非线性微分-差分二元Volterra晶格方程的精确解
Chebyshev配置点法解Volterra型积分微分方程
Chebyshev配置点法解Volterra型积分微分方程吴华;张珏【摘要】采用Chebyshev配点法求解Voherra型积分微分方程,首先将Volterra 型积分微分方程重新写成一个第二类的线性积分方程组,然后将方程组中的被积函数用Lagrange基函数展开,再将Lagrange基函数用Chebyshev多项式展开,在L<,∞>范数下作误差分析,最后用数值算例来证明该方法的可行性.%A Chebyshev-collocation spectral method is developed for Volterra type integro-differential equations. The Volterra type integro-differential equation as two linear integral equations of the second kind is rewrited, and the integrand with Lagrange basis functions and the Lagrange basis functions in terms of the Chebyshev polynomials are expanded. An error analysis is conducted based on the L∞ -norm.Numerical results are presented to demonstrate effectiveness of the proposed method.【期刊名称】《上海大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2011(017)002【总页数】7页(P182-188)【关键词】Chebyshev配置点法;积分微分方程;Lagrange基函数;Chebyshev权【作者】吴华;张珏【作者单位】上海大学,理学院,上海,200444;上海大学,理学院,上海,200444【正文语种】中文【中图分类】O175.6由于 Volterra型积分微分方程带有记忆性质,与传统的常微分方程和偏微分方程相比,有着本质区别,因此,该方程的数值求解也更为困难.如何快速高效地求解这类方程,一直受到许多学者的关注.由于当解充分光滑时,用谱方法求出的近似解具有很高的精度,所以谱方法经常被运用到近似计算中.因此,本研究采用 Chebyshev配点法解下述 Volterra型积分微分方程:式中,函数 f(t),g(t)和核函数 R(t,s)都是充分光滑的.为了分析方便,将式 (1)和 (2)转换为定义在[-1,1]上的等价问题.通过变量替换,将式(1)和(2)转化为Jiang等[1]把给定的积分微分方程转换成第二类积分方程的方程组,因此,解积分微分方程的主要工作就转变成求解这个积分方程组.Atkinson[2]提出了多种求解第二类积分方程的数值方法,并且作了误差分析.Tang等[3]提出了用 Legendre配点法求解Volterra型积分方程的方法.Chen等[4-5]分别用Chebyshev配点法和Jacobi配点法求解了带有奇异核的第二类 Volterra型积分方程.Elnagar等[6]用Chebyshev谱方法求解了非线性 Volterra-Hammerstein积分方程.Tian[7]使用谱元法求解Volterra型积分方程,并将谱元法与梯形公式和Simpson公式作了比较,得到谱元法具有更高的收敛阶.Tang等[8]提出了谱处理技术在提高数值解的精度上的应用.另外,其他研究者还提出了获得带有奇异核 Volterra型积分方程和积分微分方程的高阶收敛性质的方法[9-11].本研究主要是利用 Chebyshev配点法求出Volterra型积分微分方程 (3)和 (4)的数值解.虽然Legendre点在计算中具有很高的稳定性,但是Legendre多项式的权是隐式的,不便于计算.然而,Chebyshev点和权能够直接使用,计算方便.而且Chebyshev多项式能够利用快速傅里叶变换 (fast Fourier transform,FFT),因此,Chebyshev谱方法更常用于工程计算中.一般情况下,Chebyshev谱方法多用于计算带有奇异核的积分方程,而不带奇异核的积分方程经常用 Legendre谱方法来计算.本研究采用 Chebyshev谱方法计算不带奇异核的积分方程,并对该方法作了严格的误差分析,用数值算例证明了其收敛阶.本研究中,C代表一个与N无关的正常数,但是依赖于所给方程 a(x),b(x),K(x,s)的边界.类似文献 [1]中的方法,将式 (3)和 (4)写为一种新的形式.记z=u′,则式 (3)等价于一个关于 z的第二类线性 Volterra型积分方程,即出,此方法能达到预期的谱收敛精度.之后,可用 Gauss积分公式来求解上面的方程组中的积分部分.【相关文献】[1] JIANG Y J.On spectral methods for Volterra type integro-differentialequations[J].JComput App lMath,2009,230(2):333-340.[2] ATKINSON K E. The numerical solution of intgral equations of the second kind [M]. Cambridge:Cambridge University Press,1997.[3] TANG T,XU X,CHENG J.On spectral methods for Volterra type integral equations and the convergence analysis[J].J ComputMath,2009,26:825-837.[4] CHEN Y P,TANG T.Convergence analysis for the Cheb yshev collocation methods to Volterra integral equations with aweakly singular kernel[J].SIAM JNumerAnal,2009,233:938-950.[5] CHEN Y P,TANG T.Convergence analysisof the Jacobi spectral-collocation methods for Volterra integral equations with a weakly singular kernel[J].Math Comput,2010,79:147-167.[6] ELNAGAR GN,KAZEM IM.Chebyshev spectral solution of nonlinear Volterra-Hammerstein integral equations[J].J Comput App Math,1996,76:147-158.[7] TIAN H C. Spectral methods for volterrra integral equations[D].Burnaby:Simon Fraser University,1995.[8] TANG T,XU X.Accuracy enhancement using spectral postprocessing for differential equations and integral equations[J].Commun Comput Phys,2009,5:779-792.[9] BRUNNER H.Polynomial spline collocation methods for Volterra integro-differential equationswith weakly singular kernels[J].IMA JNumer Anal,1986,6(2):221-139.[10] DIOGO T,MCKEE S,TANG T.Collocation methods for second-kind Volterra integral equations with weakly singular kernels[C]∥Proceedingsof The Royal Society of Edinburgh.1994,124A:199-210.[11] TANG T. Superconvergence of numerical solutions to weakly singular Volterra integro-differential equations[J].Numer Math,1992,61:373-382.。
Volterra型微分Ｇ积分方程的数值格式构造及理论分析
