结构力学专题十(多自由度体系的动力计算)
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结构力学专题
2
5 k 3 m
2
P0 sin t P0 sin t
k m
P0 sin t
P0 sin t
P0 sin t
1
1
P0 K
?
?
?
一班课后练习
例4：用振型叠加法求图示结构的稳态振幅。
k1 3103 kN / m ; k2 2 103 kN / m; m1 m2 m 10200 kg;
1
讨论： （a）在简谐荷载作用下，各质点仍做简谐振动。
(b) 当 0 时，
同单自由度体系 同单自由度体系 发生共振。
(c) 当 时，
(d ) 当 i 时， i 1,2,n
２、动内力计算——动静法。（同单自由度体系）
例1：求图示结构的动位移幅值和动内力幅值。
k1 k，k 2 2k， m1 m，m2 2m；
?
y1st ?
1 ?
y2 st ?
2 ?
例5：对下图示体系，试证明： 当 y1 0 y2 0 ，y 1 0 y 2 0 时， 体系只按第二主振型振动。 提示： m1=m
l /3
m2=m
l /3
l /3
y(t ) 1(t )1 2 (t )2
m1
m2
l /3
y1 EI y 2
l /3
l /3
P
I1
I1 0.2936P I 2 0.2689P
A1
A2
I2
A1 0.025 Pl3 / EI A2 0.023 Pl3 / EI
1.2936 P
0.2689P
0.3173Pl
第8章 结构的动力计算-多自由度07
( i = 1, 2 )
第15章 结构的动力计算 8. 5 两自由度体系的振动分析
特例: 特例: 刚度形式
k11 k12 m k11 + k12 m
k11 = k22 , m1 = m2 = m
ω1 =
, ω2 =
柔度形式
δ11 = δ 22 , m1 = m2 = m
λ1 = (δ 11 + δ 12 )m
(i = 1, 2)
ωi =
K i* (i = 1, 2) * Mi
小结: 小结: → K * , M * → ω
第15章 结构的动力计算 8. 5 两自由度体系的振动分析
( 3 ) 位移的分解 任意一个给定位移向量,利用振型的正交性, 任意一个给定位移向量,利用振型的正交性,均可将 其分解成2个振型的线性组合 个振型的线性组合. 其分解成 个振型的线性组合.
(ω )1, 2
2
1 k11 k22 1 k11 k22 2 k11k22 k12 k21 = ( + ) ( + ) 2 m1 m2 4 m1 m2 m1m2
第15章 结构的动力计算 8. 5 两自由度体系的振动分析 ω1 ≤ ω 2
11 k12 k22 m1ω12 = = 2 21 k11 m1ω1 k21
11 12 φ1 = , φ2 = 21 22
1 1 φi = k21 ci = k11 ωi2 m1 ci k ω 2m k12 i 2 22
第15章 结构的动力计算 8. 5 两自由度体系的振动分析
柔度形式的方程
1 (δ11m1 2 )1 + δ12 m2 2 = 0 ω δ m + (δ m 1 ) = 0 22 2 21 1 1 ω2 2
结构力学中体系的计算自由度
结构力学中体系的计算自由度写在前面：①【自由度】：体系运动时所具有的独立运动方式数目，也就是体系运动时可以独立变化的几何参考数目，或者说确定体系位置所需的独立坐标数目。
如：一个点在平面中的自由度为2（两个平动）；一个刚片在平面中的自由度数为3（两个平动和一个转动）。
②【约束】：限制运动的装置称为联系（或约束），体系的自由度可因加入联系而减少，能减少一个自由度的装置称为一个联系（或约束）。
常用的联系有链杆和铰。
一根链杆为一个联系，一个单铰为两个联系，也就是相当于两根链杆的作用。
联结n 个刚片的复铰可以当做（n-1）个单铰，将减少2（n-1）个约束；联结n 个刚片的复刚结点可以当做（n-1）个单刚结点，将减少3（n-1）个约束。
在体系中加入一个联系，而并不能减少体系的自由度，这样的联系称为多余联系（联系）。
使体系成为几何不变而必须的约束称为必要联系（约束）。
方法一：结点法以结点为对象，以链杆为约束计算式：bj W -=2其中，W —计算自由度j —自由结点数（与地面紧连的不算）b —链杆数（包括支座链杆）方法二：刚片法以自由的刚片为对象，以结点和链杆为约束计算式：)23(m 3r b g W ++-=其中，W —计算自由度m —自由刚片数g —单刚结点的数目（复铰）b —单铰结点的数目（复铰）r —链杆的数目结点法例子：体系计算自由度020210=-⨯=W 说明：体系中除了与大地紧连的结点外一共有10个，链杆有20根。
刚片法例子：体系计算自由度[]116263317=⨯+⨯-⨯=W 说明：将刚片拆分成17根，刚结点4，铰结点14。
NOTE ：①刚片法中的单铰结点数和单刚结点数以及链杆数指刚片间的；②大地也是一大刚片，但大地作为参考系没有自由度，算自由刚片的时候不能算上，但是若是将支座链杆也看做是刚片的话，则需要考虑支座链杆与大地之间的单铰接点或单刚结点；③可以用计算自由度的方法分析体系的几何构造:0>W ,表明体系中缺少足够的约束，为几何常变体系；0=W ,表明体系具有成为几何不变所需要的最少联系数目。
结构力学第10章动力学2
2、方程的解：
设解的形式： y1 (t ) = Y1 sin(ωt + α ) y2 (t ) = Y2 sin(ωt + α )
惯性力 − m1 &&1 (t ) = m1ω 2Y1 sin(ωt + α ) y 2 − m2 &&2 (t ) = m2ω Y2 sin(ωt + α ) y
k12 M kn2
L
k1n k2n M =0
k 22 − ω 2 m2 L
L k nn − ω 2 mn
n个ω 2的解对应n各ω：ω1 < ω2 < Lωn
ω1 − − − 第一频率或基本频率
3、振型
对应于ωi，其质点的振幅比值是常数，所以有n各振型： Y11 Y12 Y1n Y Y Y Y 1 = 21 ；Y 2 = 22 LY n = 2 n M M M Yn1 Yn 2 Ynn CY1i Y1i CY Y 2i 2i i i 则：CY = 若Y = L L Yni CYni 为方程(K − ω 2 M)Y = 0的解 也为方程的解
( K − ω12 M )Y 1 = 0 17.414Y11 − 5Y21 + 0 × Y31 = 0 − 5Y11 + 6.707Y21 − 3Y31 = 0 0 × Y11 − 3Y21 + 1.707Y31 = 0
