0 高等流体力学-第0章 2016.3.15

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§ 0.1.3 矢量场的散度
1. 矢量场的几何表示——矢量线
定义：矢量线是这样的曲线，在它上面每一 点处，场的矢量都位于该点的切线上。
矢量线的方程：
已知矢量场A=A(x,y,z)，M(x,y,z)为矢量线上任一点，
矢量： A = Ax i + Ay j + Az k 矢径：dr = dxi + dyj + dzk 二者共线则：A × dr = 0
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§0-1 场论基础
0.1.1 场的定义与分类 0.1.2 标量场的梯度 0.1.3 矢量场的散度 0.1.4 矢量场的旋度 0.1.5 矢量场的分类 0.1.6 哈密顿算子
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§ 0.1.1 场的定义与分类
场的定义：
每个空间点上对应某个物理量，则这个空间 成为该物理量的场。
场的分类： 标量场、矢量场
L
SBaidu Nhomakorabea
(∇ × A )⋅d S =
∫∫ rot A ⋅ d S
S
拉普拉斯算子：
∆u = ∇ u = ∇ ⋅ ∇u = ∇ ⋅ gradu =
2
∂ 2u ∂ x2
2 ∂ + u ∂ y2
2 ∂ + u ∂ z2
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3 哈密顿算子的运算
∇(u ± v) = ∇u ± ∇v;
∇(uv) = u∇v + v∇u.
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§0-2 张量初步
0.2.1 0.2.2 0.2.3 0.2.4 张量的定义与表示法 笛卡尔坐标系的变换 单位张量 张量运算
0.2.5 二阶张量 0.2.6 理想流体控制方程的张量表示法
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张量概述：
张量及张量计算是数学的一门分支。 张量分析与流体力学的密切关系。 张量表示法书写简单，运算方便，高度形式 化，在近代流体力学中得到广泛的应用。
则沿场中某一有向闭曲线 L正向的曲线积分：
Γ=
∫ Adl = ∫
L
L
Pd x+Qd y+ Rd z
用Γ表示。 称为矢量场 A 沿曲线 L的正向的环量，
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2. 矢量场的旋度:
在空间直角坐标系里， 设有向量场
A( x, y, z) = P( x, y, z)i + Q( x, y, z) j + R( x, y, z)k
该二阶偏微分方程——著名的Laplace方程。 “调和场的势函数必满足Laplace方程.”
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§ 0.1.6 哈密顿算子
1. 哈密顿算子的定义
向量微分算子：∇ = ∂∂x i + ∂∂y j + ∂∂z k 称为哈密顿算子.
哈密顿算子的特点：
(1) ∇ 是矢性微分算子，具有矢量和微分双重性质； (2) ∇ 只对位于右侧的量发生微分作用； (3) ∇ 作用在一标量或矢量函数上有，仅三种形式：
散度: ∇ ⋅ A = ∂ P + ∂ Q + ∂ R = div A ∂x ∂ y ∂z
i j
∂ ∂y
k
∂ ∂z
旋度: ∇ × A =
∂ ∂x
= rot A
P
Q
R
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高斯公式：
∫∫
S
A ⋅d S =
∫∫∫ ∇ ⋅ A d V
V
=
∫∫∫ div A d V
V
斯托克斯公式：
∫ A ⋅ d l = ∫∫
∇ u , ∇ ⋅ A, ∇ × A
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2. 哈密顿算子表示法
设空间场存在标量函数：u = u ( x, y, z ), 矢量函数：
A = P( x, y, z ) i + Q( x, y, z ) j + R( x, y, z ) k , 则：
梯度: ∇ u =
∂u ∂x
∂u ∂u i + ∂ y j + ∂ z k = grad u
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3. 矢量场的散度
定义: 在矢量场中点 M(x, y, z) 处，存在矢量
A( x, y, z) = P( x, y, z)i + Q( x, y, z) j + R( x, y, z)k
∂P ∂Q ∂R + + 则数量函数 称为矢量场 A( x, y , z ) ∂x ∂y ∂z
在点 M ( x, y , z ) 的散度。记为 :
为向量场 A 沿 L的环量
向量场 A 产生的旋度场 穿过 S的通量.
注意 S 与 L 的方向形成右手系!