第３６卷第４期２０２２年７月兰州文理学院学报(自然科学版)J o u r n a l o fL a n z h o uU n i v e r s i t y ofA r t s a n dS c i e n c e (N a t u r a l S c i e n c e s )V o l ．３６N o ．４J u l ．２０２２收稿日期:２０２２Ｇ０３Ｇ１３基金项目:国家自然科学基金(１１８６１０６８);新疆维吾尔自治区自然科学基金杰出青年基金项目(２０２２D ０１E １３)作者简介:罗紫洋(１９９６Ｇ),男,新疆昌吉人,在读硕士,研究方向:微分方程理论及数值模拟．E Ｇm a i l :４６６９４９８４１＠q q ．c o m．∗通讯作者:张新东(１９８１Ｇ),男,江苏徐州人,教授,硕士生导师,研究方向:微分方程理论及数值模拟．E Ｇm a i l :L i Ｇa o yu a n １１２６＠１６３．c o m ㊀㊀文章编号:２０９５Ｇ６９９１(２０２２)０４Ｇ００１０Ｇ０５V o l t e r r a 型微分Ｇ积分方程的数值格式构造及理论分析罗紫洋,安文静,张新东(新疆师范大学数学科学学院,新疆乌鲁木齐８３００１７)摘要:本文研究了一类V o l t e r r a 型微分Ｇ积分方程的数值格式构造及其理论分析．格式构造方面,利用有限差分方法进行时间和空间离散,对于积分项采用复合梯形求积公式进行处理．最后,给出了数值格式的稳定性分析和误差估计,其误差的收敛阶为Ο(τ＋h ４),其中τ为时间步长,h 为空间步长．关键词:V o l t e r r a 型微分Ｇ积分方程;有限差分;复合梯形求积公式;稳定性;误差分析中图分类号:O ２４１．８２㊀㊀㊀文献标志码:AN u m e r i c a l S c h e m eC o n s t r u c t i o na n dT h e o r e t i c a lA n a l y s i s f o r I n t e g r a l ＧD i f f e r e n t i a l E q u a t i o n s o fV o l t e r r aT y pe L U OZ i Ｇy a n g ,A N W e n Ｇj i n g ,Z HA N G X i n Ｇd o n g(S c h o o l o fM a t h e m a t i c a l S c i e n c e s ,X i n j i a n g N o r m a lU n i v e r s i t y ,U r u m qi ８３００１７,C h i n a )A b s t r a c t :I n t h i s p a p e r ,an u m e r i c a l s c h e m ec o n s t r u c t i o na n dt h e o r e t i c a l a n a l y s i sw a sm a i n l yd e v e l o p e d f o rs o l v i n g t h e V o l t e r r ai n t e g r a l Ｇd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ．I nt e r m so fs c h e m ec o n Ｇs t r u c t i o n ,t h e f i n i t ed i f f e r e n c ea p p r o x i m a t i o ni s s u e df o rt i m ea n ds pa c ed e r i v a t i v e ,a n dt h e c o m p o u n d t r a p e z o i d a l q u a d r a t u r e f o r m u l a i s s u e d f o r i n t e g r a l t e r m．F i n a l l y,t h eu n c o n d i t i o n a l s t a b i l i t y a n d c o n v e r g e n c ew e r e g i v e n ．I na d d i t i o n ,t h ee r r o r a n a l y s i sw a s c a r r i e do u t ,w h i c h s h o w e d t h a t t h e c o n v e r g e n c e o r d e rw a s O (ι＋h ４),w h e r e ιw a s t h e t i m e s t e p ,a n d h w a s t h e s p a c e s t e p．K e y wo r d s :V o l t e r r ai n t e g r a l Ｇd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ;f i n i t ed i f f e r e n c e ;c o m p o u n dt r a p e z o i d a l q u a d r a t u r e f o r m u l a ;s t a b i l i t y ;e r r o r a n a l ys i s 0㊀引言V o l t e r r a 型微分Ｇ积分方程(V I D E s )源于１９世纪末２０世纪初,是在竞争或人口增长模型中所引入的一类具有积分内核的方程．V I D E s 中的积分项具有记忆性质[１],这一性质是其在物理领域有着广泛应用的重要原因．例如:粘弹性方程[２]㊁具有记忆性的热传导方程[３Ｇ４],以及核反应堆中的热交换过程等．由于求解此类方程的解析解较为困难,因此研究此类方程的数值解具有重要的理论价值和实际意义．处理微分Ｇ积分方程的主要方法为差分法．１８９７年,V o l t e r r a [５]在其著作中对该类方程的数值解法已有所研究．１９７４年,B r u n n e r [６]采用隐式R u n g e ＧK u t t a 方法求解V o l t e r r a 型微分Ｇ积分方程,并分析了此类方程数值解的稳定性．１９９２年,陈传淼等[７]利用内积近似一类微分Ｇ积分方程的积分项,并对空间项采用有限元方法,得到了相应的误差估计．１９９３年,汤涛[８]运用梯形求积技巧构造了一类微分Ｇ积分方程中积分项的数值格式,使其时间误差收敛阶可以达到Ο(τ３/２),并给出具体的理论分析．２００５年,S h a h m o r a d [９]基于T a u方法分析了线性F r e d h o l m ＧV o l t e r r a 型微分Ｇ积分方程的有效误差．２００６年,A m i r a l i ye v 等[１０]在均匀网格中构建V o l t e r r a 型微分Ｇ积分方程的数值格式,并证明该格式的时间收敛阶为一阶均匀收敛．２００８年,徐大[１１]在希尔伯特空间中分析验证了有限差分方法求解线性V o l t e r r a 型方程的稳定性;同年,T a r i 和S h a h m o r a d [１２]基于勒让德多项式研究二维线性F r e d h o l m 积分方程,并给出了数值格式的误差边界．２０１０年,W a z w a z [１３]提出结合L a p l a c e 变换和A d o m i a n 分解法,构造非线性V o l t e r r a 型微分Ｇ积分方程的数值格式,并通过实验证明该方法的有效性;与此同时,Z a r e b Ｇn i a [１４]利用S i n c 方法求解V o l t e r r a 型微分Ｇ积分方程,并验证该方法所具有的优良性,不仅收敛速度较快,且不存在当使用其他数值方法时常见的不稳定问题．２０２１年,C i m e n 和C a k i r [１５]基于正交规则和积分恒等式构造了一类F r e d h o l m 型微分Ｇ积分方程一种新的差分格式,并分析证明该格式的稳定性和收敛性．２０２２年,S a n t r a 和M o h a Ｇpa t r a [１６]利用复合梯形公式逼近V o l t e r r a 型微分Ｇ积分方程中的积分项,使其误差时间收敛阶为Ο(τ)．本文考虑如下V o l t e r r a 型微分Ｇ积分方程(V I D E ):∂u (x ,t )∂t －∂２u (x ,t )∂x ２＝ʏt０K (x ,t －s )u (x ,s )d s ＋f (x ,t ),(x ,t )ɪΩ;u (x ,０)＝φ(x ),∀x ɪ[０,L ];u (０,t )＝g １(t ),u (L ,t )＝g ２(t ),∀t ɪ(０,T ],ìîíïïïïïïïïïï(１)其中:Ω＝[０,L ]ˑ(０,T ],空间L ＞０,且时间T ＞０;积分核K (x ,t －s )在Ω上光滑且有界;f ,φ,g １和g ２为给定的光滑函数．1㊀紧致差分格式推导为方便起见,本文中不同地方的常数C 可以代表不同的数值．给定两个正整数M 和N ,定义h＝L/M 为空间变量x 的步长,τ＝T /N 为时间变量t 的步长,所以x j ＝j h ,j ＝０,１, ,M ,t n ＝n τ,n ＝０,１, ,N ．用u n j 和U nj 分别表示函数u 在点(x j ,t n )处的精确解和数值解．为了方便表达及书写,给出如下算子定义,δ２xU j ＝U j －１－２U j ＋U j ＋１h ２,H U j ＝１１２(U j －１＋１０U j ＋U j ＋１)＝(１＋h ２１２δ２x )U j ,㊀㊀j ＝１,２, ,M －１;U j ,j ＝０,M ．ìîíïïïï(２)由复合梯形求积公式可得ʏbag (t )d t ＝ðn －１i ＝０ʏt i ＋１t ig (t )d t ＝τ２ðn －１i ＝０[g (t i )＋g (t i ＋１)]＋R ,(３)其中:R 为整个区间的截断误差．由T n ＝τ２ðn －１i ＝０[g (t i )＋g (t i ＋１)]和中值定理可得R ＝ʏbag (t )d t －T n ＝－b －a １２τ２g ᵡ(ξ),ξɪ[a ,b ]．(４)引理１[１７]㊀假设s (x )ɪC ６[a ,b ],则有１１２(s x x (x j ＋１)＋１０s x x (x j )＋s x x (x j －１))－１h２(s (x j ＋１)－２s (x j )＋s (x j －１))＝h ４２４０s (６)(ξj ),其中:ξj ɪ(x j －１,x j ＋１),j ＝１,２, ,M －１．接下来对方程(１)进行逐项分析．对于方程(１)的时间项来说,利用T a y l o r 展开,可得∂u (x j ,t n )∂t n＝u (x j ,t n ＋１)－u (x j ,t n )τ＋O (τ)．(５)对于方程(１)的空间项来说,H ∂２u (x j ,t n ＋１)∂x ２j＝δ２x u (x j ,t n ＋１)＋O (h ４)．(６)对于方程(１)的积分项而言,由式(３)和(４)可得１１第４期罗紫洋等:V o l t e r r a 型微分Ｇ积分方程的数值格式构造及理论分析ʏt n ０K (x j ,t n －s )u (x j ,s )d s ＝ðn －１i ＝０ʏt i ＋１t iK (x j,t n－s )u (x j,s )d s ＝τ２ðn －１i ＝０[K (x j ,t n －t i )u (x j ,t i )＋K (x j ,t n －t i ＋１)u (x j ,t i ＋１)]＋O (τ２)．