令：Y31 = 1；求得： Y21 = 0.569；Y11 = 0.163 0.163 第一振型：Y 1 = 0.569 1
ω2 = (
1 k11 k 22 1 k k k k −k k + ) ± [ ( 11 + 22 )]2 − 11 22 12 21 2 m1 m2 2 m1 m2 m1m2
结构动力学多自由度
▪ 振型方程：
(K i2M)ji 0 (i 1, 2, 3, n)
▪∵
K 2i M 0
▪ ∴ 第i 个振型方程中的n 个方程中只有n-1个是独立的！ ▪ ——无法得到j1i、 j2i、 … 、 jni 的确定值， ▪ 但可以确定各质点振幅之间的相对比值： ▪ —— 振型的幅值是任意的，但形状是惟一的。
一致质量矩阵：
L
pava m13v1 0 fI ( x)v( x)dx
L
0
m( x) 3( x)v3
L
1( x)v1dx
mij 0 EI ( x)i ( x) j ( x)dx
L
cij 0 c( x) i ( x) j ( x)dx
其中，c(x)表示分布的粘滞阻尼特性。
一致节点荷载
L
vˆ 表示体系的形状，不随时间变化。
v 2vˆ sin(t ) 2v 2mvˆ sin(t ) kvˆ sin(t ) 0
k 2m vˆ 0
k 2m vˆ 0
即： k 2m 0
上式的N个根，表述体系可能存在的N个振型的频率。
1
2
3
N
2)
2
)
y32
(t
)
jˆ
32
s
in
(
2
t
2
)
1
jˆ
2i
yi
(t
)
jˆ3i
s
in(i
t
i
)
jˆ ni
1
jˆ 21
jˆ 31
jˆ 32
1
jˆ 22
将N个振型中的每一振型形式，用F表示N个振型所组成的方阵。
11 12 13 1N
结构力学结构的动力计算
下册P73
§14-1 概述
一、构造动力计算旳特点
1、内容： （1）研究动力荷载作用下，构造旳内力、位移等计算原理 和计算措施。求出它们旳最大值并作为构造设计旳根据。 （2）研究单自由度及多自由度旳自由振动、逼迫振动。 2、静荷载和动荷载 （1）静荷载：荷载旳大小和方向不随时间变化（如梁板 自重）。 （2）动荷载：荷载旳大小和方向随时间变化，需要考虑 惯性力（与影响线不同）。
2、自由度：构造运动时，拟定全部质点位置 所需要旳独立几何参变量旳数目（与几何构成自由 度不同）。
3、有关自由度旳几点阐明：
（1）基本未知量数目与自由度数目是一致旳。前者强调独 立位移数目，后者强调独立坐标数目。
（2）与几何构成份析中旳自由度不同。
（3）一般采用“集中质量法”，将连续分布旳质量集中为 几种质点研究。
y
y 0 ω
sinωt
y0cosωt
进一步可拟定式
y c sin(t ) 中旳c和
c
c12 c22
y02
(
y0
)2
tg
1(
c2 c1
)
tg 1 (
y0
y0
)
c
c2
c1
频率定义：
2 2f
T
频率：
k11 1 g gk11
m
m 11
w 11
w
周期： T 2
m 2 k11
■ 动力计算与静力计算旳区别:
•达朗伯原理:动力计算可化为静力平衡问题来处理。 •这是一种形式上旳平衡，是一种动平衡，是在引进 惯性力旳条件下旳平衡。 • 注意两个特点：
（1）力系中涉及惯性力； （2）瞬间旳平衡，荷载、位移、内力等都是时间旳 函数。
§14-1 概述
一、构造动力计算旳特点
1、内容： （1）研究动力荷载作用下，构造旳内力、位移等计算原理 和计算措施。求出它们旳最大值并作为构造设计旳根据。 （2）研究单自由度及多自由度旳自由振动、逼迫振动。 2、静荷载和动荷载 （1）静荷载：荷载旳大小和方向不随时间变化（如梁板 自重）。 （2）动荷载：荷载旳大小和方向随时间变化，需要考虑 惯性力（与影响线不同）。
2、自由度：构造运动时，拟定全部质点位置 所需要旳独立几何参变量旳数目（与几何构成自由 度不同）。
3、有关自由度旳几点阐明：
（1）基本未知量数目与自由度数目是一致旳。前者强调独 立位移数目，后者强调独立坐标数目。
（2）与几何构成份析中旳自由度不同。
（3）一般采用“集中质量法”，将连续分布旳质量集中为 几种质点研究。
y
y 0 ω
sinωt
y0cosωt
进一步可拟定式
y c sin(t ) 中旳c和
c
c12 c22
y02
(
y0
)2
tg
1(
c2 c1
)
tg 1 (
y0
y0
)
c
c2
c1
频率定义：
2 2f
T
频率：
k11 1 g gk11
m
m 11
w 11
w
周期： T 2
m 2 k11
■ 动力计算与静力计算旳区别:
•达朗伯原理:动力计算可化为静力平衡问题来处理。 •这是一种形式上旳平衡，是一种动平衡，是在引进 惯性力旳条件下旳平衡。 • 注意两个特点：
（1）力系中涉及惯性力； （2）瞬间旳平衡，荷载、位移、内力等都是时间旳 函数。
结构力学第10章 结构的动力计算
F k
1
2 1 2
yst sin t
A yst
F F yst F 2 m k
动荷载幅值当作静载 作用时质体的位移
1
2 1 2
A yst
动力系数
§10-3
单自由度体系的强迫振动
动力系数的讨论
0， 1
荷载变化比较慢，可按静载处理。
解
对于竖向振动，柔度系数为
l3 48 EI
ml 3 T 2 m 2 48 EI
1 48 EI ml 3 m
§10-2
单自由度体系的自由振动
例题10-2 求图示悬臂杆的水平和竖向振动时的自振周期
解 （1）水平振动
当杆顶作用水平力W时，杆 顶的水平位移为
Wl 3 st 3EI
杜哈梅积分(Duhamel)
1 t y (t ) 0 FP sin t d m
零初始条件下，单自由度体系在任意荷载下的动位移公式
若 则
y0 0
v0 0 v0
1 y y0 cos t sin t m
t
0
FP ( ) sin t d
y t C1 sin t C2 cos t
F y t y t y * t C1 sin t C2 cos t sin t 2 2 m
§10-3
单自由度体系的强迫振动
代入初始条件
y 0 0 C2 0; F y 0 0 C1 m 2 2
（2）竖向振动
Wl 3 T 2 3EIg
当杆顶作用竖向力W时，杆顶的 竖向位移为
【哈工大 结构动力学】SD 第10章 多自由度体系2020
➢ 所谓振型就是结构不同点(自由度)变化时的比例关系。
11
以上分析方法就是代数方程中的特征值分析，自振频率相应 于特征值，而振型即是特征向量。
得到体系的N 个自振频率和振型后，可以把振型和自振频率
分别写成矩阵的形式，
1 2 N
1 0 0
0
2
0
或
1,2,3
