自动控制原理题海(附标准答案)

第四章习题及答案
4-1 已知开环零、极点如图4-1 所示，试绘制相应的根轨迹。

解 根轨如图解4-2所示：
4-2 已知单位反馈系统的开环传递函数，试概略绘出系统根轨迹。

⑴)
15.0)(12.0()(++=
s s s K
s G ；
⑵)
3)(2()
5()(*+++=s s s s K s G ；
解 ⑴)15.0)(12.0()(++=
s s s K s G =)
2)(5(10++s s s K
系统有三个开环极点：01=p ,2p = -2,3p = -5 ① 实轴上的根轨迹：
(]5,-∞-, []0,2-
② 渐近线：⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧±=+=-=--=πππϕσ,33)12(3
73520k a a
③ 分离点：
02
1511=++++d d d 解之得：88.01-=d ，7863.32-d (舍去)。

④ 与虚轴的交点：特征方程为 D(s)=0101072
3
=+++K s s s
令 ⎩⎨⎧=+-==+-=0
10)](Im[0
107)](Re[3
2ωωωωωj D K j D 解得⎩⎨
⎧==7
10K ω
与虚轴的交点（0，j 10±）。

根轨迹如图解4-3(a)所示。

⑵ 根轨迹绘制如下： ① 实轴上的根轨迹：
[]3,5--, []0,2-
② 渐近线： ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧±=+==----=22)12(02
)5(320ππϕσk a a
③ 分离点： 5
1
31211+=
++++d d d d 用试探法可得
886.0-=d 。

根轨迹如图解4-3(b)所示。

4-9 已知系统的开环传递函数，试概略绘出相应的根轨迹。

⑶)22)(3()
2()()(2
++++=*s s s s s K s H s G ； ⑷)
164)(1()
1()()(2
++-+=*s s s s s K s H s G 。

解
⑶)
22)(3()2()()(2++++=
*s s s s s K s H s G
系统有四个开环极点、一个开环零点。

根轨迹绘制如下： ① 实轴上的根轨迹：[],3,-∞-[]0,2-
② 渐近线： ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧±=+=-=----++-+-=πππϕσ,33)12(13)2()11()11(3k j j a a ③ 与虚轴交点：闭环特征方程为
D （s ）=s(s+3)(s 2+2s+2)+*
K (s+2)=0
把s=j ω代入上方程，令
⎪⎩⎪⎨⎧=-+==+-=**
5)6())(Im(028))(Re(324ωωωωωωK j D K j D 解得： ⎩⎨⎧==*
K ω⎩⎨⎧=±=*
03
.761
.1K ω ④起始角
=3
p θ 57.2557.251359045180-=---+
根轨迹如图解4-5(c)所示。

⑷)
164)(1()
1()()(2
++-+=*s s s s s K s H s G 系统根轨迹绘制如下：
① 实轴上的根轨迹：[],1,-∞-[]1,0
② 渐近线： ⎪⎪⎩
⎪⎪
⎨
⎧±=+=-=----++-+=πππϕσ,33)12(323)1()32()32(1k j j a a ③ 分离点：
1
1
32213221111+=
+++-++-+d j d j d d d 解得：d 1= -2.26 , d 2=0.49 , d 3,4= -0.7616.2j ±(舍去)
④ 与虚轴交点：闭环特征方程为
D （s ）=s(s-1)(s 2+4s+16)+*
K (s+1)=0
把s=j ω代入上方程，整理，令实虚部分别为零得：
⎪⎩⎪⎨⎧=--==+-=**
3)16())(Im(0
12))(Re(3
24ωωωωωωK j D K j D 解得： ⎩⎨
⎧==*
00K ω⎩⎨⎧=±=*7.2138
.1K ω⎩⎨⎧=±=*
3
.3766
.2K ω ⑤ 起始角：
=3
p θ 79..5489..130120901..106180-=---+
由对称性得，另一起始角为
79.54，根轨迹如图解4-5(d)所示。

课外习题选
4-1已知单位反馈系统的开环传递函数，试绘制参数b 从零变化到无穷大时的根轨迹，并写出2=b 时的系统闭环传递函数。

（1）))(4(20
)(b s s s G ++=
（2）)
10()
(30)(++=
s s b s s G
解 （1）做等效开环传递函数
G *
(s)=
20
4)
4(2
+++s s s b ① 实轴上的根轨迹：]4,(--∞ ② 分离点：
4
1
421421+=-++++d j d j d
解得：d 1= -0.472(舍去)， d 2=-8.472
如图解4-14(a)所示，根轨迹为以开环零点为圆心，开环零点到开环极点的距离为半径的圆。

