如何用几何画板统一作出圆锥曲线

如何用几何画板统一作出圆锥曲线

包汉忠

(贵州都匀三中)

我们见到的关于圆锥曲线的课件，通常都是作椭圆、双曲线、抛物线中单纯的一个曲线，没有使用一个课件同时展示三种圆锥曲线的。那么用一个课件是否能同时展示这三种圆锥曲线呢？

经过对几种常用的课件制作软件工具的试验与比较，借助于几何画板，笔者完成了一个制作统一圆锥曲线的几何画板课件。以下谈一下这个课件的设计目的、思想与方法。

这个课件的制作目的很简单，就是想让学生直观地观察椭圆、双曲线、抛物线这三种圆锥曲线的变化规律，以及它们之间的离心率变化引起的图象变化。

这个课件的理论基础是圆锥曲线的第二定义(即统一定义)：一个动点到一个定点的距离与这个动点到一条定直线的距离的比值等于定值(即常数)，我们知道，这个常数就是离心率e，并且，当01

e

e>时，

<<时，这个动点的轨迹就是椭圆；当1

这个动点的轨迹就是双曲线；当1

e=时，这个动点的轨迹就是

抛物线。

那么，如何在作图过程中确定这个常数e ，如何才能使两条线段的比值等于事先想要的或者预先设定的离心率呢？这个问题成为了这个课件的制作的关键。其实要得到两条线段的比值等于事先想要的或者预先设定的离心率e 并不难，因为这可以从初中数学中的相似三角形中

得到。

如右图所示，若//BC DE ，则可以得到AB AD BC DE =，因此，可以把AB BC

作离心率e 的参考值，在作图的过程中

可使BC AB ⊥，这会使作图变得更方便。

由此，可以得到确定e 的方

法。

制作的步骤如下：

①作两互相垂直的直线m 、

l ，设定点F 在直线l 上，定直线

为m ，

②在定直线m 上取一定点

B 和一个可调动点A ，过点B 作l 的平行线B

C ，在BC 上取一

点C，过A、C作直线AC，则三角形ABC为直角三角形，此时，把BC固定，通过调节AB的长度，则可调节AB

的取值

BC

作为离心率e的标准值

范围，用AB

BC

③在m上又取一动点D，过动点D作DE m

⊥，交直线AC 于E，此时，用AD作为动点P到定点F的距离，用DE作为到定直线m的距离，则离心率AD AB

===定值

e

DE BC

④以点F为圆心，AD为半径，作圆F交过点E作m的平行线于点P

此时通过调节AD与DE的长度关系，追踪点P的轨迹，即可得到圆锥曲线的图形。

当AD DE

<时，即01

e

<<，动点P的轨迹为椭圆；

当AD DE

>时，即1e

<，动点P的轨迹为双曲线；

当AD DE

=时，即1

e=，动点P的轨迹为抛物线。