T
n
jqj(t)
j
2.0jjqj(t )
j
2 j
qj(t
)
T j
M
Mj
I
ug(t )
振型分解法仅需知道各振型阻尼比 ξ，不需要知道阻尼矩阵[C]
定义振型参与系数γj
j
jT M I
Mj
jT M I jT M j
基本性质
[] 1
两边同时除以振型参与系数γj ，得到：（j＝1，2，…N）
得到三个根 ：
B1 0.3515, B2 1.6066, B3 3.5420
利用关系式
Bn n2 600
可得结构的三个自振频率：
12 210.88
1 14.522
22 963.96 2 31.048 (rad / s)
32 2125.20
3 46.100
19
算例10-1
求振型 ： (K n 2 M ) n 0
7
将位移向量{u}和加速度向量{ü}代入无阻尼自由振动方程：
u 2 sin( t ) u s in ( t )
M u K u 0
( 2 M K ) sin( t ) 0
因为sin(ωt+θ)为任意的，可以消去，因此，
(K 2 M ) 0
上式是关于{φ}的N阶齐次线性方程组，表征了振型和自振
11
以上分析方法就是代数方程中的特征值分析，自振频率相应 于特征值，而振型即是特征向量。
得到体系的N 个自振频率和振型后，可以把振型和自振频率
分别写成矩阵的形式，
1 2 N
1 0 0
0
2
0
或
1,2,3
T
n
jqj(t)
j
2.0jjqj(t )
j
2 j
qj(t
)
T j
M
Mj
I
ug(t )
振型分解法仅需知道各振型阻尼比 ξ，不需要知道阻尼矩阵[C]
定义振型参与系数γj
j
jT M I
Mj
jT M I jT M j
基本性质
[] 1
两边同时除以振型参与系数γj ，得到：（j＝1，2，…N）
得到三个根 ：
B1 0.3515, B2 1.6066, B3 3.5420
利用关系式
Bn n2 600
可得结构的三个自振频率：
12 210.88
1 14.522
22 963.96 2 31.048 (rad / s)
32 2125.20
3 46.100
19
算例10-1
求振型 ： (K n 2 M ) n 0
7
将位移向量{u}和加速度向量{ü}代入无阻尼自由振动方程：
u 2 sin( t ) u s in ( t )
M u K u 0
( 2 M K ) sin( t ) 0
因为sin(ωt+θ)为任意的，可以消去，因此，
(K 2 M ) 0
上式是关于{φ}的N阶齐次线性方程组，表征了振型和自振
计算结构动力学 多自由度体系的振动
tgi=2i/i(1-i2)
(36)
将式(34)代回
{u}=ii(t){A}i ， 得
{u(t)}=[iisin(it-i)/i2]{A}i
(37)
无阻尼情况自然可以当作有阻尼情况的特例，在上
述结果中令i=0得到。
4.3 多自由度的受迫振动
4.3.3 简谐荷载受迫振动反应分析步骤
左乘{A}jT、后一式左乘{A}iT，再将两式相减，由于质 量、刚度的对称性，可得
由此可得
(i2-j2){A}jT[M]{A}i=0
(11)
{A}jT[M]{A}i=0
(12)
上式乘j2，考虑到j2[M]{A}j物理意义是第j振型对应
的惯性力幅值，因此式（12）表明第j振型对应的惯性
力在第i振型位移上不做功，反之亦然。
(e)
方程两边同时左乘{A}jT，根据正交性则有
Mj*ÿj(t)+Kj*yi(t)=0
(20)
从式(20)可得(根据单自由度自由振动结果)
yi(t)=aisin(it+ci)
(f)
代回多自由度所假设的解，即可得
{u(t)}=aisin(it+ci){A}i
(21)
5）式(21)中的待定常数ai、ci可由初始条件确定。如何
22求无阻尼自由振动的振型求无阻尼自由振动的振型aaii频率频率ii33用阻尼比用阻尼比1122和频率和频率1122求瑞利阻尼的求瑞利阻尼的00和和44求求ii振型振型参与系数振型振型参与系数iiaaiittppaaiittmmaa55求求ii振型阻尼比振型阻尼比12120066求求ii振型动力系数振型动力系数iiii222244ii22ii22121277求求ii振型相位角振型相位角iiarctg2arctg2iiii2288求求ii振型广义位移振型广义位移iittiisinsiniittiiii2299将各振型广义位移代回将各振型广义位移代回uuiittaaii则得最终则得最终结果结果uuttiisinsiniittiiii2237374444441441基本原理基本原理对动力问题设单元位移场仍表示成对动力问题设单元位移场仍表示成ddnnddee只是现在只是现在ddddxtddee设杆单元的密度为设杆单元的密度为将微段惯性力将微段惯性力aaaaddxx作为作为体积力则这一单元荷载的总虚功为体积力则这一单元荷载的总虚功为dxdx3838引入单元一致质量矩阵引入单元一致质量矩阵mmeedx39394444由式3939代入形函数并积分对质量均匀分布的平代入形函数并积分对质量均匀分布的平面弯曲单元其单元一致质量矩阵面弯曲单元其单元一致质量矩阵mmee13221561354221354221564204040作业
结构力学专题十三(多自由度体系的动力计算)
FP1
m1
l
EI
l
FP 2
m2
l
二、任意荷载作用*
运动方程： M y(t) Ky(t) FP (t) (a)
1、主振型矩阵
1 2 n
2、广义质量、广义刚度
} M * T M 对角阵
K* T K
3、正则坐标
y(t) (t)
(b)
M y(t) Ky(t) FP(t) (a)
４、振型迭加法分析强迫振动
例1：求图示结构的动位移幅值和动内力幅值。
k1 k，k2 2k，
m1
m1 m，m2 2m；
P0 sin t
EI1
k1 m2
h
已知：
2
k m
EI1
k2
h
A
P0 k
1 0
1
1
I
F
0P0
P0
P0
P0 k
动位移幅值图
动荷载图（虚拟）
例2：求图示结构的动位移幅值和动内力幅值。
已知：
i
(t
)
i
(0)
cos
it
i (0) i
sin
it
(i 1, 2)
l
0E.I041
P0 L3 EI
sinP0 stin
m
t
EI
从以上例题的计算中可看出，一般情况下 １l 〉２ 〉l〉ｎ
故在振型迭加法中,一般是前几阶振型起主要作用。
思考：用振型叠加法求例1所示结构的位移幅值。
2
k m
2
1 3
k m
2 5 k 3m
2
k m
P0 sin t
P0 sin t
(结构动力学)多自由度体系运动方程
fsi ki1u1 ki2u2 kiNuN