当2=b 时，两个闭环特征根为24.432,1j ±-=λ。

此时闭环传递函数为
)
24.43)(24.43(20
)(j s j s s -+++=
Φ
（2）做等效开环传递函数G *
(s)=
)
40(30+s s b
① 实轴上的根轨迹：[]0,40-- ② 分离点： 040
11=++d d 解得：d= -20
根轨迹如图解4-14(b)所示，
当2=b 时，两个闭环特征根为44.381-=λ，56.12-=λ
此时闭环传递函数为
)
44.38)(56.1()
2(30)(+++=
Φs s s s
4-2 已知系统结构图如图4-24所示，试绘制时间常数T 变化时系统的根轨迹，并分析参数T 的变化对系统动态性能的影响。

解：s
s Ts s G 20100
)(2
3++=
作等效开环传递函数
3
2*
)
10020(1)(s
s s T s G ++=
根轨迹绘制如下：
① 实轴上的根轨迹：[]10,-∞-,[]0,10- ② 分离点： 10
2
3+=
d d 解得 d= -30。

根据幅值条件，对应的015.0=T 。

③ 虚轴交点：闭环特征方程为
010020)(23=+++=s s Ts s D
把s=j ω代入上方程，整理，令实虚部分别为零得：
⎪⎩⎪⎨⎧=-==-=0
20))(Im(0
100))(Re(3
2
ωωωωωT j D j D 解得： ⎩⎨
⎧=±=2
.010
T ω
④起始角：=1p θ
60
参数T 从零到无穷大变化时的根轨迹如图解4-15所示。

从根轨迹图可以看出，当015.00≤<T 时，系统阶跃响应为单调收敛过程；
2.0015.0<<T 时，阶跃响应为振荡收敛过程；2.0>T 时，有两支根轨迹在s 右半平面，
此时系统不稳定。

4-3 实系数特征方程
0)6(5)(23=++++=a s a s s s A
要使其根全为实数，试确定参数a 的范围。

解 作等效开环传递函数
)
3)(2()
1(65)1()(23+++=+++=
s s s s a s s s s a s G
当0>a 时，需绘制
180根轨迹。

① 实轴上的根轨迹： []2,3--，[]0,1-
② 渐近线：⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧±=-+=-=-+--=213)12(21
3132ππϕσk a a
③ 分离点：
1
1
31211+=
++++d d d d 解得 47.2-=d
分离点处的根轨迹增益可由幅值条件求得：
4147.01
3
2=+++=
*d d d d K d
根据以上计算，可绘制出系统根轨迹如图所示。

由根轨迹图解4-16(a)可以看出，当4147
.00≤≤a 时，多项式的根全为实数。

当0<a 时，需绘制
0根轨迹。

实轴上的根轨迹区段为：(]3,-∞-，[]1,2--，[)∞,0。

由根轨迹图图解4-16(b)可以看出，当0<a 时，多项式的根全为实数。

因此所求参数a 的范围为4147.00≤≤a 或0<a 。

4-3 某单位反馈系统结构图如图4-25所示，试分别绘出控制器传递函数)(s G C 为 ⑴*
)(1K s G C =
⑵)3()(*2+=s K s G C ⑶)1()(*3+=s K s G C
时系统的根轨迹，并讨论比例加微分控制器
)()(*C c z s K s G +=中，零点C z -的取值对
系统稳定性的影响。

解⑴*
1)(K s G c =时
系统开环传递函数为G （C ）=
2)(s 2*
+s K
根轨迹绘制如下：
① 实轴上的根轨迹： ]2,(--∞
② 渐近线： ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧±=+=-=-=πππϕσ,33)12(3
232k a a
根轨迹如图解4-17(a)所示。

⑵)3()(2+=*
s K s G c ；
系统开环传递函数为G （s ）=
2)(s )
3(2++*s s K ，根轨迹绘制如下：
① 实轴上的根轨迹： []2,3--
② 渐近线：⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧±=+==---=22)12(2
12)3(2ππϕσk a a
根轨迹如图解4-17(b)所示。

