－2，3），（－6，5）；
②（－9，3），（－9，0），（－3，0），（－3，3）；
③（3.5，9），（2，7），（3，7），（4，7），（5，7），（3.5，9）；
④（3，7），（1，5），（2，5），（5，5），（6，5），（4，7）；
⑤（2，5），（0，3），（3，3），（3，0），（4，0），（4，3），（7，3），（5，5）.
观察所得的图形，你觉得它像什么？
注：你是怎样根据坐标描点的？
例2 在直角坐标系中描出下列各组点，并将各组内的点用线段依次连接起来.
①（0，0），（7，7），（7，3），（10，6），（10，－6），（7，－3），（7，－7），（0，0）；
②（3，－7），（2，－5），（2，－2），（4，－6），（5，－7）；
③（4，－4），（4，4）；
④（7，3），（7，－3）；
⑤（2，0）.
（1）观察图形，你觉得它像什么？
（2）观察点的坐标，你能发现一些点的位置及其坐标之间的关系吗？
（3）试计算（1）中点的连线所围成的图形的面积.
思考：关于x轴成轴对称的点的坐标有什么关系？关于y轴成轴对称的点的坐标有什么关系？关于原点成轴对称的点呢？
例3 已知点P到x轴的距离为3，到y轴的距离为2，求点P的坐标.
思考：点P（a，b）到x轴、y轴、原点的距离分别是多少？
三.课堂随练
完成：课本P136：做一做；
补充练习：
1.点P（－3，4）关于x轴对称的点的坐标是，关于y轴对称的点的坐标是
，关于原点对称的点的坐标是；点P到x轴的距离是，
到y轴的距离是，到原点的距离是.
2.已知点P（－3，4），A（x，－3），B（2，y）.
若PA∥y轴，则x= ；若PB∥x轴，则y= .
若PA⊥x轴，PB⊥y轴，x、y的值又是多少？
3.若点P（a，b）在x轴的上方，则b的取值如何？若点P在x轴的下方呢？
若点P（a，b）在y轴的左方，则a的取值如何？若点P在y轴的右方呢？
若点P（a，b）在第一、三象限两坐标轴夹角的平分线上，a、b有什么关系？若点P在第二、四象限两坐标轴夹角的平分线上呢？
四.课堂小结
建立平面直角坐标系后，平面上的任意一点都可以用一对有序实数对（即坐标）来表示，且任意一对有序实数对都表示平面内唯一确定的点.
即：平面内的点和有序实数对是一一对应的.
五.课后作业
课本P137：习题5.4；P149：5
补充题：在直角坐标系中描出点A（－3，2）及它关于x轴对称的点B、关于原点对称的点C、关于y轴对称的点D.（1）写出B、C、D三个点的坐标；（2）顺次连接AB、BC、CD、DA，判断所得四边形的形状；（3）求该四边形的周长、面积及对角线的长.
§5.2 平面直角坐标系（3）
【学习目标】
能结合具体情境，建立适当的直角坐标系描述物体的位置. 【学习重点】
建立适当的直角坐标系，确定点的坐标. 【学习难点】
利用给定点的坐标建立直角坐标系. 【学习过程】 一.课前复习 练习：
1.直角坐标系中，点A 的坐标是（－4，2），则点A 关于x 轴对称的点的坐标是 ， 关于y 轴对称的点的坐标是 ，关于原点对称的点的坐标是 .
2.在直角坐标系中，点P （x ，y ），xy <0，x <y ，且P 到x 轴、y 轴的距离分别为3、7，则点P 的坐标是 . 二.新课学习 〖情景引入〗
在平面直角坐标系中，我们可以由点找坐标，由坐标确定点.
现在给你一个边长为4的正方形，你能说出它的四个顶点的 坐标吗？你必须先做什么工作？结果是唯一的吗？
〖例题精选〗
例1 如图，矩形ABCD 的长与宽分别是6、4，建立适当的直角坐标系，并写出各个顶点的坐标.
注：平面直角坐标系的建立，方法不唯一.一般选择图形中互相垂直的两条线段所在直线分别为x 轴、y 轴，交点为原点O.建立直角坐标系后，我们可以利用已知线段的长或已知点的坐标，求出未知点的坐标.
例2 对于边长为4的正ΔABC ，建立适当的直角坐标系，写出各个顶点的坐标.
