网格中的勾股定理

网格中的勾股定理

正方形网格中的每一个角都是直角，所以在正方形网格中的计算都可以归结为求任意两个格点之间的长度问题，一般情况下都是设每一个小正方形的边长为1，然后应用勾股定理来进行计算。

一、面积问题

例1、如图1所示，在一个有4×4个小正方形组成的正方形网格中，阴影部分的面积与正方形ABCD的面积比是（）

A、3：4

B、5：8

C、9：16

D、1：2

分析：可以设每一个小正方形的边长为1，则正方形ABCD的面积就是4×4=16，小正方形的边长应该是直角三角形DEF的斜边，另外两条直角边长度分别是1和3，根据勾股定

理可以求出EF=10，所以小正方形的面积就是2)

10

(=10。所以阴影部分的面积与正方

形ABCD的面积比是10：16=5：8。

解：选择B。

二、长度问题

例2、如图2所示，在△ABC中，三边a、b、c的大小关系是（）

A、a＜b＜c

B、c＜a＜b

C、c＜b＜a

D、b＜a＜c

分析：两个正数比较大小，可以按照下面的方法进行：如果a＞0，b＞0，并且 a＞b，那么

a＞b。可以设每一个小正方形的边长为1，在直角三角形BDC中，根据勾股定理可以求出斜边a2=10，通力可以求出b2=5，c2=13，因为b2＜a2＜c2，所以b＜a＜c。

解：选择D。

三、三角形形状问题

例3、如图3所示为一个6×6的网格，在△ABC、△A’B’C’、△A’’B’’C’’三个三角形中，直角三角形有（）

A、3个

B、2个

C、1个 D以上都不对

分析：要想判断是否为直角三角形，本题中可以根据勾股定理的逆定理来进行判断，前提条件是先求出三角形的三边的平方。同样可以设每一个小正方形的边长为1，在直角三角形ABC中，AB2=10，BC2=5，CA2=5，因为，BC2＋CA2=AB2，所以该三角形是直角三角形。同理可以求出，A’B’2=10，B’C’2=5，C’A’2=13，因为A’B’2＋B’C’2C’A’2，所以该三角形不是直角三角形，同理可以判断△A’’B’’C’’是直角三角形。

解：选择B。

练习：如图4所示，在网格中，小正方形的边长为a，则图中是直角三角形的是。

勾股定理与方案设计

国家电力总工司为了改善农村用电电费过高的现状，目前，正在全国各地农村进行电网改造，莲花村六组有四个村庄A、B、C、D正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图中的实线部分，请你帮助计

算一下，哪种架设方案最省电线．（以下数据可供参考：2＝1．414，3

5＝2．236）

＝1．732，

图1 图2 图3 图4

答案：解：不妨设正方形的边长为1，则图1、图2中的总线路长分别为

AD+AB+BC＝3，AB+BC+CD＝3 图3中，在Rt△ABC中

AC

同理BD

图3

中的路线长为 2.828.

图4中，延长EF交BC于H，则FH⊥BC，BH＝CH

由

1

30,,

2

FBH BH

及勾股定理得：

EA ED FB FC FH

　EF＝1－2FH＝1

．

此图中总线路的长为4EA+EF

＝1 2.732.

3＞2．828＞2．732，

图4的连接线路最短，即图4的架设方案最省电线．