系数kij称为刚度影响系数，简称刚度系数，物理意义是：
kij—由第j自由度的单位位移所引起的第i自由度的力
即j自由度给定一个单位位移， 而其余自由度都不动时， 所需要的力（反力）。
6.1 直接平衡法
弹性恢复力 fsi ki1u1 ki2u2 kiNuN
只要能用广义坐标给出体系总动能T和位能V的表 达式，以及确定相应于每一广义坐标的非保守 力Qi，就可以直接由Lagrange运动方程建立结构 体系的运动控制方程。
下 面 通 过 算 例 来 介 绍 如 何 应 用 Lagrange 方 程 ， 从 算例中可以看到，用Lagrange运动方程建立的运 动方程不限于线性。
自由度方法也可以得到相当好的近似解。但对于复杂
的结构体系或作用的外荷载变化复杂时，用等效的单
自由度方法得到的解可能会导致相当大的误差。这时
就必须直接采用多自由度体系分析方法解决问题，即 必须采用更多自由度来描述体系的运动状态。
第六章 多自由度体系的运动方程
建立单自由度体系运动方程的方法均可以用来建立多自 由度体系的运动方程，例如：牛顿第二定律；直接平 衡法(d’ Alember)；虚位移原理；Hamilton方程；运动 的Lagrange方程，都可用于多自由度体系。但基于矩 阵位移法的直接平衡方程和基于变分原理的Lagrange 方法应用更广泛一些。前者对于多自由度体系直接应 用动平衡的概念以矩阵的形式建立体系的运动方程， 概念直观，易于通过各个结构单元矩阵(刚度矩阵、质 量矩阵、阻尼矩阵)建立整个结构体系的相应矩阵，进 而建立体系的运动方程，便于计算机编程，在结构动 力分析的有限元程序中基本上都基于直接平衡法。而 对于一些特殊的问题，例如，大变形（位移）问题， 采用Lagrange方法可能更有效。本章将主要介绍这两 种方法。
系数kij称为刚度影响系数，简称刚度系数，物理意义是：
kij—由第j自由度的单位位移所引起的第i自由度的力
即j自由度给定一个单位位移， 而其余自由度都不动时， 所需要的力（反力）。
6.1 直接平衡法
弹性恢复力 fsi ki1u1 ki2u2 kiNuN
只要能用广义坐标给出体系总动能T和位能V的表 达式，以及确定相应于每一广义坐标的非保守 力Qi，就可以直接由Lagrange运动方程建立结构 体系的运动控制方程。
下 面 通 过 算 例 来 介 绍 如 何 应 用 Lagrange 方 程 ， 从 算例中可以看到，用Lagrange运动方程建立的运 动方程不限于线性。
自由度方法也可以得到相当好的近似解。但对于复杂
的结构体系或作用的外荷载变化复杂时，用等效的单
自由度方法得到的解可能会导致相当大的误差。这时
就必须直接采用多自由度体系分析方法解决问题，即 必须采用更多自由度来描述体系的运动状态。
第六章 多自由度体系的运动方程
建立单自由度体系运动方程的方法均可以用来建立多自 由度体系的运动方程，例如：牛顿第二定律；直接平 衡法(d’ Alember)；虚位移原理；Hamilton方程；运动 的Lagrange方程，都可用于多自由度体系。但基于矩 阵位移法的直接平衡方程和基于变分原理的Lagrange 方法应用更广泛一些。前者对于多自由度体系直接应 用动平衡的概念以矩阵的形式建立体系的运动方程， 概念直观，易于通过各个结构单元矩阵(刚度矩阵、质 量矩阵、阻尼矩阵)建立整个结构体系的相应矩阵，进 而建立体系的运动方程，便于计算机编程，在结构动 力分析的有限元程序中基本上都基于直接平衡法。而 对于一些特殊的问题，例如，大变形（位移）问题， 采用Lagrange方法可能更有效。本章将主要介绍这两 种方法。
结构动力计算教学课件PPT_OK
k12
0
k21
(k22 2m2 )
特征方程 频率方程
(k11 2m1)(k22 2m2) k12k21 0
4
(k11 2m1)(k22 2m2) k12k21 0
2
2 1,2
1 2
k11 m1
k 22 m2
1
2
k11 m1
k 22 m2
k11k22 k12k21 m1m2
最小圆频率称为第一(基本)圆频率： 第二圆频率-------
K1 F
n1 n2 nn
FMYY 0
K Fn自M由度Y体 系作K自由Y振动 的K 0 IM运动Y方程（K柔Y度法）0
将特解带入方
程整理后：
FM
1 2
IX
0
M Y
KY 0
FM
1 2
I
0
频率方程
19
FM
1
2 j
I j
0
j(1) 1
规准化主振型方程
一般的：
n个主振型向量彼此线性无关，
( j 1,2,, n)
n个自由 度体系的
依上式可求得与ωj 相对应 主振型，我们可唯一地确 振型方程
定主振型的形状，但不能唯一地确定它的振幅。
N自由度体系有n个主振型，若体系为对称形式，则这些主振型
分为对称及反对称形式两类。
17
主振型的规准化：
为了使主振型的振幅也具有确定值，需另外补充条件， 由此得到的主振型叫规准化主振型。
则系数行列式为零：
K 2 M 0
n个自由度体系 的频率方程
n个频率（按数值大小从小到大排列）： ω1，ω2，---，ωn
令：Xj 表示与频率ωj相对应的主振型向量：
结构力学第10章-结构动力计算基础
k yt ()，其中k11为结构刚度系数，FS与 其受力情况为：弹性恢复力 F s 1 1
t m y y ( t ) 的方 质点位移y(t)的方向相反；惯性力F ，它与质点加速度 I=
向相反。若将质点位移的计算始点取在质点静力平衡位置上，则质点
重量的影响不必考虑。
对于无阻尼自由振动，质点在惯性力FI和弹性恢复力FS作用下处于
(a)二质点三自由度结构
(b)三质点二自由度结构
§10-1 概述
3）结构的振动自由度
由以上几个例子可以看出：
① 结构振动自由度的数目不一定等于体系集中质量的数目；
② 结构振动自由度的数目与体系是静定或超静定无关；
③ 结构振动自由度的数目与计算精度有关。
§10-2 单自由度体系无阻尼自由振动
1）运动微分方程的建立
§10-3 单自由度体系无阻尼受迫振动
2）简谐荷载
第三项是纯受迫振动的质点位移，其最大动位移(即振幅)为
F 1 F A 2 2 2 2 m m ( ) 1 2
由于
1 11 m 2
，代入上式，有
1 1 F A F y 1 1 2 2 st 1 2 1 2
m y ( t ) + ky t ) = 0 动力平衡状态，则有 F ，此式可改写为 F 1 1( I+ s =0,即
(t)+ y k 1 1 y(t) =0 m
此式为单自由度体系无阻尼自由振动的运动方程，这种由力系平 衡条件建立运动微分方程的方法称为刚度法。
§10-2 单自由度体系无阻尼自由振动
1 1 2 1
