正应力强度校核

任务十八 梁的主应力和主应力迹线 二、梁内一点斜截面上的应力
图2
任务十八 梁的主应力和主应力迹线
取ebf为研究对象(图12.27(d))。若ef面的面积为dA，则eb面和bf面
的面积分别为dAcosα和dAsinα (图12.27(e))。取垂直和平行于斜截面 的坐标轴n和τ。
∑Fn=0 σαdA+(τdAcosα)sinα(σdAcosα)cosα+(τdAsinα)cosα=0 σα-σcos2α+2τsinαcosα=0
任务十八 梁的主应力和主应力迹线 三、梁的主应力及最大剪应力 3、 主应力强度条件
最大剪应力理论(第三强度理论) 这一理论认为：材料塑性破坏的主要因素是最大剪应力。也就 是说，无论是在复杂应力状态还是在单向应力状态下，只要材料危 险点处的最大剪应力达到轴向拉伸破坏时的最大剪应力值，材料就 发生塑性破坏。 第三强度理论的强度条件为
存在着导致破坏的应力。
σmax≤［σ］ τmax≤［τ］
图2
任务十八 梁的主应力和主应力迹线 二、梁内一点斜截面上的应力
当研究梁内任意一点A斜截面上的应力时，围绕点A取出一个边长 为dx的无限小的单元体abcd(图2)。由于单元体的边长为无穷小，可以认 为各平面上的应力是均匀分布的，且平行面上的应力是相同的。单元体 两横截面ab、dc上的应力σ和τ σ=M/Iy，τ=QSz/Izb 单元体上、下面ad、bc上的应力可由剪应力互等定律得到(图2(b)。 取任意斜截面ef，其外法线n与x轴的夹角为α，规定由x轴转到外法 线n为逆时针转向时，则α为正。
任务十八 梁的主应力和主应力迹线 二、梁内一点斜截面上的应力
前面单元研究了梁在横截面上的应力分布规律及其计算，并建 立了横截面正应力和剪应力的强度条件： 但实际上梁还可能沿斜截面发生破坏。
例如图1所示的钢筋混凝土梁，在荷载作用下，除了在跨中产生 竖向裂缝外，支座附近会发生斜向裂缝。这说明在梁的斜截面上也
任务十八 梁的主应力和主应力迹线
三、梁的主应力及最大剪应力
2、切应力极值及其所在平面
切应力极值的两个所在平 面互相垂直
任务十八 梁的主应力和主应力迹线 三、梁的主应力及最大剪应力
【例 1】求图3(a)所示梁内某点单元体的主应力值及其所在的位置。 【解】(1) σ1==(-20+20√2)MPa=8.28MPa σ3=(-20-20√2)MPa=-48.28MPa (2) 根据公式(12.15) tan2α0=-2τ/σ=-2×10/-20=1 由三角函数知2α0=45°，α0=22.5° 则 α0′=α0+90°=22.5°+90°=112.5 主应力及其所在位置如图3(b)所示。
模块二
项目五
材料力学
梁的强度和刚度
任务十八 梁的主应力和主应力迹线 教学重点 对梁进行主应力的校核 教学难点 强度理论
模块二
项目五
材料力学
梁的强度和刚度
任务十八 梁的主应力和主应力迹线 教学内容
1、一点的应力状态的概念
2、平面应力状态分析 3、梁的主应力和主应力迹线的概念
任务十八 梁的主应力和主应力迹线
一、 应力状态
1、应力状态的概念 引入：当危险点处既有正应力，又有切应力存在时，前述的强度条 件就 “一点处的应力状态”，并在此
基础上建立新的强度条件 一点处的应力状态：这一点处各个方向面上的应力情况的总称。 单元体：围绕某点取出一个微小的正六面体。
任务十八 梁的主应力和主应力迹线
一、 应力状态 平面应力状态：在单元体的三对表面中，只要有一对表 面上应力为零，则称这种应力状态为平面应力状态。 2、研究应力状态的目的 分析破坏的原因 建立复杂应力强度条件的前提 3、研究的内容 1．研究一点处的应力状态； 2．研究一点处的应变状态； 3．研究应力与应变之间的关系；
xd 3 2 3 2
任务十八 梁的主应力和主应力迹线 三、梁的主应力及最大剪应力 3、 主应力强度条件
任务十八 梁的主应力和主应力迹线
三、梁的主应力及最大剪应力
图3
任务十八 梁的主应力和主应力迹线 三、梁的主应力及最大剪应力 3、 主应力强度条件 由于应力组合有各种可能，要采用试验的方法建立强 度条件是难以达到的。因此，这类问题应根据材料在各种 情况下的破坏现象，运用判断、推理的方法，提出一些假 说，说明材料的破坏无论是单向应力状态还是复杂应力状 态，都是由同一个因素所引起。于是，可以利用单向应力 状态的实验结果，建立复杂应力状态下的强度条件。这种 假说称为强度理论。
任务十八 梁的主应力和主应力迹线
三、梁的主应力及最大剪应力
1、主应力和主平面 对式(1) dσα/dα=0 得 σ/2sin2α+τcos2α=0 剪应力等于零的截面称为主平面，主平面上的应力称为主应力。 主应力公式
任务十八 梁的主应力和主应力迹线
三、梁的主应力及最大剪应力
主应力按其代数值排列顺序，并分别用σ1、σ2、σ3表示， 且σ1≥σ2≥σ3 tan2α0=-2τ/σ 求得最大主应力σ1和最小主应力σ3：
∑Fτ=0 ταdA-(τdAcosα)cosα(σdAcosα)sinα+(τdAsinα)sinα=0
τα-σcosαsinα-τ(cos2α-sin2α)=0
任务十八 梁的主应力和主应力迹线 二、梁内一点斜截面上的应力
cos2α=(1+cos2α)/2 2sinαcosα=sin2α cos2α-sin2α=cos2α 代入(a)、(b) σα=σ/2+σ/2cos2α-τsin2α τα=σ/2sin2α+τcos2α 运用式(1)和式(2)可求得梁内一点任 意斜截面上的应力σα和τα。
1,3

( )2 2 2 2

max
1 2
2
任务十八 梁的主应力和主应力迹线
三、梁的主应力及最大剪应力 表明最大剪应力等于最大主应力与最小主应力之差的一半。
比较式(3)和式(4)
tan2α1=-cot2α0=tan(2α0+90°) 可见剪应力极值所在的平面与主平面的夹角为45°。