A B C
D A
C D A B C
例3在一次“寻宝”游戏中，寻宝人已经找到了坐标为（3，2）和（3，－2）的标志点，并且知道藏宝地点的坐标为（4，4），除此之外不知道其他信息.如何确定直角坐标系找到宝藏？
注：由已知点的坐标找出平面上点的位置，关键是作出平面直角坐标系，以及坐标轴上的单位长度.通常根据点的位置及坐标来决定单位长度的大小.
例4如图，已知ΔABC 的面积为24，∠ABC=45º，BC=12，以BC 所在直线为x 轴，BC 边上的高所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系. （1）求ΔABC 三个顶点的坐标；
（2）求ΔABC 的周长.
三.课堂随练
完成：课本P138：随堂练习；《评价手册》P94-95：1、2、3. 四.课堂小结
1.直角坐标系的建立与点的坐标之间的关系；
2.建立直角坐标系的方法. 五.课后作业
课本P139：习题5.5、1、2；试一试；《数学之友》P59：5、6
· A （3，2） · B （3，－2）
§5.3 变化的鱼（1）
【学习目标】
经历图形坐标变化与图形的平移、轴对称、伸长、压缩之间关系的探索过程，培养形象思维能力和数形结合意识.
【学习重点】
图形坐标变化与图形平移之间的关系.
【学习难点】
在同一坐标系中感受图形上点的坐标变化与图形变化之间的关系.
【学习过程】
一.新课学习
例1在直角坐标系中描出点（0，0），（5，4），（3，0），（5，1），（5，－1），（3，0），（4，－
2），（0，0），并用线段依次连接起来，它像什么？
将图中的点（0，0），（5，4），（3，0），（5，1），（5，－1），（3，0），（4，－2），（0，0） 做如下变化：
（1）纵坐标保持不变，横坐标分别变成原来的2倍，再将所得的点用线段依次连接起来，所得的图案与原来的图案相比有什么变化？
（2）纵坐标保持不变，横坐标分别加3，再将所得的点用线段依次连接起来，所得的图案与原来的图案相比有什么变化？
（3）纵坐标保持不变，横坐标分别变成原来的2
1倍，所得的图案与原来的图案相比有什么变化？
（4）横坐标保持不变，纵坐标分别乘－1，所得的图案与原来的图案相比有什么变化？
（5）纵、横坐标分别变成原来的2倍，所得的图案与原来的图案相比有什么变化？
二.课堂随练
完成《评价手册》P96：1、2
三.课堂小结
在同一直角坐标系中，图形的变化（平移、轴对称、伸长、压缩）与坐标之间的关系：1.图形中各点的横坐标不变，纵坐标都加a时，图形被整体向上（或下）平移|a|个单位，其中a>0，向上；a<0，向下.
图形中各点的纵坐标不变，横坐标都加a时，图形被整体向左（或右）平移|a|个单位，
其中a>0，向右；a<0，向左.
2.图形中各点的横坐标不变，纵坐标都乘以a（a>0）时，图形被纵向压缩或拉伸a倍，
其中0<a<1时，压缩；a>1时，拉伸.
图形中各点的纵坐标不变，横坐标都乘以a（a>0）时，图形被横向压缩或拉伸a倍，其中0<a<1时，压缩；a>1时，拉伸.
图形中各点的横坐标、纵坐标都乘以a（a>0）时，所得图形与原图形相比，形状不变，但图形被放大或缩小了.
3.图形中各点的横坐标不变，纵坐标都乘以－1，所得图形与原图形关于x轴对称；
图形中各点的纵坐标不变，横坐标都乘以－1，所得图形与原图形关于y轴对称；
图形中各点的横坐标、纵坐标都分别乘以－1，所得图形与原图形关于原点对称.
四.课后作业
课本P143：习题5.6；P149：6；P151：3.
§5.3 变化的鱼（2）
【学习目标】
经历图形坐标变化与图形的轴对称之间关系的探索过程，进一步培养形象思维能力和数形结合意识.
【学习重点】
图形坐标变化与图形的轴对称之间的关系.
【学习难点】
形象思维能力和数形结合意识的培养.
【学习过程】
一.课前复习
在同一直角坐标系中，图形的变化（平移、轴对称、伸长、压缩）与坐标之间的关系.
二.新课学习
〖做一做〗
如图，左右两幅图案关于y轴对称.右图案中的左右眼睛的坐标分别是（2，3），（4，3），嘴角左右端点的坐标分别是（2，1），（4，1）.
（1）试确定左图案中的左右眼睛和嘴角左右端点的坐标.