1 3 E I m 11 4 m
当静荷载撤除后，梁的运动为单自由度体系的无阻尼自由
t m y y ( t ) 的方 质点位移y(t)的方向相反；惯性力F ，它与质点加速度 I=
向相反。若将质点位移的计算始点取在质点静力平衡位置上，则质点
重量的影响不必考虑。
对于无阻尼自由振动，质点在惯性力FI和弹性恢复力FS作用下处于
(a)二质点三自由度结构
(b)三质点二自由度结构
§10-1 概述
3）结构的振动自由度
由以上几个例子可以看出：
① 结构振动自由度的数目不一定等于体系集中质量的数目；
② 结构振动自由度的数目与体系是静定或超静定无关；
③ 结构振动自由度的数目与计算精度有关。
§10-2 单自由度体系无阻尼自由振动
1）运动微分方程的建立
§10-3 单自由度体系无阻尼受迫振动
2）简谐荷载
第三项是纯受迫振动的质点位移，其最大动位移(即振幅)为
F 1 F A 2 2 2 2 m m ( ) 1 2
由于
1 11 m 2
，代入上式，有
1 1 F A F y 1 1 2 2 st 1 2 1 2
m y ( t ) + ky t ) = 0 动力平衡状态，则有 F ，此式可改写为 F 1 1( I+ s =0,即
(t)+ y k 1 1 y(t) =0 m
此式为单自由度体系无阻尼自由振动的运动方程，这种由力系平 衡条件建立运动微分方程的方法称为刚度法。
§10-2 单自由度体系无阻尼自由振动
1 1 2 1
1 3 E I m 11 4 m
当静荷载撤除后，梁的运动为单自由度体系的无阻尼自由
结构力学 结构动力计算
Y st yt mg yt
⑶质点沿水平方向振动时，水平总线位移 Y yt
§10—2
运动方程为：
单自由度体系的自由振1 动
k
m
mY kY W 0
st
y(t)
Y(t)
因为 Y (t) st y(t) Y (t) y(t) -kY -mY
所以 my k[ y(t) st ] W
⑵阻尼力与质点速度平方成正比，固体在流体中运动受到的阻力。
⑶阻尼力与质点的速度无关，摩擦力属于此类。
§10—1 动力计算的特点和动力体系自由度
关于阻尼力的理论很多，为计算方便我们选用粘滞阻尼理论。
理论假定：阻尼力的大小与质点的运动速度成正比，方向与质 点的 运动速度方向相反。即：
R
cv
c
dy dt
w
又 k st kW W
my ky(t) W W
my ky(t) 0
§10—2 单自由度体系的自由振动
可见，重力对动位移y (t ) 的运动方程无影响。 质量围绕静力平衡位置进行振动。
aa
a a
W mymax
l m
ymax st a (W mymax)
st
a
ymax
Mmax (W mymax)l
§10—2 单自由度体系的自由振动
单自由度体系的动力分析虽简单但很重要体现在两个方面：
⑴很多实际动力学问题，可按单自由度体系进行分析和计算，而所 得结果基本上能反映其实际的动力特点。
⑵单自由度体系的动力分析是多自由度体系动力分析的基础。
一、振动模型的建立
对于各种单自由度体系的振动，都可以用一个弹簧质块模型的振动来描述， 因为它们有相同的运动规律和运动微分方程。
⑶质点沿水平方向振动时，水平总线位移 Y yt
§10—2
运动方程为：
单自由度体系的自由振1 动
k
m
mY kY W 0
st
y(t)
Y(t)
因为 Y (t) st y(t) Y (t) y(t) -kY -mY
所以 my k[ y(t) st ] W
⑵阻尼力与质点速度平方成正比，固体在流体中运动受到的阻力。
⑶阻尼力与质点的速度无关，摩擦力属于此类。
§10—1 动力计算的特点和动力体系自由度
关于阻尼力的理论很多，为计算方便我们选用粘滞阻尼理论。
理论假定：阻尼力的大小与质点的运动速度成正比，方向与质 点的 运动速度方向相反。即：
R
cv
c
dy dt
w
又 k st kW W
my ky(t) W W
my ky(t) 0
§10—2 单自由度体系的自由振动
可见，重力对动位移y (t ) 的运动方程无影响。 质量围绕静力平衡位置进行振动。
aa
a a
W mymax
l m
ymax st a (W mymax)
st
a
ymax
Mmax (W mymax)l
§10—2 单自由度体系的自由振动
单自由度体系的动力分析虽简单但很重要体现在两个方面：
⑴很多实际动力学问题，可按单自由度体系进行分析和计算，而所 得结果基本上能反映其实际的动力特点。
⑵单自由度体系的动力分析是多自由度体系动力分析的基础。
一、振动模型的建立
对于各种单自由度体系的振动，都可以用一个弹簧质块模型的振动来描述， 因为它们有相同的运动规律和运动微分方程。
结构动力学多自由度
pbT
~ fpa
paT ~fpb paT ~fpb T pbT ~f T pa pbT ~fpa
故 ~f 、 k 均为对称矩阵。
单元刚度矩阵
单元刚度系数表示由单位节点位移所引起的节点力。
单元刚度系数由虚位移法求得。
例如，课本P106图11-5所示简支梁中，令a端发生单位转角， 并给该处一竖向虚位移，零外力所做的功，等于内力所做的 功。
表示一个自由度发生相应单位位移而其他节点不动时在结构中所 产生的的力。
弹性特性
柔度的定义：
~ fij —在j坐标施加单位荷载而引起的i坐标的挠度。
则任意荷载组合下： vi ~fi1 p1 ~fi2 p2 ~fiN pN
用矩阵表示：
v1
vi
v N
略去阻尼矩阵和施加的荷载向量的影响： mv kv 0
假定以上多自由度体系的振动是简谐振动：
v(t) vˆ sin(t )
vˆ 表示体系的形状，不随时间变化。
v 2vˆ sin(t ) 2v 2mvˆ sin(t ) kvˆ sin(t ) 0
k 2m vˆ 0
无阻尼自由振动—振动频率分析
k 2m vˆ 0
即： k 2m 0
上式的N个根，表述体系可能存在的N个振型的频率。
1
2
3
WE va pa v1 k13
Lபைடு நூலகம்
WI v1 0 EI ( x) 1''( x) 3''( x)dx
结构动力学之多自由度体系的振动问题ppt课件
1 536EI
448 (1 536)2
m1m2l 6 (EI )2
0
解得
21
23l3 (m1 m2 2 1 536EI
)
529(m1 m2 )2l6 41 5362 (EI )2
448m1m2l 6 1 5362 (EI )2
从而得第一和第二阶自振频率
1
1
1
2
1
2
为了确定第一阶振型，可将1代入平衡方程。
其展开式是关于λ的n次代数方程,先求出λi再求 出频率ωi
柔度法
(11m1 )
12m2
...
