2012年上海高考数学文科试卷带详解

2012上海高考数学试题（文科）

填空题（本大题共有14题，满分56分）

1．计算：

3i

1i

-+= （i 为虚数单位）． 【测量目标】复数的运算．

【考查方式】给出算式，直接求出结果． 【参考答案】12i - 【试题解析】

3i (3i)(1i)

1i (1i)(1i)

---=

++-=12i -． 2．若集合}012|{>-=x x A ，}1|{<=x x B ，则A B = ． 【测量目标】集合的含义与基本运算．

【考查方式】已知两个集合，根据集合的交集运算求出结果． 【参考答案】 1|

12x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭

【试题解析】由集合A 可得：1

2

x >

，（步骤1） 由集合B 可得：11x -<<，（步骤2） 所以，A B =1|

12x x ⎧

⎫

<<⎨⎬⎩⎭

．

（步骤3） 3．函数x

x x f cos 12

sin )(-=的最小正周期是 ．

【测量目标】行列式的基本运算、三角函数的性质． 【考查方式】根据行列式的运算，求函数的最小正周期． 【参考答案】π

【试题解析】依题意得：1()sin cos 2sin 222f x x x x =+=

+，2π

π2

T ==． 4．若()2,1d =

是直线l 的一个方向向量，则l 的倾斜角的大小为 （结果用反三角函数

值表示）．

【测量目标】平面向量的夹角问题．

【考查方式】给出直线的方向向量根据直线的倾斜角与斜率的关系，求出倾斜角． 【参考答案】1

arctan

2

【试题解析】设直线的倾斜角为α，则2

1arctan ,21tan ==

αα． 5．一个高为2的圆柱，底面周长为2π，该圆柱的表面积为 ． 【测量目标】圆柱的表面积公式．

【考查方式】给出圆柱的高和底面周长，根据圆柱的表面积公式求出表面积． 【参考答案】6π

【试题解析】根据该圆柱的底面周长得底面圆的半径为1=r ，所以该圆柱的表面积为：

22π2π4π2π6πS rl r =+=+=圆柱表．

6．方程1

42

30x

x +--=的解是 ．

【测量目标】指数方程的求解．

【考查方式】给出指数方程，利用换元法，求出方程的解． 【参考答案】3log 2 【试题解析】根据方程032

41

=--+x x

，化简得2(2)2230x x --= ，

令()20x

t t =>，则原方程可化为0322=--t t ，解得 3=t 或1t =-（舍去），即

3log ,322==x x ．

（步骤2） 所以原方程的解为3log 2．（步骤3）

7．有一列正方体，棱长组成以1为首项、1

2

为公比的等比数列，体积分别记为12,,...,,...n V V V ，则12lim(...)n n V V V →∞

+++= ．

【测量目标】等比数列的通项公式和前n 项的和、函数的极限．

【考查方式】给出棱长为等比数列的正方体，根据等比数列通项公式求解无穷递缩等比数列的极限． 【参考答案】

7

8

【试题解析】由正方体的棱长组成以1为首项，

2

1

为公比的等比数列，可知它们的体积则组成了一个以1为首项，

8

1

为公比的等比数列，因此，7

88

1

11)(lim 21=

-=

+++∞→n n V V V ．

8．在6

1x x ⎛

⎫- ⎪⎝

⎭的二项式展开式中，常数项等于 ．

【测量目标】二项式定理．

【考查方式】根据二项式定理，求其常数项． 【参考答案】20-

【试题解析】根据所给二项式的构成，构成的常数项只有一项，就是

3

33461C 20T x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭

． 9．已知()y f x =是奇函数，若()()2g x f x =+且(1)1g =，则(1)g -= ． 【测量目标】奇函数的性质．

【考查方式】结合奇函数的特点，求出复数函数在某点的值． 【参考答案】3

【试题解析】因为函数)(x f y =为奇函数，所以有)()(x f x f -=-，即(1)(1)2g f =+，（步骤1）

(1)1,(1)1g f ==-又所以，，

（步骤2） 3212)1()1(,1)1()1(=+=+-=-=-=-f g f f ．（步骤3）

10．满足约束条件22x y +≤的目标函数z y x =-的最小值是 ． 【测量目标】二元线性规划求最值．

【考查方式】考查了线性规划问题，根据约束条件和函数得到不等式组表示画出可行域并探求最优解． 【参考答案】2-

【试题解析】根据题意得到0022x y x y ⎧⎪⎨⎪+⎩≥≥≤或0022x y x y ⎧⎪⎨⎪-⎩≥≤≤或0022x y x y ⎧⎪⎨⎪-+⎩

≤≥≤或0

022

x y x y ⎧⎪

⎨⎪+-⎩≤≤≥，（步

骤1）

其可行域为平行四边形ABCD 区域，（包括边界）目标函数可以化成z x y +=，（步骤2）

z 的最小值就是该直线在y 轴上截距的最小值，当该直线过点)0,2(A 时，z 有最小值，