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§ 0.1.5
1. 无旋场
矢量场的分类
设向量场 A ( x, y, z ) ∈ C 1 (G ), G ⊆ R 3 (1)若线积分
∫
( A)
(B)
A ⋅ ds 的值在G内与路径无关，
则称 A 为保守场, 其中A,B 为G 内任意两点. (2)若在G 内恒有 rotA = ∇ × A = 0 ,则称 A 为 无旋场. (3)若存在G上的函数 u ，使 A = ∇u,则称 A 为 有势场，并称 u 为 A 的势函数.
div(gradu) = f xx + f yy + f zz .
散度定理——高斯定理
∫∫
S
An d S =
∫∫∫ div A d v
V
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§ 0.1.4 矢量场的旋度
1. 矢量场的环量
定义: 设有矢量场
A(x, y, z) = P(x, y, z) i + Q(x, y, z) j + R(x, y, z) k
A 穿过 G 内任一向量管的所有截面的通量 均相等。
= 0;
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3. 调和场
既无源 (∇ ⋅ A = 0) 又无旋 ( ∇ × A = 0 ) 的向量场
A
，称为调和场。
调和场特征：
若 A 为调和场，则
A
必存在势函数u,使：
∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∆u = 2 + 2 + 2 = 0 ∂x ∂y ∂z
∇ × ( A ± B) = ∇ × A ± ∇ × B; ∇ ⋅ ( A ± B ) = ∇ ⋅ A ± ∇ ⋅ B;
矢量运算的几个恒等关系
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作 业1：
1. 给出梯度、散度、旋度的定义、表达式。 2. 列出高斯定理、斯托克斯定理的公式，理解 其含义。 3. 说明无旋场、无源场、调和场的特点。 4. 理解通量和散度的关系，环量与旋度的关系。 5. 掌握哈密顿算子表示的梯度、散度、旋度以及 高斯公式、斯托克斯公式的表达式。
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四、课程要求
教学环节： 课堂讲课：思路、方法 课后自学：补充参考书知识扩展 作业： 以简答、推导为主 评价标准： 平时20分 100分 期末80分 平时出勤/测验10分 作业10分 概念、简答 推导 选择、计算题（待定）
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闭卷考试
讲授纲要
0 1 2 3 4 5 场论与张量初步 一维定常可压缩流 二维定常可压缩流 一维不定常可压缩流 粘性流体动力学基础 湍流基础知识
dx dy dz = = Ax Ay Az
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2. 矢量场的通量
定义: 向量场 A 沿选定方向曲面S 的面积分。
A = Ax i + Ay j + Az k 设有矢量场：
ψ = ∫∫ A ⋅ dS
S
= ∫ Ax ds x + Ay ds y + Az ds z
S
通量在物理学中有多种意义, 如液体流量，电通 量，磁通量等.
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矢量场通量的物理意义
若定义An为矢量A在面元法线n方向的投影，则 A·ds = An ds；若把A理解为流体的流速，则Ands就 表示穿过ds的流量，这就是叫通量的原因。 对于闭曲面S，取其外侧为正，则： 表示A从S流出的通量. ψ > 0 时， 表示有净流量流出，存在流体源； ψ < 0 时，表示有净流量流入，存在流体负源； ψ = 0 时，表示没有净流量流出，无净流体源。
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3.斯托克斯定理
∫
L
A⋅ dl = ∫ Pd x +Qd y + Rd z
L
∂Q ∂Q R ∂P ∂R ∂P = ∫∫ ( ∂ − ) dydz + ( − ) dzdx + ( − ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y ) dxdy S
矢量形式 :
∫∫ rot A ⋅ d S = ∫
S
L
A⋅ dl
定常场、非定常场 均匀场、非均匀场 标量场：φ = φ ( x , y , z , t ) = φ ( r , t )
a = a ( x, y , z , t ) = a (r , t ) 矢量场：
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§ 0.1.2 标量场的梯度
1、标量场的几何表示——等值面
等值面的定义： 空间区域Ω中的函数（数量场）u = f ( x, y , z ) , 在Ω中有连续的一阶偏导数，则曲面 f ( x, y, z ) = C 称为该数量场的等值面。 例如：等温面、等压面。 等值面的特点： 1) 等值面是彼此不相交的。 2) 等值面的疏密，表示标量函数的变化情况。
向量 ( ∂R ∂Q ∂P ∂R ∂Q ∂P − )i + ( − )j+( − ) k 称为向量场 ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y
A( x, y , z )在点( x, y , z )处的旋度。记为 :
i ∂ rot A = ∂x P j ∂ ∂y Q k ∂ ∂z R
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旋度的运算
(1) rot( kA) = k rot A
使 : du = Pdx + Qdy + Rdz .
