复杂网络抗毁性度量及优化研究进展

复杂网络抗毁性度量及优化研究进展

专业：控制科学与工程 姓名：许云飞 学号：20130208110007 摘要：作为一个新兴交叉学科，复杂网络发展迅速，并已渗入各个相关学科的研究中。在已有网络模型拓扑结构的研究基础上，网络抗毁性能的研究受到越来越多学者的关注，并取得丰硕成果。本文从抗毁性度量及抗毁性优化两个方面对现有的研究进展进行综述分析，并对该研究领域的未来发展趋势进行总结和展望。

关键词：复杂网络；拓扑结构；抗毁性度量；优化

1. 引言

自小世界效应[1]和无标度特性[2]这些性质发现以来，复杂网络研究在过去的十几年中得到迅速发展，在网络的发展进程中，安全和稳定性被越来越多的实际应用所迫切需要，因此复杂网络抗毁性的量化研究逐渐成为复杂网络研究中最为关键的研究主题，人们越来越关注于能够保障网络在遭受外界攻击时依然维持正常运作的网络结构及其构造方式，以及促使既存网络在保证经济效益的同时提高抗毁性能的优化方案，本文也将着重分析当前复杂网络抗毁性的量化指标及其优化方案的研究进展，并对存在的问题和发展趋势提出展望。

2. 复杂网络抗毁性度量指标

复杂网络的抗毁性可以理解为网络中的节点或边发生自然失效或遭受故意攻击时，网络拓扑结构保持连通的能力及网络维持其功能的能力[3]，度量网络抗毁性能好坏的指标称之为抗毁性测度。在图论的传统研究中使用图的部分不变量指标刻画网络抗毁性[4]，但是由于复杂网络中存在大量度数很小的节点，而这些指标很多都基于最小节点的度数，因此失去了测度的意义。于是越来越多的研究开始着眼于寻找能够较为全面的反应网络抗毁性能的测度，针对现有测度基于网络结构中不同属性的定义，本文从以下四个方面对抗毁性测度研究进展进行归纳和总结。

2.1 基于节点属性的抗毁性测度

吴俊等[5]首先提出网络连通系数的概念，描述了网络连通分支及平均最短路径对网络连通性能的影响，在此基础上，针对随机打击和选择性打击两种不同模式，设置网络连通系数的阈值，在保证阈值的前提下，最大限度的删除节点(边)，得到节点(边)容错度和节点(边)抗攻击度两个指标作为衡量网络抗毁性能的指标。

郭虹等[6]首先提出表征网络紧凑程度的网络凝聚度指标，并提出节点收缩的概念，将与节点i 相连接的i k 个节点与i 融合并用一个新节点i '代替这1+i k 个结点，利用节点收缩前后网络凝聚度的变化作为衡量节点重要程度的标准，取其均值为节点抗毁度，将网络中所有节点抗毁度的均方差作为全网抗毁度。全网抗毁度反映了节点抗毁度在整个网络的平均程度和分散程度。该方法从局部节点对全局抗毁影响的角度分析了网络中节点的重要性，可以更加准确的确定网络中的关键节点，从而进行弱化或者保护。谢琼瑶等[7]将其应用于加权的电力网中，以线路中的电抗值为权重参数，建立有权网络模型并提出带权重的网络凝聚度及节点重要度指标。任连兴等[8]提出攻击度的概念，将遭受攻击前后度分布的数学期望变化进行归一化来反应网络的抗毁性能，由文献[6]中的节点收缩法确定节点的重要度，攻击度为网络遭受攻击后孤立或毁坏节点重要度之和与全网络节点重要度之和的比值，该指标衡量了网络遭受攻击之后的毁坏程度。

在基于节点属性的抗毁性测度中，一般都是从节点的重要度出发，将节点间的相互联系通过重要度量化，再将网络全部节点的重要度取均值归一化得出网络的全网抗毁性测度。

2.2 基于网络路径的抗毁性测度

Holme 等[9]最早从介数的角度考虑网络的抗毁性能，节点的介数是指所有的节点对之间通过该节点的最短路径的数目，点(边)介数越大，意味着该节点(边)更容易拥塞而成为瓶颈。通过比较在基于节点度和介数的不同移除攻击策略下网络的性能表明介数大的节点或边对网络抗毁性能影响更大。

郭伟等人[10]引入跳面节点的概念，对同一节点具有相同跳数距离的节点组成该节点的跳面节点。在此基础上给出了一种新的抗毁性测度，定义为网络中所有节点到其所有跳面节点可靠性的平均值，其中节点到跳面节点的可靠性与网络的拓扑结构有关。该方法较细致的区别了节点相同但结构不同的网络抗毁性的优劣，但是对于节点与跳面节点间的可靠性计算不够严谨，因此饶育萍等[11]考虑实际网络与全连通网络中节点对的最短路径数目之比，提出等效最短路径数的概念，在此基础上提出全网平均等效最短路径的指标，该指标越大说明网络结构越紧凑，抗毁性能越好。但是不论是介数，跳数或基于最短路径的指标在计算上都存在一定复杂度，涉及网络最短路径的抗毁性测度对于规模较大的网络都不宜使用。

2.3 基于拉氏矩阵特征谱的抗毁性测度

随着复杂网络研究的不断深入，越来越多的学者开始从新视角出发探究网络的抗毁性能，在这些新方法中，比较具有代表性的是吴俊等学者提出的秩分布熵和自然连通度指标。在文献[12]中，朱大智等发现基于图论的拉氏矩阵特征谱包含了网络拓扑结构的许多特性，提出了度秩函数的概念并将其用来构造任意度分布的复杂网络，在此基础上又提出了基于度秩函数的秩分布熵；而考虑网络在遭受攻击后替代路径的数目对于网络抗毁性能的影响，利用网络中闭途径的数目度量替代路径的冗余性，提出自然连通度作为新的衡量网络抗毁性能的测度指标。

∑=-=N

r Q r Q r Q E 1)(ln )( （1）

)1l n (1

∑==N i i e N λλ （2） 其中Q E 为秩分布熵，)(r Q 为图的秩分布，秩分布熵越大，网络越不均匀；λ为自然连通度，i λ为拉氏矩阵的特征值。λ越大，网络的抗毁性能越好。秩分布熵从节点度的角度刻画了网络的非均匀性，而自然连通度则从网络中替代路径冗余性的角度刻画了网络的抗毁性能，综合考虑了网络的抗打击和自身恢复两方面的能力。

2.4 基于动态关联的抗毁性测度

上述抗毁性测度忽略了网络中节点或边在失效后对其余节点或边产生的影响，仅为静态失效下衡量网络的抗毁性能。对于动态失效，即在节点或边失效后会带来的级联失效的情况，Motter 等[13]提出了级联失效发生前后最大连通子图的相对大小R 的指标来衡量级联失效的影响，随后吴俊等[14]建立了一个基于“过载函数”的模型，考虑加权网络为每一个节点定义一个“过载函数”()F t ，其中权值即为负载，边的权值为它所连接的节点权值之和。)(t F 所对应的三种状态分别为节点正常，节点过载和节点失效，其中失效为不可逆过程。通过调整节点的负载容量和保护负载较大的点来减少网络的级联失效，并提出了一个平均加权效率来度量级联失效的后果，该方法对于物流保障网络