《全等三角形》讲义(完整版)

全等三角形讲义
一、知识点总结
全等三角形定义：形状大小相同，并且能够完全重合的两个三角形叫做全等形三角形。

补充说明：重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。

全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等 全等三角形判定定理：
（1）边边边定理：三边对应相等的两个三角形全等。

（简称SSS ） （2）边角边定理：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。

(简称SAS) （3）角边角定理：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。

（简称ASA ） （4）角角边定理：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。

（简称AAS ） （5）斜边、直角边定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

（简称HL ） 角平分线的性质：在角平分线上的点到角的两边的距离相等.
∵OP 平分∠AOB ，PM ⊥OA 于M ，PN ⊥OB 于N ， ∴PM=PN
角平分线的判定：到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
∵PM ⊥OA 于M ，PN ⊥OB 于N ，PM=PN ∴OP 平分∠AOB
三角形的角平分线的性质：三角形三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三边的距离等。

二、典型例题举例
A B
C P
M
N
O A B
C P
M
N
O
例1、如图,△ABN ≌△ACM,∠B 和∠C 是对应角,AB 与AC 是对应边,写出其他对应边和对应角.
例2、如图，△ABC 是一个钢架，AB=AC ，AD 是连结点A 与BC 中点D 的支架．
求证：△ABD ≌△ACD ．
例3、已知：点A 、F 、E 、C 在同一条直线上， AF ＝CE ，BE ∥DF ，BE ＝DF ． 求证：△ABE ≌△CDF ．
例4、如图：D 在AB 上，E 在AC 上，AB ＝AC ，∠B ＝∠C ．求证AD ＝AE ．
例5、如图：∠1=∠2，∠3=∠4 求证：AC=AD
例6、如图，B 、E 、F 、C 在同一直线上，AF ⊥BC 于F ，DE ⊥BC 于E ，AB=DC ，BE=CF ，你认为AB 平行于CD 吗？说说你的理由
D C
B A
C
A
D
B
12
3 4
例7、如图1，△ABC 的边AB 、AC 为边分别向外作正方形ABDE 和正方形ACFG ，连结EG ，试判断△ABC 与△AEG 面积之间的关系，并说明理由.
例8、如图，OC 是∠AOB 的平分线，P 是OC 上的一点，PD ⊥OA 交OA 于D ，PE ⊥OB 交OB 于E ，F 是OC 上的另一点，连接DF ，EF ，求证DF ＝EF
例9、如图，△ABC 中，AD 是它的角平分线，P 是AD 上的一点，PE ∥AB 交BC 于E ，PF ∥AC 交BC 于F ，求证：D 到PE 的距离与D 到PF 的距离相等
例10、如图，在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于
E ，D
F ⊥AC 于F ，△ABC 面积是282
cm ，AB ＝20cm ，AC ＝8cm ，求DE 的长．
A
G
F C B
D
E
图1
A
E
B D
C
F
A
B C
D
E D C E
F
B
A 例10、已知：BE ⊥CD ，BE ＝DE ，BC ＝DA ，求证：① △BEC ≌△DAE ；②DF
⊥BC ．
例11、如图，已知：E 是∠AOB 的平分线上一点，EC ⊥OB ，ED ⊥OA ，C ，D 是垂足，连接CD ，求证:（1）∠ECD=∠EDC ；（2）OD=OC ；（3）OE 是CD 的中垂线.
三、专题版块
专题一： 全等三角形的判定和性质的应用
例1、如图，在△ABC 中，AB=AC ， BAC=40°,分别以AB 、AC 为边作两个等腰三角形ABD 和ACE ，使∠BAD=∠CAE=90°.(1)求∠DBC 的度数.(2)求证：BD=CE.
例2、如图，A B ∥CD,AF ∥DE,BE=CF,求证：AB=CD.
例3、如图在△ABC 中，BE 、CF 分别是AC 、AB 边上的高，在BE 延长线上截取BM ＝AC ，在CF 延长线上截到CN ＝AB ，求证：AM ＝AN 。

例4、如图，在△ABC 中，BE 、CF 分别是AC 、AB 边上两条高，在BE 上截取BD ＝AC ，在CF 的延长线上截到CG ＝AB ，连接AD 、AG ，则AD 与AG 之间
有何关系？证明你的结论。

