自动控制原理题海(附标准答案)
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第四章习题及答案
4-1 已知开环零、极点如图4-1 所示，试绘制相应的根轨迹。
解 根轨如图解4-2所示：
4-2 已知单位反馈系统的开环传递函数，试概略绘出系统根轨迹。 ⑴)
15.0)(12.0()(++=
s s s K
s G ；
⑵)
3)(2()
5()(*+++=s s s s K s G ；
解 ⑴)15.0)(12.0()(++=
s s s K s G =)
2)(5(10++s s s K
系统有三个开环极点：01=p ,2p = -2,3p = -5 ① 实轴上的根轨迹：
(]5,-∞-, []0,2-
② 渐近线：⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧±=+=-=--=πππϕσ,33)12(3
73520k a a
③ 分离点：
02
1511=++++d d d 解之得：88.01-=d ，7863.32-d (舍去)。
④ 与虚轴的交点：特征方程为 D(s)=0101072
3
=+++K s s s
令 ⎩⎨⎧=+-==+-=0
10)](Im[0
107)](Re[3
2ωωωωωj D K j D 解得⎩⎨
⎧==7
10K ω
与虚轴的交点（0，j 10±）。 根轨迹如图解4-3(a)所示。
⑵ 根轨迹绘制如下： ① 实轴上的根轨迹：
[]3,5--, []0,2-
② 渐近线： ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧±=+==----=22)12(02
)5(320ππϕσk a a
③ 分离点： 5
1
31211+=
++++d d d d 用试探法可得
886.0-=d 。根轨迹如图解4-3(b)所示。
4-9 已知系统的开环传递函数，试概略绘出相应的根轨迹。
⑶)22)(3()
2()()(2
++++=*s s s s s K s H s G ； ⑷)
164)(1()
1()()(2
++-+=*s s s s s K s H s G 。 解
⑶)
22)(3()2()()(2++++=
*s s s s s K s H s G
系统有四个开环极点、一个开环零点。根轨迹绘制如下： ① 实轴上的根轨迹：[],3,-∞-[]0,2-
② 渐近线： ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧±=+=-=----++-+-=πππϕσ,33)12(13)2()11()11(3k j j a a ③ 与虚轴交点：闭环特征方程为
D （s ）=s(s+3)(s 2+2s+2)+*
K (s+2)=0
把s=j ω代入上方程，令
⎪⎩⎪⎨⎧=-+==+-=**
5)6())(Im(028))(Re(324ωωωωωωK j D K j D 解得： ⎩⎨⎧==*
K ω⎩⎨⎧=±=*
03
.761
.1K ω ④起始角
=3
p θ 57.2557.251359045180-=---+
根轨迹如图解4-5(c)所示。
⑷)
164)(1()
1()()(2
++-+=*s s s s s K s H s G 系统根轨迹绘制如下：
① 实轴上的根轨迹：[],1,-∞-[]1,0
② 渐近线： ⎪⎪⎩
⎪⎪
⎨
⎧±=+=-=----++-+=πππϕσ,33)12(323)1()32()32(1k j j a a ③ 分离点：
1
1
32213221111+=
+++-++-+d j d j d d d 解得：d 1= -2.26 , d 2=0.49 , d 3,4= -0.7616.2j ±(舍去)
④ 与虚轴交点：闭环特征方程为
D （s ）=s(s-1)(s 2+4s+16)+*
K (s+1)=0
把s=j ω代入上方程，整理，令实虚部分别为零得：
⎪⎩⎪⎨⎧=--==+-=**
3)16())(Im(0
12))(Re(3
24ωωωωωωK j D K j D 解得： ⎩⎨
⎧==*
00K ω⎩⎨⎧=±=*7.2138
.1K ω⎩⎨⎧=±=*
3
.3766
.2K ω ⑤ 起始角：
=3
p θ 79..5489..130120901..106180-=---+
由对称性得，另一起始角为
79.54，根轨迹如图解4-5(d)所示。
课外习题选
4-1已知单位反馈系统的开环传递函数，试绘制参数b 从零变化到无穷大时的根轨迹，并写出2=b 时的系统闭环传递函数。
（1）))(4(20
)(b s s s G ++=
（2）)
10()
(30)(++=
s s b s s G
解 （1）做等效开环传递函数
G *
(s)=
20
4)
4(2
+++s s s b ① 实轴上的根轨迹：]4,(--∞ ② 分离点：
4
1
421421+=-++++d j d j d
解得：d 1= -0.472(舍去)， d 2=-8.472
如图解4-14(a)所示，根轨迹为以开环零点为圆心，开环零点到开环极点的距离为半径的圆。 当2=b 时，两个闭环特征根为24.432,1j ±-=λ。 此时闭环传递函数为
)
24.43)(24.43(20
)(j s j s s -+++=
Φ
（2）做等效开环传递函数G *
(s)=
)
40(30+s s b
① 实轴上的根轨迹：[]0,40-- ② 分离点： 040
11=++d d 解得：d= -20
根轨迹如图解4-14(b)所示，
当2=b 时，两个闭环特征根为44.381-=λ，56.12-=λ