21m1 ( 22m2 ) ...
...
...
...
1n mn 2nmn 0
...
n1m1
n2m2 ... ( nnmn )
将λi代入 ( [δ] [M] － λi [I ] ){Y(i)}={0} 可求出n个主振型。
多个自由度体系的自由振动
结构在受迫振动时的动力响应与结构的动力特性 密切相关；另外，当用振型叠加法计算任意干扰力 作用下结构的动力响应时，往往要用到自由振动的 频率(frequency)和振型(mode)。
为此，要需要首先分析自由振动。
自振频率和振型的计算
m1
m2
mi
mn
y1(t) y2(t)
yi(t)
刚度法
其中最小的频率1 称为最低自振频率，或称
基本频率。 通常将上述每一个频率所对应的振动都称为
主振动，对应于每一个主振动的形状称为主振 型。
1）如果各质体的初速度为零，而初位移和某 一振型成比例，然后任其自然，则系统就按 这个振型作简谐自由振动，此解答就相应于 该振动的一组特解；
448 (1 536)2
m1m2l 6 (EI )2
0
解得
21
23l3 (m1 m2 2 1 536EI
)
529(m1 m2 )2l6 41 5362 (EI )2
448m1m2l 6 1 5362 (EI )2
从而得第一和第二阶自振频率
1
1
1
2
1
2
为了确定第一阶振型，可将1代入平衡方程。
其展开式是关于λ的n次代数方程,先求出λi再求 出频率ωi
柔度法
(11m1 )
12m2
...
21m1 ( 22m2 ) ...
...
...
...
1n mn 2nmn 0
...
n1m1
n2m2 ... ( nnmn )
将λi代入 ( [δ] [M] － λi [I ] ){Y(i)}={0} 可求出n个主振型。
多个自由度体系的自由振动
结构在受迫振动时的动力响应与结构的动力特性 密切相关；另外，当用振型叠加法计算任意干扰力 作用下结构的动力响应时，往往要用到自由振动的 频率(frequency)和振型(mode)。
为此，要需要首先分析自由振动。
自振频率和振型的计算
m1
m2
mi
mn
y1(t) y2(t)
yi(t)
刚度法
其中最小的频率1 称为最低自振频率，或称
基本频率。 通常将上述每一个频率所对应的振动都称为
主振动，对应于每一个主振动的形状称为主振 型。
1）如果各质体的初速度为零，而初位移和某 一振型成比例，然后任其自然，则系统就按 这个振型作简谐自由振动，此解答就相应于 该振动的一组特解；
结构力学课件 动力计算
M AC 3i A 3i 3i(1 A ) M AB i i i 3 A 3 3 ( A 1) 2 2 2
l
l
M 1 2
M AB 6i M AB , FQBA 1 2 2l 12i k k11 r11l m 1 2
弹簧反力 FRC 5m 2a,
2k FRC 5m 2 a 2 , 弹簧变形 2a 5m k k
结束放映 上一页 下一页
郑州大学土木工程学院 樊友景
例3：求图示体系的 自振频率。 ⑶间接应用公式
A
l/2
B m B θ
EI＝∞ l/2
C k C
l/2
D m D
A
设梁绕A点转角为θ, 2 2 2 l 3l 5ml •则梁绕A点转动的惯性 JA m m 2 2 2 为其对A点的转动惯量. A k B C D 11 •与其相应的刚度为梁 l θ=1 绕A点转动刚度k11 。 kl k11 kl 2 •用转动刚度k11代替刚 度系数k，转动惯量JA k11 k kl 2 2k 2 代替质量m代入公式 m J 5ml / 2 5m
1 192 EI m 5ml 3 192 90 105 1 134.16 s 5 300 43
结束放映
EI
F sin t
m
1
l/2
l/2
k
δ
k 1/2
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郑州大学土木工程学院 樊友景
例5:已知图示梁中质量 m=300kg，EI=90×105N· m2， l=4m，k=48EI/l3，F=20kN，θ=80s-1。
结束放映
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l
l
l
M 1 2
M AB 6i M AB , FQBA 1 2 2l 12i k k11 r11l m 1 2
弹簧反力 FRC 5m 2a,
2k FRC 5m 2 a 2 , 弹簧变形 2a 5m k k
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郑州大学土木工程学院 樊友景
例3：求图示体系的 自振频率。 ⑶间接应用公式
A
l/2
B m B θ
EI＝∞ l/2
C k C
l/2
D m D
A
设梁绕A点转角为θ, 2 2 2 l 3l 5ml •则梁绕A点转动的惯性 JA m m 2 2 2 为其对A点的转动惯量. A k B C D 11 •与其相应的刚度为梁 l θ=1 绕A点转动刚度k11 。 kl k11 kl 2 •用转动刚度k11代替刚 度系数k，转动惯量JA k11 k kl 2 2k 2 代替质量m代入公式 m J 5ml / 2 5m
1 192 EI m 5ml 3 192 90 105 1 134.16 s 5 300 43
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EI
F sin t
m
1
l/2
l/2
k
δ
k 1/2
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例5:已知图示梁中质量 m=300kg，EI=90×105N· m2， l=4m，k=48EI/l3，F=20kN，θ=80s-1。
结束放映
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l
结构动力计算结构力学学习资料
P(t )
P
t
t
简谐荷载（harmonic load） 一般周期荷载(periodic load)
2）冲击荷载：短时内剧增或剧减。θt
P
P(t )
P(t )
P
P
偏心质量m,偏心距e,匀角速度θ
t
tr (Suddenly
a突pp加lie荷d c载otn惯水sta性平nt力 分lo:量aPd=均)爆m为炸θ简tr荷2e谐,载其荷竖t载向. 分量随(和ra即nd荷o载m
1）集中质量法(method of lumped mess)把连续分布的质
量集中为几个质点，将一个无限自由度的问题简化成有限自由度 问题。
演示
m m>>m梁
m+αm柱
m+αm梁
I 厂房排架水平振动 I 2I
时的计算简图
三个自由度体系
单自由度体系
(single degree-of-freedom system)
1
k
EI
k11 k l 3
l
k11 3EI l3 k
m
m
•对于静定结构一般计算柔度系数方便。
•如果让振动体系沿振动方向发生单位位移时，所有刚节点
都不能发生转动（如横梁刚度为无穷大的刚架)计算刚度系数方
便。 两端刚结的杆的侧移刚度为：
12EI l3
3EI 一端铰结的杆的侧移刚度为： l 3
§15-3 单自由度体系的强迫振动
y ky m
my..