(７)如果对方程(１)作用H 算子,可得H ∂u (x j ,t n )∂t n－H ∂２u (x j ,t n ＋１)∂x ２j ＝Hʏt n ０K (x j ,t n －s )u (x j ,s )d s ＋H f (x j ,t n ),进而由式(５)㊁(６)和式(７)可得H u n ＋１j－τδ２x u n ＋１j ＝H u nj＋H τ２２ðn －１i ＝０(K n －i －１j u i ＋１j ＋K n －i j u i j )éëêêùûúú＋H τf n j ＋R nj ,(８)其中:f nj ＝f (x j ,t n ),R n j ɤC (τ＋h ４)．省去式(８)中的截断误差,当j ＝１,２, ,M－１且n ＝１,２, ,N 时得到方程(１)的离散格式如下:H U n ＋１j －τδ２x U n ＋１j ＝H U nj ＋㊀H τ２２ðn －１i ＝０(K n －i －１j U i ＋１j ＋K n －i j U i j )éëêêùûúú＋H τf n j ,U ０j ＝φ(x ),U n ＋１０＝g １(t n ＋１),U n ＋１M ＝g ２(t n ＋１)．ìîíïïïïïï(９)2㊀稳定性分析本节将利用能量不等式的方法讨论数值格式的稳定性,并证明数值格式为无条件稳定．首先给出一些符号说明和引理．定义V h 为空间网格函数,V h ＝{V |V ＝(V ０,V １, ,V M ),V ０＝g １(t n ＋１),V M ＝g ２(t n ＋１)}．以下内积和范数在证明中将用到,(U ,V )＝h ðM －１j ＝１U jV j , U ２＝(U ,U )．引理１[１８]㊀假设U ɪV h ,则有－(δ２xU n H U n )ȡ２３δx U n ２．定理１㊀紧致差分格式(９)是无条件稳定的,并且满足如下不等式:H U n ＋１ ɤC H U ０ ＋m a x ０ɤp ɤnH f p (),其中:C 为常数．证明㊀设m a x (x ,t )ɪΩK (x ,t ) ＝K x t ．由式(９)可得H U n ＋１－τδ２xU n ＋１＝H U n ＋H τ２２ðn －１i ＝０(K n －i －１U i ＋１＋K n －i U i )éëêêùûúú＋H τf n ,(１０)对式(１０)两边同乘H U n ＋１,并在Ω上积分可得(H U n ＋１,H U n ＋１)－τ(δ２xU n ＋１,H U n ＋１)＝(H U n ,H U n ＋１)＋τ２２ðn －１i ＝０(H (K n －i －１U i ＋１),H U n ＋１)＋τ２２ðn －１i ＝０(H (K n －i U i ),H U n ＋１)＋τ(H f n ,H U n ＋１)．(１１)由引理１可知－(δ２xU n H U n )ȡ０．由式(１１)可得如下不等式,(H U n ＋１,H U n ＋１)ɤ(H U n ,H U n ＋１)＋τ２２ðn －１i ＝０(H (K n －i －１U i ＋１),H U n ＋１)＋τ２２ðn －１i ＝０(H (K n －i U i ,H U n ＋１))＋τ(H f n ,H U n ＋１)．(１２)接下来将用归纳法证明．由式(１２)可知,当n ＝０时,(H U １,H U １)ɤ(H U ０,H U １)＋τ(H f ０,H U １)．再由柯西Ｇ施瓦茨不等式可得H U １ ɤ H U ０ ＋τ H f ０ ɤC H U ０ ＋ H f ０ ()．假设对任意k ,k ɤn 时结论成立,即 H U k ɤC H U ０ ＋m a x ０ɤp ɤnH f p ()．(１３)由式(１２),当k ＝n ＋１时,有(H U n ＋１,H U n ＋１)ɤ(H U n ,H U n ＋１)＋τ２２ðn －１i ＝０(H (K n －i －１U i ＋１),H U n ＋１)＋τ２２ðn －１i ＝０(H (K n －i U i ),H U n ＋１)＋τ(H f n ,H U n ＋１)．由上述不等式,结合式(１３)可得 H U n ＋１ ɤ２１㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀兰州文理学院学报(自然科学版)㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀第３６卷H U n＋τ２K x t２ðn －１i ＝０H U i ＋１ ＋τ２K x t２ðn －１i ＝０H U i ＋τ H f n ɤC H U ０＋m a x ０ɤp ɤn －１H f p()＋τK x tT C H U ０＋m a x ０ɤp ɤn －１H f p ()＋τ H f nɤ(C ＋τK x tT C ) H U ０ ＋(C ＋τK x tT C ＋τ)m a x ０ɤp ɤnH f p ɤC H U ０＋m a x ０ɤp ɤnH f p(),其中,C 为常数．定理１证明完毕．3㊀误差估计本节将讨论数值格式的收敛性,并推导出数值格式的误差收敛阶为O (τ＋h ４)．记e nj ＝u n j －U n j ,j ＝０,１, ,M 且n ＝０,１, ,N ．定理２㊀假设u nj 为方程(１)的精确解,U n j 为离散格式(９)的数值解,则如下不等式成立, H e n ＋１jɤC (τ＋h ４),其中,C 为常数．证明㊀设m a x (x ,t )ɪΩK (x ,t ) ＝K x t ．用式(８)减去式(９),再由e nj 的定义可得H e n ＋１j －τδ２x e n ＋１j＝H e n j＋H [τ２２ðn －１i ＝０(K n －i －１j e i ＋１j ＋K n －i j e i j )]＋R n j ．(１４)将式(１４)两边同乘H e n ＋１j,并在Ω上积分可得(H e n ＋１j ,H e n ＋１j )－τ(δ２x e n ＋１j ,H e n ＋１j)＝(H e n j ,H e n ＋１j)＋τ２２ðn －１i ＝０(H (K n －i －１j e i ＋１j ),H e n ＋１j )＋τ２２ðn －１i ＝０(H (K n －i j e i j ),H e n ＋１j )＋(R n j ,H e n ＋１j)．(１５)由引理１和式(１５),有(H e n ＋１j ,H e n ＋１j )ɤ(H e n j ,H e n ＋１j)＋τ２２ðn －１i ＝０(H (K n －i －１j e i ＋１j ),H e n ＋１j )＋τ２２ðn －１i ＝０(H (K n －i j e i j ),H e n ＋１j )＋(R n j ,H e n ＋１j)．(１６)类似定理１的证明,将采用归纳法．由式(１６)可知,当n ＝０时,可得(H e １j ,H e １j )ɤ(H e ０j ,H e １j )＋(R ０j ,H e １j ),再由柯西Ｇ施瓦茨不等式及R ０j ɤC (τ＋h ４)可得 H e １j ɤ H e ０j ＋R ０j ɤC (τ＋h ４)．假设对任意k ,k ɤn 时,结论成立,即 H e kj ɤC (τ＋h ４)．(１７)由式(１６),当k ＝n ＋１时,有(H e n ＋１j ,H e n ＋１j )ɤ(H e n j ,H e n ＋１j)＋τ２２ðn －１i ＝０(H (K n －i －１j e i ＋１j ),H e n ＋１j )＋τ２２ðn －１i ＝０(H (K n －i j e i j ),H e n ＋１j )＋(R n j ,H e n ＋１j)．由上述不等式,结合式(１７)可得 H e n ＋１jɤ H e nj＋τ２K x t ２ðn －１i ＝０H e i ＋１j ＋τ２K x t ２ðn －１i ＝０H e ij ＋ R n j ɤC (τ＋h ４)＋τK x tT (C (τ＋h ４))＋C (τ＋h ４)ɤm a x {C ,τK x tT C ,C }(τ＋h ４)ɤC (τ＋h ４),其中,C 为常数．定理２证明完毕．4㊀结论本文通过有限差分方法构造了一类V o l t e r r a型微分Ｇ积分方程的数值格式,分析了格式的稳定性和误差估计,得到其误差收敛阶为O (τ＋h ４)．相较于解决该问题原有的数值格式,在空间收敛阶上有进一步的提升．在今后的研究工作中,将以构建收敛速度更快,误差更低的数值格式为目标,并将此方法应用到分数阶微分Ｇ积分方程的数值求解．参考文献:[１]MO L F E R S D O R F L V．O ni d e n t i f i c a t i o no fm e m o r yk e r n e l s i n l i n e r t h e o r y of h e a t c o n d u c t i o n [J ]．M a t h e Ｇm a t i c a lM e t h o d s i n A p pl i e dS c i e n c e s ,１９９４,１７:９１９Ｇ９３２．[２]R C N A R D Y M．M a t h m e a t i c a l a n a l ys i so fv i s c o e l a s t i c f l o w s [J ]．A n n u a lR e v i e w o fF l u i d M e c h a n i c ,１９８９,２１:２１Ｇ３６．[３]G U R T I N M E ,P I P K I N AC ．A g e n e r a l t h e o r y of h e a t c o n d u c t i o nw i t h f i n i t ew a v e s pe e d [J ]．A r c h i v ef o rR a Ｇt i o n a lM e c h a n i c s a n dA n a l y s i s ,１９６８,３１:１１３Ｇ１２６．[４]M I L L E R R K．A ni n t eg r o Ｇd i f f e r e n t i a le qu a t i o nf o r g i r dh e a tc o n d u c t o r s w i t h m e m o r y [J ]．