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2. 无源场
div A = 0, 称 A 为无源场. 若向量场 A 中处处有：
1 2 设： 为二维单连域， A ∈ C (G ), G⊆R
则以下命题是等价的：
A 是无源场，即在G内恒有 div A = 0 ;
⇔ ⇔
A 沿G内任一闭曲面S的通量为零： ∫∫S A ⋅ dS
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应用领域：
水利、航空航天、 能源动力、化工、 机械、建筑 、医疗
二、怎样学习流体力学
1 透过数学公式抓物理本质 三大规律 守恒律 本构律 源律 2 结合实际问题（学位论文） 3 及时了解学科发展新动向
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三、补充参考书
1. 吴望一：流体力学(上，下）,北京大学出版社 2. 张兆顺等:流体力学(第二版),清华大学出版社 3. Zacrow,Hoffman: Gas dynamics Vol.1,2 4. 邹高万等：粘性流体力学，国防工业出版社 5. 王新月等：气体动力学基础，西北工业大学出版社
散度的运算 (1) div( k A ) = k div A
( k 为常数 )
(2) div( A ± B) = div A ± div B
(3) div(uA) = u div A + A ⋅ grad u (u为数量函数 )
练习题： 设 u = f ( x , y , z ) ∈ C 2 , 求 grad u 和 div(grad u ). 解： gradu = { f x , f y , f z },
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无旋场的四个等价命题 定理：
A 是无旋场，即 rot A = ∇ × A = 0;
⇔
沿G内任意简单闭曲线 C 的环量
∫ A ⋅ ds = ∫ Pdx + Qdy + Rdz = 0
c c
⇔
⇔
A 是一保守场，即在G内线积分 ∫( A ) A ⋅ ds
与路径无关；
(B)
A 是一有势场，即在G内存在 u ，
∂P ∂Q ∂R divA = + + ∂x ∂y ∂z
简单地说,散度是单位体积上的发散量的极限.
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说明: 散度是通量对体积的变化率, 且
div A > 0 ，表明该点处有正源； div A < 0 ，表明该点处有负源； div A = 0 ，表明该点处无源。
散度绝对值的大小反映了源的强度. 若向量场 A 处处有 div A = 0 , 则称 A 为无源场.
( k为常数 )
(2) rot( A ± B) = rot A ± rot B
(3) rot(uA) = u rot A + grad u × A (u为数量函数)
( 4 ) rot(grad u ) = 0 ( 0为零矢量 )
若矢量场 A 的旋度 rot A ≡ 0, 则称该矢量场为无旋场。 既是无旋场又是无源场的矢量场称为调和场。
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2、方向导数
定义：场在指定方向的变化率，叫做场在该
方向的方向导数。
方向导数的计算式
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3、标量场的梯度
梯度定义：
梯度是矢量，方向为电位变化最陡的方 向，即最大方向导数的方向；大小变化最大 方向的变化率，即最大方向导数。 梯度与坐标无关，是标量场不均匀性的量度。
梯度表达式：
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梯度的性质：
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学习目标：
熟练运用符号与求和约定； 熟练掌握张量以及包括基矢量、度量张 量等基本张量的定义； 熟练掌握张量的运算法则； 熟练运用张量表示流体力学基本方程。
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0.2.1 张量的定义与表示法
1 张量的定义 2 张量表示法
高等流体与气体动力学
Advanced Fluid and Gas Dynamics
1
前
一、关于流体力学
1 2 3
言
古老而年轻的科学 涉及众多学科与工程的基础科学 三大分支 理论流体力学 实验流体力学 计算流体力学
2
4 学科交叉及发展前沿 多相流体力学 生物流体力学 非牛顿流体力学 化学反应流体力学 天体流体力学 电磁流体力学 微纳尺度流体力学 5 对从事CFD研究的特殊重要性