二、自由振动微分方程的解
my..+ky =0
( a) Þ y..+w 2 y =0
(w =
k )
m
y( t ) =C1 sinwt +C 2 coswt
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第十章 结构动力计算
§10-3 多自由度体系的动力计算
§10.3.1 体系运动方程的建立
一、两个自由度体系
FP2 (t)
m2
FP1 (t )
m1
１、柔度法——列位移方程
1211mm或11yy11：((tt))12M22mm22yyy22((tt))yyy12((tt))F121P1FFPP11((tt))1222FFPP22((tt))
例1：试建立图示结构的运动方程。
FP (t)
m1
EI
l/3
l/3
m2
l/3
y1 y2
11 21
12 22
F0P
11 21
12 m1
22
0
0 m2
y1 y2
简记为
y FP my
l3 486 EI
8 7
7 8
例2：试建立图示结构的运动方程，
各杆长度为L，抗弯刚度为EI。
FP (t) l EI
m
EI1
EIl111 Nhomakorabeak
11
1 k
1
12EI / l3 12EI / l3
k
24EI l3
EI1
l EI
k2
EI
l
EI1
2EI
k1
2EI
k2 ?
k1 ?
EI1
l EI k2
EI
k2 ?
l EI k1
EI EI1 k1 ?
2EI
l EI
k2
EI
l
4EI
第十章 结构动力计算
§10-3 多自由度体系的动力计算
§10.3.1 体系运动方程的建立
一、两个自由度体系
FP2 (t)
m2
FP1 (t )
m1
２、刚度法——列动平衡方程
mm或12yy12((tt))mkk1211yyy11((tt))kkk1222yyy22((tt))FFFPPP12((tt))
k1 k，k2 2k，m1 m，m2 2m；
m1
EI1
k1 m2
EI1
k2
2、柔度法
运动方程： 11m1y1(t) 12m2y2(t) y1(t) 0 21m1y1(t) 22m2y2(t) y2(t) 0
求幅值方程：
（ａ）
频率方程： 求振型方程：
例2：求图示体系的自振频率和振型。
y1 (t )
R1(t)
1
y1
R2
If2
FP2(t)
R1 If1
FP1(t)
+ k21
1 k22
k11
k12
y2
§10.3.1 体系运动方程的建立 二、n个自由度体系
１、柔度法 M y(t) y(t) P FP(t)
２、刚度法 以上式中：
M y(t) Ky(t) FP(t)
m1
0
M
FPn (t)T
荷载列阵
§10.3.1 体系运动方程的建立
二、n个自由度体系
１、柔度法 M y(t) y(t) P FP(t)
２、刚度法 M y(t) K y(t) FP (t)
以上式中：
11 1i
1n
i1
ii
in
n1 ni nn
k11 k1i k1n
FP2(t)
FP1(t) m
l3 6 EI
2 3
3 8
k
EI 7l3
?
请自行证明： [k]=[δ]-1
例3：试建立图示剪切型结构的运动方程， k1和k2为层抗侧移刚度。
FP2 (t) FP1 (t )
m2
EI1
k2 m1
EI1
k1
对于刚架,当两层之间发生相对单位水平位移时, 两层之间的所有柱子中的剪力之和称作该层的层间抗 侧移刚度。
频率方程： k11 m1 2
k12
0
(c)
k21
k22 m2 2
或：
4
(
k11 m1
k22 m2
) 2
(
k11k22 k m1m2
212
)
0
(d )
求振型方程：
Y2
k11 m12
Y1
k12
k21
k22 m22
例1：求图示两层刚架的自振频率和振型。
k1、k2为每层刚架的抗侧移刚度系数，
§10.3.1 体系运动方程的建立
二、n个自由度体系
１、柔度法 M y(t) y(t) P FP(t)
２、刚度法 M y(t) K y(t) FP (t)
以上式中：
k11 k1i k1n
K
ki1
kii
kin
kn1 kni knn
刚度矩阵，对称矩阵
§10.3.1 体系运动方程的建立
m
l EI
m
EI
l
l
二、n个自由度体系
１、柔度法 M y(t) y(t) P FP(t)
２、刚度法 M y(t) K y(t) FP (t)
以上式中：
y(t) y1(t) yi (t) yn (t)T
加速度列阵
y(t) y1(t) yi (t) yn (t)T
位移列阵
FP (t) FP1(t)
FPi (t)
mi
0
mn
质量矩阵，对角阵
§10.3.1 体系运动方程的建立
二、n个自由度体系
１、柔度法 ２、刚度法 以上式中：
M y(t) y(t) P FP(t) M y(t) Ky(t) FP(t)
11 1i 1n
i1
ii
in
n1 ni nn
柔度矩阵， 对称矩阵
2EI
k1
2EI
k2 ?
k1 ?