J o u r n a lo f ３１第４期罗紫洋等:V o l t e r r a 型微分Ｇ积分方程的数值格式构造及理论分析M a t h e m a t i c a l A n a l y s i sa n d A p p l i c a t i o n s,１９７８,６６:３１３Ｇ３３２．[５]V O L T E R R A V．S o p r aa l c u n e q u e s t i o n i d i i n v e r s i o n e d i i n t e g r a l i d e f i n i t i[J]．A n n a l i d iM a t e m a t i c aP u r ae d A p p l i c a t a,１８９７,２５:１３９Ｇ１７８．[６]B R U N N E R H．I m p l i c i t R u n g eＧK u t t am e t h o d s o f o p t iＧm a lo r d e rf o r V o l t e r r ai n t e g r oＧd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s [J]．M a t h e m a t i c s o fC o m p u t a t i o n,１９８４,４２:９５Ｇ１０９．[７]C H E NC M,T HOM E E V,WA H L B I NLB．F i n t e e lＧe m e n t a p p r o x i m a t i o n o f a p a r a b o l i c i n t e g r oＧd i f f e r e n t iＧa l e q u a t i o nw i t haw e a k l y s i n g u l a rk e r n e l[J]．M a t h eＧm a t i c a l o fC o m p u t a t i o n,１９９２,５８:５８７Ｇ６０２．[８]T A N G T．Af i n i t ed i f f e r e n c es h e m ef o r p a r t i a l i n t eＧg r oＧd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sw i t haw e a k l y s i n g u l a rk e rＧn e l[J]．A p p l i e d N u m b e r i c a l M a t h e m a t i c s,１９９３,１１:３０９Ｇ３１９．[９]S HA HMO R A DS．N u m e r i c a l s o l u t i o no f t h e g e n e r a l f o r ml i n e a rF r e d h o l mＧV o l t e r r a i n t e g r oＧd i f f e r e n t i a l eＧq u a t i o n sb y t h eT a um e t h o dw i t ha ne r r o r e s t i m a t i o n [J]．A p p l i e d M a t h e m a t i c sa n d C o m p u t a t i o n,２００５,１６７:１４１８Ｇ１４２９．[１０]AM I R A L I Y E V G M,S E V G I N S．U n i f o r m d i f f e rＧe n c em e t h o df o r s i ng u l a r l yp e r t u r b e dV o l t e r r a i n t eＧg r oＧd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s[J]．A p p l i e d M a t h e m a t i c sa n dC o m p u t a t i o n,２００６,１７９:７３１Ｇ７４１．[１１]X U D．S t a b i l i t y o f t h ed i f f e r e n c et y p e m e t h o d sf o r l i n e a rV o l t e r r ae q u a t i o ni n H i l b e r ts p a c e s[J]．N uＧm e r i s c h eM a t h e m a t i k,２００８,１０９:５７１Ｇ５９５．[１２]T A R IA,S HA HMO R A DS．Ac o m p u t a t i o n a lm e t hＧo d f o r s o l v i n g t w oＧd i m e n s i o n a l l i n e a rF r e d h o l mi nＧt e g r a le q u a t i o n so fs e c o n d k i n d[J]．T h e A n z i a mJ o u r n a l,２００８,４９:５４３Ｇ５４９．[１３]WA Z WA Z A M．T h ec o m b i n e dL a p l a c et r a n s f o r mＧA d o m i a nd e c o m p o s i t i o n m e t h o df o rh a n d l i n g n o nＧl i n e a r V o l t e r r ai n t e g r oＧd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s[J]．A p p l i e d M a t h e m a t i c sa n dC o m p u t a t i o n,２０１０,２１６:１３０４Ｇ１３０９．[１４]Z A R E B N I A M．S i n c n u m e r i c a l s o l u t i o n f o r t h eV o l tＧe r r ai n t e g r oＧd if f e r e n t i a le q u a t i o n[J]．C o mm u n i c aＧt i o n s i n N o n l i n e a rS c i e n c ea n d N u m e r i c a lS i m u l aＧt i o n,２０１０,１５:７００Ｇ７０６．[１５]C I M E N E,C A K I R M．Au n i f o r m n u m e r i c a lm e t h o df o rs o l v i ng s i n g u l a r l yp e r t u r b e d F r e dh o l mi n t e g r oＧd i f fe r e n t i a l p r o b l e m[J]．C o m p u t a t i o n a l a n dA p p l i e dM a t h e m a t i c s,２０２１,４２:１Ｇ１４．[１６]S A N T R AS,MOHA P A T R AJ．An o v e l f i n i t e d i f f e rＧe n c e t e c h n i q u ew i t h e r r o r e s t i m a t ef o r t i m e f r a c t i o nＧa l p a r t i a li n t e g r oＧd i f f e r e n t i a le q u a t i o n o f V o l t e r r at y p e[J]．J o u r n a l o f C o m p u t a t i o n a la n d A p p l i e dM a t h e m a t i c s,２０２２,４００:１１３７４６．[１７]L U O M,X U D,L I L M．A c o m p a c td i f f e r e n c e s c h e m ef o r a p a r t i a li n t e g r oＧd i f f e r e n t i a le q u a t i o nw i t ha w e a k l y s i n g u l a rk e r n e l[J]．A p p l i e d M a t h eＧm a t i c a lM o d e l l i n g,２０１５,３９:９４７Ｇ９５４．[１８]A K B A R M．C o m p a c t f i n i t e d i f f e r e n c e s c h e m e f o r t h e s o l u t i o n f o r a t i m e f a r a c t i o n a l p a r t i a l i n t e g r oＧd i f f e rＧe n t i a l e q u a t i o n w i t ha w e a k l y s i n g u l a rk e r n e l[J]．M a t h e m a t i c a l M e t h o d si n t h e A p p l i e d S c i e n c e s,２０１７,４０:７６２７Ｇ７６３９．[责任编辑:赵慧霞]４１㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀兰州文理学院学报(自然科学版)㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀第３６卷。
数学科学中非线性微分方程的研究与应用
数学科学中非线性微分方程的研究与应用数学科学是自然科学中的一门重要学科，她广泛的应用于现代科技工业中的各个领域，为我们的生活和社会的发展做出了重要的贡献。
其中数学模型是数学科学中重要的理论基础之一。
非线性微分方程是数学模型的一个重要形式，它在数学科学的研究与应用中具有重要的地位。
