2020赢在微点理科数学大二轮复习大题4

n⊥D→E， 则n⊥D→C，
即

6y－ 2x＋
2z＝0， 2y＝0，
x＝－y， 解得z＝ 3y，
令 y＝1，则 x＝－1，z
＝ 3，故 n＝(－1,1， 3)。
→ 显然平面 ABE 的一个法向量OD＝(0,0， 2)，
所以
→ cos〈n，OD〉＝
→ n·OD
→
＝
6 5×
＝ 2
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考前顶层设计·数学理·教案
专项微测 第二部分 考卷题型篇Ⅱ (大题•规范练)
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大题4 “17题～19题”＋“二选一” 46分练
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解答题：本大题共 4 小题，共 46 分。第 22 题～23 题为选考题。解答应 写出文字说明、证明过程或演算步骤。
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18．(本小题满分 12 分)如图，四棱锥 E－ABCD 中，四边形 ABCD 是边长 为 2 的菱形，∠DAE＝∠BAE＝45°，∠DAB＝60°。
(1)证明：平面 ADE⊥平面 ABE； (2)当直线 DE 与平面 ABE 所成的角为 30°时，求平面 DCE 与平面 ABE 所 成锐二面角的余弦值。
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an＝2＋(n－1)×1＝n＋1， 即n＋bn1＝2n，所以 bn＝2n(n＋1)， 故b1n＝2nn1＋1＝12n1－n＋1 1， 所以 Sn＝b11＋b12＋b13＋…＋b1n＝12 11－12＋12－13＋13－14＋…＋1n－n＋1 1＝121－n＋1 1， 又n＋1 1>0，所以121－n＋1 1<21，即 Sn<21。
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解 (1)证明：过点 D 作 DO⊥AE，垂足为 O，连接 OB，BD。在 Rt△AOD 中，由∠DAE＝45°，AD＝2，
得 OA＝OD＝ 2。 在△AOB 中，由余弦定理得 OB2＝AO2＋AB2－2AO·ABcos45°＝2，即 OB＝ 2， 同理，BD2＝AD2＋AB2－2AD·ABcos60°， 所以 BD＝2， 所以 OD2＋OB2＝BD2，即 DO⊥OB。 又 OB∩AE＝O，所以 DO⊥平面 ABE， 又 DO⊂平面 ADE，所以平面 ADE⊥平面 ABE。
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证明 (1)因为 anbn＋1＝an＋1(2an＋bn)， 所以bann＋ ＋11＝2ana＋n bn＝abnn＋2，
即bann＋ ＋11－bann＝2，即 cn＋1－cn＝2， 所以数列{cn}是以 2 为公差的等差数列。 (2)由(1)可知，数列{cn}是首项为 c1＝ab11＝2，公差为 2 的等差数列， 故 cn＝2＋(n－1)×2＝2n， 即abnn＝2n，ba22＝4，故 a2＝3， 所以数列{an}的公差为 a2－a1＝1，
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解
(1)设 M(x，y)，则直线 AM 的斜率 kAM＝x＋y
， 5
直线 BM 的斜率 kBM＝x－y
， 5
依题意得 kAM·kBM＝x＋y
y 5·x－
5＝－51，
整理得x52＋y2＝1，
所以点 M 的轨迹 Γ 的方程为x52＋y2＝1(y≠0)。
17．(本小题满分 12 分)已知各项均不为零的两个数列{an}，{bn}满足： anbn＋1＝an＋1(2an＋bn)，n∈N*。
(1)设 cn＝bann，求证：数列{cn}是等差数列； (2)已知 b1＝4，b2＝12，数列{an}是首项为 2 的等差数列，设数列b1n的前 n 项和为 Sn，求证：Sn<21。
515，
|n||OD|
即平面 DCE 与平面 ABE 所成锐二面角的余弦值为 515。
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19．(本小题满分 12 分)已知 A(－ 5，0)，B( 5，0)，直线 AM，BM 相交 于点 M，且它们的斜率之积是－51。
(1)求点 M 的轨迹 Γ 的方程； (2)过点 A 的直线与轨迹 Γ 交于点 Q，与 y 轴交于点 C，过 T(1,0)作 CT 的 垂线交 y 轴于点 D，求证：AD∥BQ。
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(2)证法一：设直线 AQ 的方程为 y＝k(x＋ 5)，
联立xy2＝＋k5xy＋2＝55，，
消去 y 整理得(1＋5k2)x2＋10 5k2x＋25k2－5＝0， 又 A(－ 5，0)，所以－ 5xQ＝215＋k25－k25，
即 xQ＝ 51＋1－5k52k2，则 yQ＝12＋55kk2，
则 A(0，－ 2，0)，B( 2，0,0)，E(0， 6，0)，D(0,0， 2)，
→
→
所以AB＝( 2， 2，0)，DE＝(0， 6，－ 2)，
由于 AB∥DC 且 AB＝DC，
→→ 所以DC＝AB＝( 2， 2，0)。
设平面 DCE 的法向量 n＝(x，y，z)，
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(2)由(1)知，∠DEA 为直线 DE 与底面 ABE 所成的角，
则∠DEA＝30°，所以 OE＝ 6。
以 O 为原点，OB，OE，OD 所在直线为 x，y，z 轴建立如图所示的空间直
角坐标系 O－xyz，
所以 kAD＝kBQ，所以 AD∥BQ。 证法二：设 Q(x0，y0)其中x520＋y20＝1，
易得 C(0， 5k)，直线 CT 的斜率 kCT＝－ 5k，
又 CT⊥TD，则 kTD＝
1， 5k
所以直线 TD 的方程为 y＝ 15k(x－1)，
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令 x＝0，得 D0，－

15k，
所以直线 AD 的斜率 kAD＝－51k，
又直线 BQ 的斜率 kBQ＝xyQQ－－05＝－51k，