例3：试建立图示剪切型结构的运动方程， k1和k2为层抗侧移刚度。
k ? ?
FP2 (t) FP1 (t )
m2
EI1
k2 m1
EI1
k1
y2 (t) I f 2 m2 y2 (t)
y1(t) I f 1 m1y1(t)
y2 (t)
=
R2 (t)
K
ki1
kii
kin
kn1 kni knn
K 1
但
ij
1 kij
§10.3.2 多自由度体系的自由振动
一、两个自由度体系
1、刚度法
运动方程：
m1y1(t) k11y1(t) k12 y2(t) 0
m2y2(t) k21y1(t) k22 y2(t) 0
（a）
求设：幅值yy12((方tt))程 YY：12ssiinnk((k(211Y11tt(k22)m)2 1)YＹ1１2、mkＹ122２)YY22 质00点振动幅值（（ｂ常）数）
§10-3 多自由度体系的动力计算
§10.3.1 体系运动方程的建立
一、两个自由度体系
FP2 (t)
m2
FP1 (t )
m1
１、柔度法——列位移方程
1211mm或11yy11：((tt))12M22mm22yyy22((tt))yyy12((tt))F121P1FFPP11((tt))1222FFPP22((tt))
例1：试建立图示结构的运动方程。
FP (t)
m1
EI
l/3
l/3
m2
l/3
y1 y2
11 21
12 22
F0P
11 21
12 m1
22
0
0 m2
y1 y2
简记为
y FP my
l3 486 EI
8 7
7 8
例2：试建立图示结构的运动方程，
各杆长度为L，抗弯刚度为EI。
FP (t) l EI
m
EI1
EIl111 Nhomakorabeak
11
1 k
1
12EI / l3 12EI / l3
k
24EI l3
EI1
l EI
k2
EI
l
EI1
2EI
k1
2EI
k2 ?
k1 ?
EI1
l EI k2
EI
k2 ?
l EI k1
EI EI1 k1 ?
2EI
l EI
k2
EI
l
4EI
第十章 结构动力计算
§10-3 多自由度体系的动力计算
§10.3.1 体系运动方程的建立
一、两个自由度体系
FP2 (t)
m2
FP1 (t )
m1
２、刚度法——列动平衡方程
mm或12yy12((tt))mkk1211yyy11((tt))kkk1222yyy22((tt))FFFPPP12((tt))
k1 k，k2 2k，m1 m，m2 2m；
m1
EI1
k1 m2
EI1
k2
2、柔度法
运动方程： 11m1y1(t) 12m2y2(t) y1(t) 0 21m1y1(t) 22m2y2(t) y2(t) 0
求幅值方程：
（ａ）
频率方程： 求振型方程：
例2：求图示体系的自振频率和振型。
y1 (t )
R1(t)
1
y1
R2
If2
FP2(t)
R1 If1
FP1(t)
+ k21
1 k22
k11
k12
y2
§10.3.1 体系运动方程的建立 二、n个自由度体系
１、柔度法 M y(t) y(t) P FP(t)
２、刚度法 以上式中：
M y(t) Ky(t) FP(t)
m1
0
M
FPn (t)T
荷载列阵
§10.3.1 体系运动方程的建立
二、n个自由度体系
１、柔度法 M y(t) y(t) P FP(t)
２、刚度法 M y(t) K y(t) FP (t)
以上式中：
11 1i
1n
i1
ii
in
n1 ni nn
k11 k1i k1n
FP2(t)
FP1(t) m
l3 6 EI
2 3
3 8
k
EI 7l3
?
请自行证明： [k]=[δ]-1
例3：试建立图示剪切型结构的运动方程， k1和k2为层抗侧移刚度。
FP2 (t) FP1 (t )
m2
EI1
k2 m1
EI1
k1
对于刚架,当两层之间发生相对单位水平位移时, 两层之间的所有柱子中的剪力之和称作该层的层间抗 侧移刚度。
频率方程： k11 m1 2
k12
0
(c)
k21
k22 m2 2
或：
4
(
k11 m1
k22 m2
) 2
(
k11k22 k m1m2
212
)
0
(d )
求振型方程：
Y2
k11 m12
Y1
k12
k21
k22 m22
例1：求图示两层刚架的自振频率和振型。
k1、k2为每层刚架的抗侧移刚度系数，
§10.3.1 体系运动方程的建立
二、n个自由度体系
１、柔度法 M y(t) y(t) P FP(t)
２、刚度法 M y(t) K y(t) FP (t)
以上式中：
k11 k1i k1n
K
ki1
kii
kin
kn1 kni knn
刚度矩阵，对称矩阵
§10.3.1 体系运动方程的建立
m
l EI
m
EI
l
l
二、n个自由度体系
１、柔度法 M y(t) y(t) P FP(t)
２、刚度法 M y(t) K y(t) FP (t)
以上式中：
y(t) y1(t) yi (t) yn (t)T
加速度列阵
y(t) y1(t) yi (t) yn (t)T
位移列阵
FP (t) FP1(t)
FPi (t)
mi
0
mn
质量矩阵，对角阵
§10.3.1 体系运动方程的建立
二、n个自由度体系
１、柔度法 ２、刚度法 以上式中：
M y(t) y(t) P FP(t) M y(t) Ky(t) FP(t)
11 1i 1n
i1
ii
in
n1 ni nn
柔度矩阵， 对称矩阵
2EI
k1
2EI
k2 ?
k1 ?
例3：试建立图示剪切型结构的运动方程， k1和k2为层抗侧移刚度。
k ? ?
FP2 (t) FP1 (t )
m2
EI1
k2 m1
EI1
k1
y2 (t) I f 2 m2 y2 (t)
y1(t) I f 1 m1y1(t)
y2 (t)
=
R2 (t)
K
ki1
kii
kin
kn1 kni knn
K 1
但
ij
1 kij
§10.3.2 多自由度体系的自由振动
一、两个自由度体系
1、刚度法
运动方程：
m1y1(t) k11y1(t) k12 y2(t) 0
m2y2(t) k21y1(t) k22 y2(t) 0
（a）
求设：幅值yy12((方tt))程 YY：12ssiinnk((k(211Y11tt(k22)m)2 1)YＹ1１2、mkＹ122２)YY22 质00点振动幅值（（ｂ常）数）