一、非线性微分方程的定义与特点非线性微分方程（Nonlinear differential equation）是指方程中至少存在一个非线性项，通常表述为：$f(t,x(t),x'(t), \cdots, x^{(n)}(t)) = 0$其中，$t$ 表示时间，$x$ 表示位置或物理量，$x'$，$x^{(n)}$ 分别表示$x$ 的一阶导数和 $n$ 阶导数。
相比于线性微分方程，非线性微分方程的特点在于其解析解很难求得。
同时，非线性微分方程拥有更加复杂的性质和行为：不同的初值条件可能会得到非常不同的解，在不同的时间尺度下，它表现出非常不同的行为。
二、非线性微分方程的研究对于非线性微分方程而言，解析解的求解都是比较困难的，所以研究非线性微分方程的方法主要有两种：数值模拟和近似解法。
1. 数值模拟数值模拟是通过计算机模拟计算，以获得非线性微分方程的数值解。
该方法最直接，也最可行，已被广泛应用于工程和科研领域。
最常见的数值模拟方法是欧拉法和龙格-库塔法。
这些方法通过将时间和空间划分成均匀的网格，将微分方程转化为离散的差分形式。
然后计算机可以使用差分方程逐步计算数值解。
2. 近似解法近似解法是，通过一些特别的技巧，将非线性微分方程转化为一些相对简单的形式，以便求解。
因此近似解法具有很好的应用价值，可以在计算复杂的非线性问题时提高计算效率。
常用的近似解法有抛物型、椭圆型、双曲型及反应扩散型等。
这些方法通常依赖于数学上的变换，如：对称变换，相似变换，Lie 群等。
三、非线性微分方程的应用非线性微分方程的应用十分广泛，涵盖了很多领域。
volterra积分方程和积分微分方程
文章标题：探索Volterra积分方程和积分微分方程近年来，数学领域中的一个研究热点就是关于Volterra积分方程和积分微分方程的探索。
这两种方程作为微分方程的一种延伸和拓展，具有更广泛的应用领域和更丰富的数学内涵。
在本文中，我们将深入探讨Volterra积分方程和积分微分方程的基本概念、性质和应用，以对这两种方程有更全面的理解。
1. Volterra积分方程Volterra积分方程是由意大利数学家Vito Volterra在20世纪初提出的一种特殊类型的积分方程。
它的一般形式可以表示为：\[ y(t) = f(t) + \int_{a}^{t} K(t, s)y(s)ds \]其中，\( f(t) \) 是已知函数，而 \( K(t, s) \) 是积分核函数。
这种积分方程与常见的微分方程有着本质的区别，它描述了系统状态在过去时间的影响，因此在建模动态系统、生态学、经济学等领域中得到广泛的应用。
2. 积分微分方程积分微分方程是微分方程的一种拓展，它在描述动态系统的行为时更为有效和准确。
一般形式可以表示为：\[ \frac{dy(t)}{dt} = f(t, y(t)) + \int_{a}^{t} K(t, s)y(s)ds \]积分微分方程在研究振动系统、生物学等领域有着重要的应用价值，能够更准确地描述系统状态的演化过程。
3. 深入探讨从数学角度来看，Volterra积分方程和积分微分方程的研究涉及到广泛的数学理论和方法。
通过对积分核函数的性质、解的存在唯一性和稳定性等进行深入的分析，可以揭示这两种方程在动力系统、控制理论中的重要性。
对解的逼近算法、数值求解方法等也是研究的重点之一。
4. 应用领域近年来，随着数据科学和人工智能的发展，Volterra积分方程和积分微分方程在系统建模、数据拟合、信号处理等领域得到了广泛的应用。
通过结合深度学习、强化学习等技术，这两种方程能够更好地挖掘数据之间的关联性，从而为实际问题提供更准确、更有效的解决方案。
非线性偏微分方程数值解法
非线性偏微分方程数值解法非线性偏微分方程（Nonlinear Partial Differential Equations, NPDEs）是研究物理、工程和应用数学等领域中的重要问题之一。
与线性偏微分方程不同，非线性偏微分方程的解不仅依赖于未知函数本身，还依赖于未知函数的导数、高阶导数和其他非线性项。
因此，求解非线性偏微分方程是一项困难而具有挑战性的任务。
为了解决这个问题，数学家们提出了多种数值方法和技术。
一种常用的求解非线性偏微分方程的数值方法是有限差分法（Finite Difference Method, FDM）。
有限差分法将求解区域离散化成网格，然后使用数值逼近来近似未知函数和导数。
通过将偏微分方程中的导数用离散化的差分近似表示，可以将原始的非线性偏微分方程转化为一组非线性代数方程。
然后，可以使用迭代方法（如牛顿法）求解这组方程，得到非线性偏微分方程的数值解。
除了有限差分法，其他常用的数值方法包括有限元法（Finite Element Method, FEM）、有限体积法（Finite Volume Method, FVM）和谱方法（Spectral Methods）等。
这些方法在不同的问题和领域中有着广泛的应用。
例如，有限元法在结构力学、流体力学和电磁学等领域中被广泛使用；有限体积法在计算流体动力学和多相流等问题中得到广泛应用；谱方法在流体力学、量子力学和声学等领域中得到广泛应用。
尽管非线性偏微分方程数值解法在实际应用中具有重要的地位，但由于非线性偏微分方程的复杂性，求解过程中常常会遇到一些困难。
其中之一是收敛性问题。
由于非线性偏微分方程的非线性项，往往导致数值方法的迭代过程不收敛或收敛速度很慢。
为了解决这个问题，可以采用加速技术（如牛顿—高斯—赛德尔方法）、网格重构和网格自适应等方法来改善收敛性。
另外，稳定性问题也是非线性偏微分方程数值解法中需要考虑的重要问题。
由于数值方法的离散化误差和时间步长的选择等因素，计算结果可能会产生不稳定性，例如数值震荡和破坏性的解。
扩散的Lotka—Volterra方程的精确行波解
（） ４
（＝ ∑ （ ． ） ）
ｉ ＝０
（ ５ ）
这里 ，由奇次平衡法直接确定，其 中新的变量 （ ） ｚ 满足如下 Ｒｃａ 方程 ： ｉ ｔ ｃｉ
收 稿 日期 ：２ ０ —８０ ０ ９０ —７
比较 困难 ，方 法主 要有 Ｂ ｃｌｎ 【法 、Ｈｉ ｔ双 线性 法 、逆 散射法 和 Ｄａｂｕ ａｋｕｄ ｒａ ｏ ｒｏ ｘ变换 法 等 ．近 年 来 ，不 少学者 结 合计 算机 代数 和符 号计 算 ，给 出 了许 多求 解 非线性 波 方程 的新 方法 ，如双 曲函 数 法 、齐 次平衡 法 、包 络变 换 法［、ＡＤＭ 方 法 和 直接 积 分 的方法 等 ，但 求解 非线 性 发展 刚 ７ Ｊ
，
ｃ ～ ＝ ，
ｄ： ． ｄ ２
ａ １
ｃ ａ ２ｌ
同时把 ， ， 记 回 ， ， ，方程 （ １ ｖ １ ）化 简 为 ：
Ｉ）（ （ （ ） 一 （＋ ａ（）， Ｃ １ ＝） Ｖ ） ｊ （， 以 一４ ’ ） ｖ
显然 可知 ｄ＞０ ．现 只要 求解 方程 （ ２ １ ）的行波解 即可 ． 根据 Ｒ ｃ ａ 方程 映射 法 ，不妨现 假 设方程 （ ２ ｉｃｔ ｉ １ ）有 如下 形式 的解 ：
ｂｐ ｌｐ
，，
（０ １）
＝ｌ ａ －ｂ ＋ １） ｇ １ Ｃ （ ｕ Ｖ
．
．
ｌＶ ， ｖ ２ 一２ ２， （ ＋ Ｃ）。 一 ＝ Ｖ
为 了计算 的方 便 ，方程 （ １ １ ）现经 过如 下变换 ：
（） １ １
等一等
口 ： ， ： ， ￣１ ２ ａ ｒ： 一
Chebyshev配置点法解Volterra型积分微分方程
（ ）＝ Ｕ 一１
Ｊａｇ等 ｌ 把 给 定 的积 分 微 分 方 程 转 换 成 第 二 ｉ ｎ １ 类积 分方 程 的方 程组 ， 因此 ， 积 分微 分 方 程 的主 要 解
工作 就转 变成 求解 这 个积 分方 程 组 ． ｔｉｓｎ 提 出 Ａｋ ｏ ｎ 了多 种求 解第 二 类 积 分 方 程 的数 值 方 法 ， 且 作 了 并 误差 分析 ． ａｇ等 提 出 了 用 Ｌｇｎ ｒ 点 法 求 解 Ｔｎ ｅｅｄｅ配 Ｖ ｌｒ ｏ ｅｒ 积 分 方 程 的 方 法．Ｃ ｅ 等 分 别 用 ｔ ａ型 ｈｎ
（） ２
式中， 函数 ＿ ｔ ， ￡ 和 核 函数 Ｒ（ ，） 是 充分 光 厂 ）ｇ（） （ ｔｓ 都 为 了分 析方 便 ， 式 （ ） （ ） 换 为定 义 在 将 １和 ２ 转 ［一１１ 上 的 等 价 问题 ． 过 变量 替 换 ， 式 （ ） ，］ 通 将 １ 和
（ ） 化为 ２转
ｄ ｉ ０ ３ ６ ／ ． ｓ ． ０ ７ ２ ６ ． ０ ０ ． １ ｏ ：１ ． ９ ９ ｊ ｉ ｎ １ ０ —８ １ ２ １ ． ２ ０ ４ ｓ １
Ｃ ｅ ｙｈ ｖ配 置 点 法 解 Ｖ ｌ ｒａ型 积 分 微 分 方 程 ｈ ｂ ｓｅ ｏｔ ｒ ｅ
吴 华 ， 张 珏
（ 海 大学 理 学 院 ， 海 ２ ０４ ） 上 上 ０４ ４
表 示为 ｛ ｝ ． （ ） 。 式 ５ 在点 时 ， 有
』ｌ Ｊ‘＋ｓ ｓ －（ ｕ 一 ｓ ＋】６ ： “ “ ） ｄ ’
【 ） ６ ） ｆ（ ） ． ：（ ＋ ｓ（ （ Ｋ ）
（ ∑ｚｓ （ ， ｓ ） （） ｓ ）
， ｖ
本 研 究 主 要 是 利 用 Ｃ ｅｙｈｖ配 点 法 求 出 ｈｂｓｅ
volterra积分微分方程数值解法的研究
近年来，随着科学技术的不断发展，对于微分方程数值解法的研究也愈发深入。
其中，volterra积分微分方程数值解法备受关注。
在本文中，我将为您深入解析volterra积分微分方程数值解法，并共享我个人对这一研究的理解和观点。
1. 了解volterra积分微分方程volterra积分微分方程最早由意大利数学家Vito Volterra在20世纪提出，是描述系统动力学行为的重要数学工具。
它所描述的系统通常包括了历史信息对当前状态的影响，因此对于这类方程的数值解法，要求更高的深度和广度。
2. volterra积分微分方程的数值解法在volterra积分微分方程的数值解法中，常常涉及到离散化、插值、逼近等数值计算方法。
对于不同类型的volterra积分微分方程，如延迟型、非线性型等，需要采用不同的数值解法。
在研究过程中，研究者们不断探索新的数值解法，以提高计算精度和效率。
3. 我的观点和理解在我看来，volterra积分微分方程数值解法是一个非常值得深入研究的课题。