⑶)1()(3+=*
s K s G c
系统开环传递函数为G （C ）=
2)(s s )
1(2++*s K 。

根轨迹绘制如下：
① 实轴上的根轨迹： []1,2--
题4-17图 系统结构图
② 渐近线： ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧±=+=-=---=22)12(2
12)1(2ππϕσk a a
根轨迹如图解4-17(c)所示。

从根轨迹图中可以看出，比例加微分控制器)()(c c z s K s G +=*
的加入使根轨迹向左移
动，且当p z c <时系统趋于稳定，附加开环零点越靠近虚轴这种趋势越强。

4-4 某单位反馈系统的开环传递函数为
4
)
15.0()(+=
s K
s G 试根据系统根轨迹分析系统稳定性，并估算%3.16%=σ时的K 值。

解 ⑴4
)
2(16)(+=
s K
s G 根轨迹绘制如下：
① 实轴的根轨迹：实轴上的除点2-外没有根
轨迹区段。

② 渐近线：⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
±±=+=-=----=43,44)12(24
2222πππϕσk a a
③ 与虚轴交点：令0)(=ωj D ，解得根轨迹与虚轴交点为2j ±。

根轨迹与虚轴交点对应的根轨迹增益为 64224
=+=*
j K 相应开环增益为 416*
==K K 根轨迹如图解4-18所示。

从根轨迹图中可以看出，当根轨迹增益640*
<<K ，开环增益40<<K ，根轨迹全在左半s 平面，系统稳定；当轨迹增益64*
>K ，开环增益4>K ，有两条根轨迹落在右半s 平面，此时系统不稳定。

⑵ 对二阶系统来说，当%3.16%=σ时，5.0=ξ。

系统阻尼角为
605.0arccos ==β
图解4-18 根轨迹图
在s 平面作等阻尼线OA ，使之与实轴夹角为
60±。

OA 与根轨迹交点为1λ，其余3个交点为2λ，3λ和4λ。

而本系统为四阶系统，其闭环极点分布满足主导极点的分布要求，可以认为，1λ、2λ是主导极点，忽略3λ、4λ作用，将该系统近似为二阶系统。

不难计算
268.1732.01j +-=λ，带入幅值条件可得对应根轨迹增益为：
646.016
|2268.1732.0|4
=++-=j K
4-5 单位反馈系统开环传递函数为
)
22)(3()(2
+++=*
s s s K s G 要求闭环系统的最大超调量%25%≤σ，调节时间s t s 10≤，试选择*
K 值。

解 根轨迹绘制如下： ① 实轴上的根轨迹：(]3,-∞-
② 渐近线：⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧±=+=-=--+--=πππϕσ,33)12(3
53113k j j a a
③ 与虚轴的交点：系统闭环特征方程为
0685)(23=++++=*K s s s s D
把s=j ω代入上方程，整理，令实虚部分别为零得：
⎪⎩⎪⎨⎧=+-==++-=*
8))(Im(0
65))(Re(3
2ωωωωωj D K j D 解得： ⎩
⎨⎧=±=*3483
.2K ω
根轨迹如图解4-19所示。

由%25%≤σ⇒ξ>0.4（
4.664.0arccos ==β），在s 平面作等阻尼线OA ，使之与
实轴夹角为
4.66±。

OA 与根轨迹交点为1λ，其余2个交点为2λ，3λ。

令 n n n n j j ωωξϖξωλ92.04.0121+-=-+-=
则
n n n n j j ωωξϖξωλ92.04.0122--=---=
特征方程为
3232233321)8.0()8.0())()(()(λωλωωλωλλλn n n n s s s s s s s D --+-+=---=
*++++=K s s s 68523
比较系数得 ⎪⎩⎪⎨⎧+=-=-=-*K
n n n n 688.058.032323λωλωωλω
解得 ⎪⎩⎪⎨⎧=-==*8
.4616.373.13K n λω
由调节时间s t s 10≤, 又t s =3.5/ξωn ⇒ξωn ≥0.35，当35.0=n ξω时，由根之和可得3.43-=λ，由幅值条件确定出对应的5.15=*K 。

要求闭环系统的最大超调%25%≤σ，调节时间s t s 10≤，则*K 取值范围对应为
8.40≤≤*K 。