《实变函数》复习资料

《实变函数》复习资料1

一单选题

1. 设是[a,b]上绝对连续函数，则下面不成立的是（）

A. 在[a,b]上的一致连续函数

B. 在[a,b]上处处可导

C. 在[a,b]上L可积

D. 是有界变差函数

2. 设是E上的a.e.有限的可测函数列,则下面不成立的是（）

A. 若,则

B. 是可测函数

C. 是可测函数

D. 若,则可测．

3. 若是可测函数，则下列断言（）是正确的（）

A.

B.

C.

成考复习资料

D.

4. 下列断言中( )是错误的（）

A. 零测集是可测集

B. 可数个零测集的并是零测集

C. 任意个零测集的并是零测集

D. 零测集的任意子集是可测集

5. 设是 [a,b]上有界变差函数，则下面不成立的是（）

A. 在[a,b]上有界

B. 在[a,b]上几乎处处存在导数；

C. 在[a,b]上L可积；

D.

二填空题

6. 设，则 ________________________

（）

7. 设若________________________,则称是E的聚点.

（）

8. 设P为Cantor集，则mP=_________________ （）

9. 设是E上几乎处处有限的可测函数列, 是E上几乎处处有限的可测

函数,若 , 有________________________, 则称在E上依测度收敛于 . （）

10. 设E使闭区间[a,b]中的全体无理数集, 则 ________________________ （）

三、名词解释

1. Jordan分解定理

2. 伯恩斯坦定理

3. Levi定理

4. Fatou引理

四、计算题

1.

2.

成考复习资料答案

一、单选题

1-5 BAACD 5-10

二、填空题

1

2

3 0

4

5 b-a

三、名词解释

1. Jordan分解定理 : 在上的任一有界变差函数都可表示为两个增函数

之差.

2. 伯恩斯坦定理：设A，B是两个非空集合. 如果A对等于B的一个子集，又B对等于A的一个子集，

那么A对等于B.

3. Levi定理：设是可测集E上的一列非负可测函数，且对任意 ,

,令则

4. Fatou引理：设是可测集E上一列非负可测函数,则

四、计算题

1.

2.

成考复习资料

《实变函数》 复习资料2

一、计算题

1、设⎪⎩⎪⎨⎧-∈∈=0

30

2]1,0[,)(P x x P x x x f ，，其中0P 为Cantor 集，计算⎰]10[)(，dm x f ．

2、求极限0

ln()lim cos x

n

x n e xdx n

∞-+⎰

． 二、证明题

1、设()f x 是(),-∞+∞上的实值连续函数，则对于任意常数,{|()}a E x f x a =≥是闭集．

2、设在E 上)()(x f x f n ⇒,而..)()(e a x g x f n n =成立,Λ,2,1=n ,则有)()(x f x g n ⇒．

3、设()f x 是E 上..a e 有限的函数，若对任意0δ>，存在闭子集F E δ⊂，使()f x 在F δ上连续，且()m E F δδ-<，证明：()f x 是E 上的可测函数．(鲁津定理的逆定理)

4、在有限闭区间],[b a 上的单调有限函数)(x f 是有界变差函数．

答案

一、计算题

1、设⎪⎩⎪⎨⎧-∈∈=0

30

2]1,0[,)(P x x P x x x f ，，其中0P 为Cantor 集，计算⎰]10[)(，dm x f 。

解.设]1,0[,)(3∈=x x x g ，因00=mP ， 则在]1,0[上)(~)(x g x f ，

⎰

⎰

⎰

=

==∴]

1,0[1

3

]

10[4

3

)()()(dx x R dm x g dm x f ， 2、求极限0ln()lim cos x

n x n e xdx n ∞

-+⎰

解：设ln()()cos x

n x n f x e x n

-+=，则易知当n →∞时，()0n f x →

又因'

2ln 1ln 0t t t t -⎛⎫=< ⎪⎝⎭

，(3t ≥)，所以当3,0n x ≥≥时，

ln()ln()ln 3ln 3(1)33

x n n x x n n x x n n x n n ++++=≤≤++ 从而使得ln 3

|()|(1)3

x n f x x e -≤+

但是不等式右边的函数，在[)0,+∞上是L 可积的，故有

lim ()lim ()0n n n

n

f x dx f x dx ∞

∞

==⎰⎰

二、证明题

1、设()f x 是(),-∞+∞上的实值连续函数，则对于任意常数,{|()}a E x f x a =≥是闭集。 证明：,{},lim n n n x E E x x x →∞

'∀∈=则存在中的互异点列使.

,()n n x E f x a ∈∴≥Q .

()()lim ()n n f x x f x f x a →∞

∴=≥Q 在点连续，

x E ∴∈

E ∴是闭集.

2、设在E 上)()(x f x f n ⇒,而..)()(e a x g x f n n =成立,Λ,2,1=n ,则有)()(x f x g n ⇒ 证明:记][n n n g f E E ≠=,由题意知0=n mE