在实际应用中，许多系统对历史信息的依赖程度较高，因此对于这类系统的数值模拟和预测，需要充分理解和掌握volterra积分微分方程的数值解法。
尤其是在生态系统、经济模型等领域，volterra 积分微分方程数值解法的研究将有着更为广阔的应用前景。
4. 总结与回顾通过本文的深度探讨，我们对volterra积分微分方程数值解法有了更为清晰的认识。
在数值解法的研究中，我们需要不断探索新的方法，提高计算精度和效率，以满足实际应用的需求。
我也希望更多的科研工作者能够投入到这一领域的研究中，共同推动数值解法的发展。
通过对volterra积分微分方程数值解法的研究，我们将能够更好地理解系统的动力学行为，并为实际应用提供更有力的支持。
希望本文能够为您对这一课题的理解提供一定的帮助。
5. 进一步探讨volterra积分微分方程数值解法的应用领域除了生态系统和经济模型领域，volterra积分微分方程数值解法还有许多其他的应用领域。
谱galerkin方法求解volterra积分微分方程
谱galerkin方法求解volterra积分微分方程引言：Volterra积分微分方程是一类重要的非线性微分方程，广泛应用于物理、工程、经济等领域。
谱Galerkin方法是一种有效的数值求解该类方程的方法。
本文将介绍Volterra积分微分方程的基本概念，并详细阐述谱Galerkin方法的原理和求解步骤。
第一部分：Volterra积分微分方程的基本概念Volterra积分微分方程是一种同时包含积分和微分项的方程，通常形式为：y(t) = f(t) + ∫[a,b] K(t,s)y(s)ds其中，y(t)是未知函数，f(t)是已知函数，K(t,s)是已知的核函数，[a,b]是积分区间。
该方程描述了未知函数y(t)与其自身的积分关系。
第二部分：谱Galerkin方法的原理谱Galerkin方法是一种基于函数空间的数值求解方法，其基本思想是将未知函数y(t)表示为一组基函数的线性组合，通过求解系数来逼近方程的解。
在谱Galerkin方法中，选择合适的基函数对于求解精度至关重要。
第三部分：谱Galerkin方法的求解步骤1. 选择合适的基函数集合，常用的基函数包括Legendre多项式、Chebyshev多项式等。
2. 将未知函数y(t)表示为基函数的线性组合，即y(t) = Σi=1 to Nciφi(t)，其中ci为待求系数，φi(t)为基函数。
3. 将未知函数的表示代入Volterra积分微分方程，得到一组关于系数ci的代数方程。
4. 利用数值方法求解代数方程，得到系数ci的近似解。
5. 将近似解代入未知函数的表示式，得到方程的近似解y(t)。
第四部分：数值实例考虑求解如下Volterra积分微分方程：y(t) = t + ∫[0,t] (t-s)y(s)ds取基函数集合为Legendre多项式，选择N=5，利用谱Galerkin方法求解该方程。
通过数值计算，得到方程的近似解为y(t) = t + 0.5t^2。
【国家自然科学基金】_volterra方程_基金支持热词逐年推荐_【万方软件创新助手】_20140801
科研热词 推荐指数 数值解 3 配置法 2 稳定性 2 渐近概周期解 2 收敛性分析 2 完全稳定性 2 二维非线性volterra积分方程 2 volterra积分方程 2 volterra积分微分方程 2 adomian分解法 2 高效算法 1 高振荡问题 1 高振荡积分方程 1 高振荡积分 1 高振荡微分方程 1 面向统计反演模型 1 非线性abel积分方程 1 随机volterra积分方程 1 随机 1 降雨 1 门限分红 1 适应解 1 适定性 1 近最优控制 1 近最优性条件 1 超收敛 1 解析 1 绝对破产概率 1 组合方法 1 粘弹 1 算法 1 积分-微分方程 1 种群模型 1 生物种群 1 渐近行为 1 渐近展开 1 沃尔塔积分方程改进算法 1 比例延迟 1 模糊数值函数 1 模糊数 1 模型 1 机械求积 1 施工过程 1 整体解 1 支护 1 微分方程 1 微分变换法 1 强模糊henstock积分 1 广义模糊volterra积分方程 1 广义darbo不动点定理 1 尺度结构 1 合成孔径雷达 1
科研热词 推荐指数 非线性微分-差分方程 1 非线性volterra型积分方程 1 非紧性测度 1 非混合单调二元算子 1 零阶保持 1 阈红利边界 1 锥理论 1 配置理论 1 超定方程 1 罚金折现期望函数 1 精确解 1 粒子群优化 1 算子不动点 1 第一类voherra积分方程 1 积分方程 1 积分-微分方程 1 牛顿运动方程 1 热通量 1 气动弹性 1 气动力降阶模型 1 星间距离 1 整体解 1 数值解 1 数值反演 1 散逸性 1 抛物方程 1 径向基神经网络 1 并行算法 1 差分方法 1 小波逼近 1 小波 1 多项式内插 1 多小波 1 地球重力场模型 1 卫星轨道扰动 1 位势理论 1 代数稳定性 1 二元volterra晶格方程 1 volterra级数 1 volterra延迟积分微分方程 1 volterra型积分微分方程 1 tikhonov正则化 1 runge-kutta方法 1 qr分解 1 erlang(2)风险过程 1 banach空间 1 (g′/g)展开法 1
非线性微分方程的行为及其动力学研究
非线性微分方程的行为及其动力学研究在数学和物理领域，非线性微分方程一直是研究的焦点之一。
与线性微分方程不同的是，非线性微分方程中的函数关系不满足线性叠加的原理，而是具有高度的复杂性和非可积性。
此类方程广泛应用于自然现象的建模和预测中。
非线性微分方程研究的主要目的是理解这些复杂的现象，为解决实际问题提供必要的工具和方法。
本文将从非线性微分方程的基础知识开始，介绍它的性质和解析技术。
然后，我们将讨论非线性微分方程的一些典型行为及其动力学研究，包括周期解、混沌、吸引子和边界层现象等。
1. 非线性微分方程的基础知识1.1 定义对于一般形式的非线性微分方程，可以表示为：$$\frac{d}{dt}u(t)=f(u(t))$$其中 $u(t)$ 表示未知函数，$f(u(t))$ 表示非线性函数。
该方程的初值条件为$u(0)=u_0$。
1.2 常见的非线性微分方程1.2.1 Lotka-Volterra 方程又称捕食-繁殖方程，由 Lotka 和 Volterra 在20世纪初提出。
描述了生态系统中两个种群之间的相互作用关系。
该方程形式为：$$\begin{aligned} \frac{d}{dt}x(t)&=ax(t)-bx(t)y(t) \\ \frac{d}{dt}y(t)&=-cy(t)+dx(t)y(t) \end{aligned}$$其中，$x(t)$ 和 $y(t)$ 分别表示捕食者和猎物的种群密度，$a$、$b$、$c$、$d$ 是常数。
1.2.2 Van der Pol 方程由荷兰电气工程师 Van der Pol 在20世纪20年代提出。
描述了电路中非线性振荡的现象。
方程形式为：$$\frac{d^2}{dt^2}x(t)-\mu(1-x^2(t))\frac{d}{dt}x(t)+x(t)=0$$其中，$x(t)$ 表示电路中的电量，$\mu$ 是常数。
1.3 动力学系统对于一个非线性微分方程，我们可以将它看作一个动力学系统。
几类非线性偏微分方程精确解的研究
几类非线性偏微分方程精确解的研究几类非线性偏微分方程精确解的研究摘要：非线性偏微分方程在数学和物理领域中有着广泛的应用，其求解是一个重要的研究方向。
精确解研究涉及到方法和技术，大大提高了求解的速度和精度。
本论文针对几类非线性偏微分方程进行研究，探讨其精确解。
首先，本文介绍了这些非线性偏微分方程的基本概念和性质，包括一些应用领域和模型的描述。
然后，我们提出了精确解研究的一般思路和流程，并阐述了具体实现方法。
接着，我们选择了几种典型的非线性偏微分方程，分别介绍其数学特性、求解方法、解的性质等方面，并通过实例进行验证和说明。
最后，我们评估了精确解研究的优缺点，探讨其未来发展方向。
关键词：非线性偏微分方程、精确解、方法、技术、数学特性。
正文：第一章绪论1.1 非线性偏微分方程的基本概念偏微分方程（Partial differential equation）是描述自然界中物理学、工程学、化学、社会学等学科中的数量关系的数学方法之一。
偏微分方程的解法往往是比较困难的，因此近年来许多研究者将精力集中在非线性偏微分方程的求解上。
非线性偏微分方程是指，未知函数出现在方程的高次项、积、除法、指数函数等时，即同一方程中出现有关函数和其偏导数的非线性项。
1.2 非线性偏微分方程的应用领域非线性偏微分方程的求解方法及其精度和速度在科学和工程应用中具有广泛的应用。
例如，在流体力学中，非线性偏微分方程可用于描述涡旋流、湍流、振荡流、波浪等。
在分子生物学中，非线性偏微分方程可用于描述分子扩散、蛋白质演化等。
在量子力学中，非线性偏微分方程可用于描述玻色、费米子体系等。
在统计学中，非线性偏微分方程可用于描述随机微分方程、布朗运动等。
1.3 非线性偏微分方程的模型如果要用非线性偏微分方程来描述一个现象，我们需要构造出一个非线性偏微分方程模型。
偏微分方程模型一般包含几个要素，例如：基本方程、边界条件、初始条件、材料参数等。
第二章精确解研究的一般思路和流程2.1 精确解的定义和种类精确解是指以公式的形式表示的解。
非线性两点边值问题的反插值Volterra型积分方程解法
许多文献都讨论过系统 （） １ 的解 的存在唯一性 问题［ 】对于系统 （）的数值解 的研究 ， １ ， １ 宋兴光做 了一定探 讨 ， 但其 数值结果却不 尽详 尽或令人 满 意 ［ ． 文 对 问题 （）的解 的存 在 性 与 数 值 结 果 都 ６本 】 １ 有 详 尽讨 论 ， 有较好 的结果 ． 并 考虑与系统（） Ｉ 相对应的初值问题如下 ： ｆＩｔ Ｉ ）＝ｆ ， ，） ０≤ ｔ ｂ Ｕ（ （ ｕｔ， ≤
中 图分 类 号 ：２ １８ Ｏ ４ ．３ 文 献 标识 码 ： Ａ
Ｏ 引 言
我们 首先 描述 二阶非线 性常 微分 方 程 的两 点边
值 问题 的一般形 式 ： ｆ （ ）＝ ¨ ， ￡ ， ｔ ， ） ０≤ ｔ≤ ｂ