例1如图，有两只小船，其中一只是由另一只经过变换得到的，在每只小船上各选三对对应
点，寻找每对对应点之间的坐标关系，并说明小船（2）可由小船（1）怎样变换得到？
例2如图是一个长与宽分别是4和2的长方形，能将它的顶点坐标经某种变化变成一个正方
例3如图，在直角坐标系中，第一次将Δ
OAB 变换成ΔOA 1B 1，第二次将ΔOA 1B 1变换成 ΔOA 2B 2，第三次将ΔOA 2B 2变换成ΔOA 3B 3.
已知A （1，3），A 1（2，3），A 2（4，3），A 3（8，3）；
B （2，0），B 1（4，0），B 2（8，0），B 3（16，0）.
（1）观察每次变换前后的三角形，找出规律，按此变换规律再将ΔOA 3B 3变换成ΔOA 4B 4， 则A 4的坐标是 ，B 4的坐标是 ；
（2）若按第（1）题中找到的规律将ΔOAB 进行n 次变换，得到ΔOA n B n ，则A n 的坐标是 ，B n 的坐标是 ；
（3）ΔOA n B n 可由ΔOAB 经过怎样的变换得到？
三.课堂随练
完成课本P145：1；P146：试一试；P150：3
补充题：某个图形上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的相反数，此时图形却未发生任何变化，你认为可能吗？举例说明.
四.课堂小结
找图形的变化规律的方法——选择几组对应点，通过坐标变化的规律加以分析.
五.课后作业
课本P146：习题5.7；P150：4；P151：2
回顾与思考
【知识与技能】
1.确定平面上的点的位置的方法很多，通常需要两个量来确定一个点的位置，这两个量可以都是数，也可以是一个角度、一个数；
2.平面直角坐标系是确定平面上的点的位置的有用工具，用平面直角坐标系，可以把一个有序实数对与一个点一一对应起来；
3.点的坐标的变化使得平面上的图形发生变化.
【重点】
在给定的平面直角坐标系中，由点的位置写出它的坐标，根据坐标描出点的位置.
【难点】
体会图形的坐标变化与形状、大小、位置变化之间的关系.
【例题精选】
例1在直角坐标系中，
（1）描出点A （－3，0）、B （－2，2）、C （4，6）、D （6，0），并用线段按字母顺序连接起
来；
（2）求四边形ABCD 的面积.
例2如图，出租车从A 地出发行驶到B 地，一定有好几条不同的最短路线可供选择.你认为这样的路线共有多少条？
假如由于某种原因，出租车不能经过点C 所在的街道，则此时出租车可以选择几条不同的最短路线？若用（0，0）→（0，1）→（0，2）→（1
条不经过点C 所在街道的路线，请表示出其他的路线
例3如图，已知ΔOAB 的三个顶点坐标是O （0，0），（1）求ΔOAB 的周长和面积；
（2）若横坐标不变，纵坐标乘以2求变化后的三角形的周长和面积；
（3）若横坐标、纵坐标都乘以2的周长和面积有什么关系？
y O x
例4如图，两条互相垂直的直线l 1和l 2相交于点P （2，2），l 1和x 轴的正半轴交于点A ，l 2 和y 轴的正半轴交于点B ，试求四边形OAPB 的面积.当l 1和l 2绕着点P 旋转时，l 1、l 2和坐标轴围成的图形的面积有什么变化？
【课堂随练】
完成《评价手册》P102-103：1、2、3
【课堂小结】
1.平面直角坐标系的基本概念；
2.图形的坐标变化与图形的轴对称、平移、压缩、放大等之间的关系.
【课后作业】
《评价手册》P103-104：4、5、6、7
【思考题】
1.某公路的同一侧有A 、B 、C 三个村庄，要在公路边上建一个货栈D ，向A 、B 、C 三个村庄送农用物资，路线是D →A →B →C →D 或D →C →B →A →D.若把x 轴建立在公路上（公路边近似看作公路上），三个村庄的坐标为A （1，2）、B （2，4），C （4，1），试问在公路边是否存在一点，使送货路程最短？若存在，请画出点
D 的位置，求出点D 的坐标；若不存在，
请说明理由.
2.如图，一个机器人在点A 处发现一个小球自点B 处沿x 轴向原点O 方向滚来，机器人立即从A 处匀速前进去拦截小球.
（1）若小球滚动的速度与机器人行走速度相等，试在图中画出机器人最快截住小球的位置C ；
（2）如果点A 的坐标为（2，5），点B 的坐标为（10，0），小球滚动的速度与机器人行走
速度相等，求机器人最快截住小球的位置C 的坐标.
y O x A B y O x · ·。