C
E D
B A
O
B
C D E F
A
A B C N
M E F A G
B
C
E
D
F
B A
C
D
F
E
例5、如图，等边△ABC和等边△CDE，A、C、E三点在一条直线上，点M为
AD中点，点N为BE中点，。

（1）求证：△CMN是等边三角形（2）将△CDE绕
点C旋转，则下列结论发生变化吗？△AD＝BE；△AD与BE相交所成的角的度
数；△△CMN为等边三角形。

题二：通过证明全等三角形，证明线段相等或平行、
例1、如图，已知△ABC △DEF,且点D与点A对应. 求证：
（1）AB∥DE; (2)DC=AF 例2、如图,已知: AD是BC上的中线,且DF=DE．求证:BE∥CF．
专题三：线段之间数量关系
例1、已知：如图，△ABC中，△C=2△B，△1=△2，求证：AB=AC+CD．
A
B C
D
12
A
C
B
D
E
M
N
A C
E
D
B
M
N
例2、如图，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ，D 为AC 上一点，分别过A.C 作BD 的垂线，垂足分别为E.F,求证：EF ＝CF －AE.
例3、已知：如图所示，BD 为∠ABC 的平分线，AB=BC ，点P
在BD 上，PM ⊥AD 于M ，•PN ⊥CD 于N ，判断PM 与PN 的关系．
例4、如图所示，P 为∠AOB 的平分线上一点，PC ⊥OA 于C ，•∠OAP+∠OBP=180°，若OC=4cm ，求AO+BO 的值．
例5、 已知：如图，四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，
CE ⊥AB 于E ，且∠B+∠D=180︒，求证：AE=AD+BE
A
B
D
C
E 1
2
6、如图，AB△CD ，△ABE ＝△EBC ，△ECB ＝△ECD ，求证：BC ＝AB ＋CD 。

专题四：角平分线问题
例1、如图，AD ⊥DC ，BC ⊥DC ，E 是DC 上一点，AE 平分∠DAB ，BE 平分
∠ABC ，求证：点E 是DC 中点。

A B
C F
D
E P D A C B M
N
P
D
A
C B O A B
C
D
E
A
C E D
B
例2、如图，已知BF 是△DBC 的平分线，CF 是△ECB 的平分线，求证：点F 在△BAC 的平分线上。

例3、如图，已知在△ABC 中，∠B=60°，△ABC 的角平分线AD 、CE 相交于O 点，
求证：①AE ＋CD=AC.②若已知AE ＋CD=AC 求证：∠B=60°
例4、在△ABC 中D 是BC 中点E D ⊥DF 分别交AB 、AC 于E 、F 点试比较BE+CF 与EF 的大小
例5、
如图，△ABC 中，AD 是∠A 的平分线，E 、F 分别为AB 、AC 上一点，且∠EDF ＋∠BAF =180°，求证：DE =DF .
D O
C
E B A A B
C D E F A B C F E
D
A
B C
D E F E
A B
D C B
A C D E
A
D C
B
F
E
四、全等三角形练习试题
基础题
1、如图，在R t △ABC 中，AB=AC ，AD ⊥BC,垂足为D ，E,F 分别为CD,AD 上的点，
且CE=AF ，如果∠AED=62°,则∠DBF=( )
A. 62°
B.38°
C.28° D 50°
2、如图，将一副三角板叠放在一起，使直角顶点重合于E 点，则∠AEC+∠DEB=
3、如图，四边形的对角线与相交于点，，． 求证：（1）；（2）．
4、如图，在R t △ABC 中，∠=90°，BD 平分∠ABC ，交AC 于点D ，AC=15cm,且CD:AD=2:3,求点D 到AB 的距离。