ｎ个 方程 ， ｒ （ ）＝ ｕ ， ｔ ｔ ， ）
其中，
｛（） ｕ口 ＝口
Ｌ （ ）＝ 口
（ ２ ）
） ） ㈡， ＝
撕㈩ （ ＝
这里 定 义 ，
其 中 ， 待定 ．
） ．
由此 ， 系统 （） 化 为 寻 求 恰 当 的 ， 得 （） １转 使 ２
式 的解 Ｕ ｔ ） 足 ， （； 满 （； ｂ 口）＝ ．
文章编号： ０ １ ４—５２ （０ ０ ０ —０ ２ —０ ０ ４ ２ ２ １ ）２ １０ ４
非 线 性 两 点 边 值 问题 的 反 插 值 Ｖ ｌｒ ｏ ｅｒ 积 分 方 程 解 法 ｔ ａ型
付 宇ｋ ，肖继红 涛 ，吕
（． １四川大学 数 学学院，四川 成都 摘 ６０６ ； ． １０４ ２ 四川理工 学院 理 学院 ， 四川 自贡 ６ ３０ ） ４０ ０
∑ Ｆ ，） ＝ ， ｉ ， 凡 （ ， ｏ ． …，；＝ｌ 『 …，
谱galerkin方法求解volterra积分微分方程
谱galerkin方法求解volterra积分微分方程谱Galerkin方法是一种常用的数值方法，用于求解Volterra积分微分方程。
Volterra积分微分方程是包含了积分和导数的微分方程，通常具有非线性的特点。
这种方程在许多科学和工程问题中都有广泛应用，包括动力学系统、传输方程、群论、图像处理等领域。
谱Galerkin方法的基本思想是将方程中的未知函数表示为基函数的线性组合，并将其代入原方程，然后通过最小化原方程与基函数的正交误差，来求得基函数的系数。
这样就可以得到一个离散的线性系统，进而可以用数值方法求解得到解函数的近似解。
在Volterra积分微分方程的求解中，需要选择适当的基函数来表示未知函数。
一般选择正交的Legendre多项式、Chebyshev多项式或Fourier级数等作为基函数。
这些函数具有特定的正交性质，可以有效地展开未知函数。
首先，假设Volterra积分微分方程为：y(t) + \int_0^t K(t, s) y(s)ds = f(t)其中，y(t)是未知函数，K(t,s)是已知的积分核函数，f(t)是已知的函数。
然后，我们将未知函数y(t)表示为基函数的线性组合：y(t) = \sum_{i=0}^{N-1} a_i \phi_i(t)其中，N是基函数的数量，a_i是基函数的系数，\phi_i(t)是基函数。
将以上等式代入原方程，得到：\sum_{i=0}^{N-1} a_i \phi_i(t) + \int_0^t K(t, s)\left( \sum_{j=0}^{N-1} a_j \phi_j(s) \right)ds = f(t)对上述方程求得的各个方程进行正交化处理，得到一个离散的线性方程组：\sum_{i=0}^{N-1} a_i \int_0^t \phi_i(t) \phi_k(t) dt +\sum_{i=0}^{N-1} a_j \int_0^t \int_0^t K(t, s) \phi_i(t)\phi_j(s) ds dt = \int_0^t f(t) \phi_k(t)其中，k=0,1,...,N-1解这个线性方程组，得到基函数系数a_i的值，进而得到未知函数y(t)的近似解。
非线性Volterra积分方程
一类第二种非线性Volterra 积分方程积分数值解方法1前言微分方程和积分方程都是描述物理问题的重要数学工具，各有优点.相对于某种情况来说，对于某种物理数学问题，积分方程对于问题的解决比微分方程更加有优势，使对问题的研究更加趋于简单化，在数学上，利用积分形式讨论存在性、唯一性往往比较方便，结果也比较完美,所以研究积分方程便得越来越有用,日益受到重视.积分方程的发展，始终是与数学物理问题的研究息息相关.一般认为，从积分发展的源头可以追溯到国外的数学家克莱茵的著作《古今数学思想》，该书是被认为第一个清醒的认为应用积分方程求解的是Abel.Abel 分别于1833年和1826年发表了两篇有关积分方程的文章，但其正式的名称却是由数学家du Bois-Raymond 首次提出的，把该问题的研究正式命名为积分方程。
所以最早研究积分方程的是Abel,他在1823年从力学问题时首先引出了积分方程，并用两种方法求出了它的解,第一的积分方程便是以Abel 命名的方程.该方程的形式为：⎰=-baax f dt t x t )()()(ϕ,该方程称为广义Abel 方程,式中a 的值在(0,1)之间.当a=21时，该式子便成为)()(x f dt tx x x a =-⎰ϕ.在此之前，Laplace 于1782年所提出的求Laplace 反变换问题，当时这个问题就要求解一个积分方程.但是Fourier其实已经求出了一类积分方程的反变换，这就说明在早些时候积分方程就已经在专业性很针对的情况下得到了研究，实际上也说明了Fourier 在研究反变换问题是就相当于解出了一类积分方程.积分方程的形成基础是有两位数学家Fredholm 和V olterra 奠定的，积分方程主要是研究两类相关的方程，由于这两位数学家的突出贡献，所以这两个方程被命名为Fredholm 方程和V olterra 方程。
后来又有德国数学家D.Hilbert 进行了重要的研究，并作出了突出的贡献，由于D.Hilbert 领头科学家的研究，所以掀起了一阵研究积分方程的热潮，并出现了很多重要的成果，后来该理论又推广到非线性部分。
非线性微分方程的数值求解方法
非线性微分方程的数值求解方法非线性微分方程是现代科学研究中的一个重要课题，其涉及机械、物理、化学、电子、生物、医学等众多领域。
然而，由于非线性微分方程普遍难以求解，因此，数值求解成为了解决问题的有效方法。
在本文中，我们将介绍非线性微分方程数值求解的常用方法和一些应用实例。
1. 常用方法1.1 有限差分法有限差分法是一种基于离散化技术的数值求解方法。
其具体操作是将非线性微分方程转化为一个差分方程，然后利用数值迭代的方法逐步计算出方程的解。
有限差分法是非线性微分方程数值求解的最基本方法，其优点是简单、易于实现，但由于离散化带来的误差限制了其应用范围。
1.2 有限元法有限元法是结构力学和流体力学中常用的一种数学方法，可以用于求解大量的非线性微分方程。
该方法将连续的物理问题转化为一系列离散的有限元问题，并利用数值技术实现数值计算。
相对于有限差分法，有限元法更加灵活、精确，能够模拟各种复杂的力学问题。
1.3 辛波特-欧拉法辛波特-欧拉法是非线性微分方程数值求解中的一种高精度方法。
其基本思想是将微分方程用欧拉法离散化，然后利用辛波特方法来提高精度。
该方法应用广泛，在计算机模拟、物理学、天文学等领域有着广泛的应用。
2. 应用实例2.1 生态学非线性微分方程在生态学中有着广泛的应用，其中最经典的例子是Lotka-Volterra方程。
这个模型描述了食物链中食草动物和食肉动物的数量变化。
利用有限元法、有限差分法等数值方法，可以对生态系统的发展、演变进行模拟，研究生态链条的稳定性、物种丰富度变化、环境扰动的影响等问题。
2.2 理论物理学非线性微分方程在理论物理学中也有着广泛的应用。
例如，把非线性微分方程用于研究非线性波方程和非线性光学方程，以及非线性薛定谔方程和非线性薛定谔场方程等等。
这些数值方法的应用可以有效地模拟和研究各种物理现象。
例如，研究自然灾害引起的气候变化、稳定器的效应、研究界面液晶显示器，以及研究光学调制中涉及的非线性现象等等。
一类常微分方程和Volterra积分方程解的存在唯一性
一类常微分方程和Volterra积分方程解的存在唯一性吴雪蓉【摘要】The existence and uniqueness of solutions for the fourth-orderordinary differential equation and the Volterra integral equation are studied, by using Banach contracting mapping principle.The numerical solutions of these equations are discussed by MATLAB.%利用Banach压缩映射原理,研究了一类四阶常微分方程和Volterra积分方程解的存在性和唯一性,并且利用MATLAB讨论了此类方程的数值解.【期刊名称】《沈阳大学学报》【年(卷),期】2017(029)002【总页数】5页(P168-172)【关键词】Banach压缩映射原理;常微分方程;积分方程;数值解【作者】吴雪蓉【作者单位】南京财经大学应用数学学院,江苏南京 210023【正文语种】中文【中图分类】O175在代数方程、微分方程、积分方程、泛函方程等诸多方程问题的研究中,常常会建立与之相关的积分算子T[1-2],把所考虑的方程问题转化为求T的不动点u,即u=Tu,不动点理论是泛函分析的主要组成部分,并且有着广泛的应用价值.本文利用Banach压缩映射原理,研究一类常微分方程和Volterra积分方程解的存在性和唯一性.以下我们给出相应的概念定理以及所讨论的方程.引理1[3] (Banach压缩映射原理).设X是完备的度量空间,d是X中的距离,设映射S:X→X满足d(Sv1,Sv2)≤kd(v1,v2),∀v1,v2∈X,其中 0<k<1,则S具有唯一的不动点u,即u=Su.讨论下述四阶常微分方程初值问题解的存在唯一性.本文除了研究Banach压缩映射原理在一类常微分方程问题中的应用,还将其应用在第二类Volterra积分方程问题中,积分方程如下:其中,,并且此积分方程的核为在方程(1)中,总假定:(ⅰ) P(x)在[-r,r]上连续;(ⅱ) 设P(x)的原函数为p(x),令,则0<a<1.于是,得到如下主要结果:定理1 假设条件(ⅰ)、(ⅱ)成立,则微分方程(1)存在唯一的解.证明令F(x)=(y,y′,y″,y(3)), 则F′(x)=(y′,y″,y(3),y(4)).设Φ(x,y0,y1,y2,y3)=(y1,y2,y3,y4)=(y1,y2,y3,Q(x)-P(x)y3),且Γ=(1,-1,1,0),那么方程(1)可转化成如下一阶微分方程:作积分算子使得注意到,如果T存在唯一的不动点,那么方程(1)存在唯一的解,因此,若∀F,G∈C([-r,r],R4), 得到令显然0<k<1.