三角形内外角平分线性质定理

2.在 ABC中，AD是ABC的平分线， AB-AC=5, BD-CD=3, DC=8，则AB=_______
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读书破万卷，下笔如有神--杜甫
结论：使用面积法时，要善于从不同的角度 去看三角形的底和高。在该证法中，我们看 △BAD和△DAC的面积时，先以BA和AC作 底，而以DF、DE为等高。然后以BD和DC为 底，而高是同高，图中并没有画出来。你学 会这种变换
1.在 ABC中,AD是ABC的平分线，AB=5cm， AC=4cm，BC=7cm，则BD=_______
• 已知：如图8-5甲所示，AD是△ABC中 ∠BAC的外角∠CAF的平分线。
• 求证： BA/AC=BD/DC
• 思路1：作角平分线AD的平行线，用平行线 分线段成比例定理证明。
• 思路2：利用面积法来证明。
• 已知：如图8-5乙所示，AD是△ABC内角∠BAC的外角 ∠CAF的平分线。
• 求证： BA/AC=BD/DC.
段成比例定理证明。
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• 思路2：利用面积法来证明。 • 已知：如图8-4乙所示，AD是△ABC的内角
∠BAC的平分线。 • 求证： BA/AC=BD/DC • 证明2：过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F； • ∵ ∠BAD=∠CAD；（已知） • ∴ DE=DF； • ∵ BA/AC=S△BAD/S△DAC； （等高时，三角
(或两边的延长线），所得的对应线段成比例
推论的基本图形:
A E B
A D
D
E
F
D
E
A
A
B
C
C B
CB
CD
E
三角形内角平分线定理：
A
在 ABC中，若AD为BAC的
B
D
C
平分线，则：AB BD AC CD
• 已知：如图8-4甲所示，AD是△ABC的内角∠BAC的 平分线。
• 求证： BA/AC=BD/DC; • 思路1：过C作角平分线AD的平行线，用平行线分线
形面积之比等于底之比）
• BD/DC=S△BAD/S△ABCDAC；（同高时， 三角形面积之比等于底之比）
• ∴ BA/AC=BD/DC
三角形外角平分线定理：
E A
B C
在 ABC中，AD为A的外角CAE
的平分线，
则：AB BD
D
AC CD
• 三角形外角平分线性质定理：如果三 角形的外角平分线外分对边成两条线 段，那么这两条线段和相邻的两边应 成比例.
• 证明2：过D作DE⊥AC于E，DF∥⊥BA的延长线于F；
• ∵ ∠DAC=∠DAF；（已知）
• ∴ DE=DF；
• ∵ BA/AC=S△BAD/△DAC；（等高时，三角形面积之 比等于底之比）
•
BD/DC=S△BAD/△DAC ；（同高时，三角形面积
之比等于底之比）
• ∴ BA/AC=BD/DC
平行线分线段成比例定理
三条平行线截两条直线，截得的对应线段成比例
定理的基本图形： 如图，因为AD∥BE∥CF， 所以AB：BC=DE：EF; AB：AC=DE：DF； BC：AC=EF：DF 也可以说AB：DE=BC：EF； AB：DE=AC：DF； BC：EF=AC：DF
平行线分线段成比例定理推论: 平行于三角形一边的直线截其他两边