5、如图，AD=BC,A D ∥BC,AE=FC.求证：BE ∥DF.
6、如图，AB ∥CD ，AD ∥BC ，OE ＝OF ，图中全等三角形共有______
对.
ABCD AC BD O 12∠=∠34∠=∠ABC ADC △≌△BO DO =D C B
A O
1 2 3 4
A B C
D E F
7、在数学活动课上，小明提出这样一个问题：∠B ＝∠C ＝90°，E 是BC 的中点，DE 平分∠ADC ，∠CED ＝35°，如图，则∠EAB 是多少度？大家一起热烈地讨论交流，小英第一个得出正确答案，是______.
8、如图，AD ，A ′D ′分别是锐角三角形ABC 和锐角三角形A ′B ′C ′中BC ，B ′C ′边上的高，且AB ＝A ′B ′，AD ＝A ′D ′．若使△ABC ≌△A ′B ′C ′，请你补充条件________.（填写一个你认为适当的条件即可）
9、如图，∠DCE=90o ，CD=CE ，AD ⊥AC ，BE ⊥AC ，垂足分别为A 、B ，试说明AD+AB ＝BE.
中档题
1、如图，已知B E ⊥AD ，交AD 延长线于点E ，CF ⊥AD ，且BE=CF ，请你判断AD
是△ABC 的中线还是角平分线，并说明你判断的理由.
2、如图，CF, BE 是△ABC 高，且BP=AC,CQ=AB,试判断AP 与AQ 的数量关系，并证明.
A B C D A ′ B ′ D ′ C ′ D C B
A E
3、如图，P 是∠BAC 内一点，PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，垂足分别为点E 和F,AE=AF. （1）求证：PE=PF ；（2）∠CAP 与∠BAP 相等吗？为什么？
4、如图，BF ⊥AC 于F ，CE ⊥AB 于E ，BF 和CE 交于点D ，且BE=CF ，求证：AD 平分∠BAC
5、如图①，E 、F 分别为线段AC 上的两个动点，且DE ⊥AC 于E ，BF ⊥AC 于F ，若AB =CD ，AF =CE ，BD 交AC 于点M ．（1）求证：MB =MD ，ME =MF （2）当E 、F 两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由．
6、如图17所示，在∠AOB 的两边上截取AO ＝BO ，OC ＝OD ，连接AD 、BC 交于点P ，连接OP ，则下列结论正确的是 ( )
①△APC ≌△BPD ②△ADO ≌△BCO ③△AOP ≌△BOP ④△OCP ≌△ODP A ．①②③④ B ．①②③ C ．②③④ D
．①③④
A
B
C
D
P
O
C
A B
D E
A B D C
P
Q
E A
D
C
B
能力题
1、如图13所示，在等腰R t △ABC 中，∠C=90°，AC=BC,AD 平分∠BAC 交BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，若AB=10,求△BDE 的周长.
2、 根据下列条件，能画出唯一△ABC 的是（ ） A 、AB=3,BC=4,CA=8 B 、AB=4,BC=3, ∠A=30°
C 、∠C=60°, ∠B=45°,AB=4
D 、∠C=90°,AB=6
3、如图，四边形ABCD 是矩形，△PBC 和△QCD 都是等边三角形，且点P 在矩
形上方，点Q 在矩形内求证：（1）∠PBA=∠PCQ=30°； （2）PA=PQ
4、如图，△ABC 和△ADE 是有公共顶点的等腰直角三角形.
求证: BD=CE; ∠ABD=∠ACE
5、如图，C 为线段AE 上一动点（不与点A ，E 重合），在AE 同侧分别作正三角形ABC 和正三角形CDE ，AD 与BE 交于点O ，AD 与BC 交于点P ，BE 与CD 交于点Q ，连结PQ ．以下五个结论：
① AD=BE； ② PQ ∥AE ；
③ AP=BQ；
④ DE=DP； ⑤ ∠AOB=60°．
恒成立的结论有______________（把你认为正确的序号都填上）．
6、如图，在△ABC 中，D 为BC 的中点，DE ⊥BC ，交∠BAC 的平分线AE 于E ，EF ⊥AB 于F ，EG ⊥AC 交AC 的延长线于G ，求证：BF =CG .
A
B
C E D
O
P Q
7、如图，已知BF ＝CE ，BC ＝EF ，AB ＝DE ，求证：△A ＝△D ，△AEF ＝△CBD 。

8、如图，△B ＝△C ，EF△BC 于E 交AB 于D ，交CA 和延长线于F ，AM△FD 于M ，求证：FM ＝DM 。

9、如图，已知AM△BN ，AC 平分△MAB ，BC 平分△NBA 。

（1）过点C 作直线DE ，分别交AM 、BN 于点D 、E ，求证：AB ＝AD ＋BE （2）如图，若将直线DE 绕点C 转动，使DE 与AM 交于点D ，与NB 的延长线交于点E ，则AB 、AD 、BE 三条线段的长度之间存在何种等量关系？谫你给出结论并加以证明。

A
B C D
E F
A C
B E D F M
A B
C D E
N M
A B
C D
M N E。