由于同理可得同理可得因此,由于由此可得故依据Banach压缩映射原理,算子T是一个压缩映射,具有唯一的不动点,因此,微分方程(1)存在唯一的解,定理1得证.对于积分方程(2),同样可以应用Banach压缩映射原理得到解的存在唯一性,主要结果如下:定理2 考虑方程(2),则积分方程(2)存在唯一的解.证明由于则当x≠0时,,当x=0时,,故当0≤t<x≤1时,令y=x-t,则0<y<1,再令M(y)=-1+(1+y)e-y,则M′(y)=-ye-y<0,因此,M(y)在(0,1)上为单调减函数,故M(y)<M(0)=0,所以当t=x时,.由此可得,作积分算子使得若对∀φ(x),ψ(x)∈C[-1,1],有令,且,则令q0(x)=(x+1)e-x,则q0′(x)=-xe-x.如果x∈(0,1],那么,所以q0(x)在(0,1]上是一个单调减函数,因此,q0(x)∈[2e-1,1),则q0(x)-1∈[2e-1-1,0),故.因此p0(x)在(0,1]上是一个单调减函数,故).如果x∈[-1,0),那么,所以q0(x)在[-1,0)上是一个单调增函数,因此,q0(x)∈[0,1),则q0(x)-1∈[-1,0),故.因此p0(x)在[-1,0)上是一个单调减函数,故.由此可得,|p0(x)|].从而,|Sφ(x)-Sψ(x)|≤‖φ(t)-ψ(t)‖∞×|p0(x)|≤‖‖φ(t)-ψ(t)‖∞,即可得到‖‖φ(t)-ψ(t)‖∞.令<1,故依据Banach压缩映射原理,算子S是一个压缩映射,具有唯一的不动点,因此,微分方程(2)存在唯一的解,定理2得证.虽然求解微积分方程有各式各样的解析方法,但解析方法只能用来求解一些特殊类型的方程,一般情况下,从一些实际问题中归结出来的方程,都难以求得解析解,此时可以利用MATLAB求其数值解.本节给出了求解上述四阶常微分方程初值问题以及积分方程的数值解法.例1 对于微分方程(1),取P(x)=x2,Q(x)=2xex,则方程为且P(x)在上连续,P(x)的原函数为,所以则条件(ⅰ)、条件(ⅱ)成立,依据定理1可知,方程(3)存在唯一的解.关于高阶微分方程的初值问题,原则上总可以归结为一阶方程组来求解,引进新的变量:则方程(3)即可化为如下一阶方程组:满足初值条件y1(0)=1,y2(0)=-1,y3(0)=1,y4(0)=0.数值结果如表1.图1为方程的近似解的图像.例2 用数值积分法[4]来近似求解积分方程其中,此积分方程的核为0≤t≤x≤1,自由项,定义在[0,1]上.解当0≤x<t≤1时,定义k(x,t)=0,则方程(4)可看成第二类Fredholm积分方程. 用n=6的梯形公式求其近似解,此时h=0.2,则令x=xj(j=1,…,6),得到:对上式中的定积分用有限和来代替,可得:式中φj=φ(xj),kjm=k(xj,xm),fj=f(xj).令则式(5)可写成Y=KY+F,即(I-K)Y=F,这是一个系数矩阵是下三角的矩阵的线性方程组[5],求解非常方便.下面利用MATLAB编程得到数值结果如表2.【相关文献】[1] 郭海杰. 非线性Dirichlet型三点边值问题正解的存在性[J]. 沈阳大学学报(自然科学版), 2016,28(4):340-344. (GUO H J. Existence of positive solutions for nonlinear dirichlet type three point boundary value problems[J]. Journal of Shenyang University(Natural Science), 2016,28(4):340-344.)[2] 马亮亮. 变系数空间分数阶对流扩散方程的有限差分解法[J]. 沈阳大学学报(自然科学版), 2013,25(4):341-344. (MA L L. Finite difference method for fractional convection diffusion equation with variable coefficients[J]. Journal of Shenyang University(Natural Science), 2013,25(4):341-344.)[3] 布莱基斯. 泛函分析:理论和应用[M]. 叶东,周风,译. 北京:清华大学出版社, 2009. (Haim Brezis. Analy fonctionnelle-theorie at applications[M]. YE D,ZHOU F, Translate. Beijing: Tsinghua University Press, 2009.)[4] 沈以淡. 积分方程[M]. 3版. 北京:清华大学出版社, 2012. (SHENG Y D. Integral equations[M]. The third edition. Beijing: Tsinghua University Press, 2012.)[5] 李庆扬,王能超,易大义. 数值分析[M]. 5版. 北京:清华大学出版社, 2015. (LING Q Y, WANG N C, YI D Y. Numerical analysis[M]. The fifth edition. Beijing: Tsinghua University Press, 2015.)。
《BlockPulse函数法求解一类非线性Fredholm-Volterra积分微分方程》范文
《Block Pulse函数法求解一类非线性Fredholm-Volterra积分微分方程》篇一一、引言非线性Fredholm-Volterra积分微分方程是一类重要的数学模型，广泛应用于物理、工程、生物和金融等多个领域。
然而，由于这类方程的复杂性，传统方法往往难以解决。
本文提出一种新的求解方法——Block Pulse函数法，以求解一类非线性Fredholm-Volterra积分微分方程。
二、问题描述考虑一类非线性Fredholm-Volterra积分微分方程，其一般形式为：其中，F为非线性函数，g(t)和h(t)为已知函数。
本文的目标是利用Block Pulse函数法求解该类方程。
三、Block Pulse函数法Block Pulse函数法是一种基于离散化思想的数值求解方法。
该方法将连续的积分区间划分为若干个离散的子区间，每个子区间内采用Block Pulse函数进行逼近。
通过离散化处理，将连续的积分微分方程转化为离散的线性方程组，从而简化求解过程。
四、求解过程1. 将积分区间划分为N个等距的子区间，每个子区间内采用Block Pulse函数进行逼近。
2. 将非线性Fredholm-Volterra积分微分方程转化为离散的线性方程组。
3. 利用适当的数值方法（如高斯消元法、迭代法等）求解离散的线性方程组，得到解的近似值。
4. 对得到的近似解进行后处理，如误差分析、收敛性检验等。
五、实例分析以一个具体的非线性Fredholm-Volterra积分微分方程为例，采用Block Pulse函数法进行求解。
通过对比求解结果与实际解，验证了该方法的有效性和准确性。
同时，对不同离散化程度下的求解结果进行了分析，探讨了离散化程度对求解精度和计算效率的影响。
六、结论本文提出了一种基于Block Pulse函数法的非线性Fredholm-Volterra积分微分方程求解方法。
该方法通过将连续的积分区间离散化，将复杂的非线性问题转化为简单的线性问题，从而简化了求解过程。
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特性等 方 面 提供 理 论基 础 。 线 性微 分 一 分方 程 非 差 不 同于完全 离散 的差 分方 程 ， 关 于 时 间通 常是 连 它 续 的， 而关 于其它 变量是 离散 的 。 自从 Ｆ ｒ 等 … 开 ｅｍｉ
能得到 更 多类型 的精确 解 ， 而证 实 了该 方法研 究非 线性微 分 一 从 差分 方程精 确解 问题 的有效性 。
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关键词： 非线性微分 一 差分方程； Ｖｈｒ 晶 二元 ｏｅａ 格方程； １ ｒ （ 展开法； 精确解
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中图分 类号 ： ７ ．４ 文献标 识码 ： 文章编 号 ：６ １—７ ４ （０ ０ ０ Ｏ １５ １ Ａ １７ １７ ２ １ ） ２—０ ３ ２ ２—０ ４
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第 ９卷 第 ２期 ２１ ０ ０年 ４月
江 南 大 学 报 （ 然 科 学 版 ） 学 自
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摘 要： 、 ， 把ｆ １ Ｇ 展开法推广应用于研究非线性微分一 差分二元Ｖｌｒ 晶格方程的精确解问题， ｏｅａ ｔｒ 借
助 数 学软 件计 算得 到该方 程的双 曲 函数 和 三 角函数 等 形 式 的精 确 解 ； 参数 取 特 定 的值 时 ， 用 ３ － ＂ 应 该方 法又得到 一 些特 殊形 式 的扭 结 型孤 立波 解 及 奇异 行 波 解 。 比较 发 现 ， 方 法 比用 双 曲正切 法 该
Ａｐｒ ．
２ ０ ０１
非 线性 微 分 ． 分 二 元 Ｖ ｌ ｒａ晶格 方 程 的 精确 解 差 ｏｔ ｒ ｅ
于 水猛 田 立新 ，
（ ．江南大 学 理 学 院 ， 苏 无锡 ２ ４ ２ ； ．江苏大 学 理 学 院 ， １ 江 １ １２ ２ 江苏 镇 江 ２ ２ １ ） １０ ３
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近年 来 ， 由于非线 性微 分 一 分方 程 可 以在 物 差 理 学 、 态 学 和 工 程 学 中用 于模 拟 复 杂 的 白然 现 生 象 ， 而 引起 了广泛 深入 的研究 。 从 非线 性微 分 一 分 拟 、 示 其 揭