计算机2010组合数学—第二章鸽巢原理加强形式及Ramsey定理.

2018年8月14日
第二章 鸽巢原理和Ramsey定理
定理2.2.1的推论
推论2.2.1 若 n(r－1) + 1个物品放入n个盒 子。则至少有一个盒子里含有r个或者更多 的物品。
证明 在定理2.2.1中取q1=q2=…=qn=r即可。
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§2.2 鸽巢原理的加强形式
证明：假设长为n2+1的实数序列中没有长度为 n+1的递增子序列，下面证明其必有一长度为 n+1的递减子序列。 令mk表示从ak开始的最长递增子序列的长 度，因为实数序列中没有长度为n+1的递增子 序列，所以有：
1 mk n(k 1,2,, n 2 1).
根据推论2.2.3，这相当于把n2+1个物体
v2
v3
v4
设K6的顶点集为{v1 , v2 , · · ·, v6 }，dr(v)表 示与顶点 v 关联的红色边的条数，db(v)表 示与 v 关联的蓝色边的条数．在K6 中，有 dr(v)＋ db(v)＝５，由鸽巢原理可知，至少 有３条边同色． 现将证明过程用判断树表示如下：
N db(v1)≥3
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证明 如图2.2.1所示，使大小两盘中心重合，固
定大盘，转动小盘，则有200个不同位置使小 盘上的每个小扇形含在大盘上的小扇形中，由 于大盘上的200个小扇形中有100个涂成黑色 ，100个涂成白色，所以小盘上的每个小扇形 无论涂成黑色或白色，在200个可能的重合位 置上恰好有100次与大盘上的小扇形同色，因 而小盘上的200个小扇形在200个重合位置上 共同色100×200=20000次，平均每个位置同 色20000÷20=100次。由推论2.2.3知，存在 着某个位置，使同色的小扇形数大于等于100 个。
例2.2.2 一家汽车租赁公司共有105辆汽车，共有 座位600个，证明至少有一辆6座以上的汽车？ 证明：根据推论2.2.3，
600 6 105
所以至少有一辆6座以上的汽车。
例2.2.3 设有大小两只圆盘，每个都划分成大小 相等的200个小扇形，在大盘上任选100个小扇形 涂成黑色，其余的100个小扇形涂成白色，而将 小盘上的200个小扇形任意涂成黑色或白色。现 将大小两只圆盘的中心重合，转动小盘使小盘上 的每个小扇形含在大盘上小扇形之内。证明：有 一个位置使小盘上至少有100个小扇形同大盘上 相应的小扇形同色。
v2 v3 (a)
v4
v2 v3 (b)
v4
（2）若这三条边均为蓝色，同理可证.
例2.3.2 用红、蓝两色涂色K9的边，证明或者存 在一个红色的三角形或蓝色的完全四边形。
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证 先证明事实：对于 的任一种图色方案， 必存在一个顶点V，它与4条红色的边连接， 或者与6条蓝色的边连接。 反证法，假设K9 的任一顶点都至多和3条 红色的边连接，并且至多与5条蓝色的边 连接。下面计算K9总的边数： 9 5 9 3 红色的边 13 ；蓝色的边 22 ；
定理2.2.1 (鸽巢原理的加强形式)
设q1 , q2 ,..., qn都是正整数， 若把q1 q2 ... qn n 1个物体放入n个盒子里， 则 或者第一个盒子里至少含有q1个物体， 或者第二个盒子里至少含有q2个物体， ....., 或者第n个盒子里至少含有qn 个物体。
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2 2
但是 总的边数应该是
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98 36 2
，矛盾。
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N
dr(v1)≥4?
Y
db(v1)≥6
设(v1v2) (v1v3) (v1v4)(v1v5)是4红边 K4(v2v3v4v5)是蓝K4 ?
N Y
设(v1v2) · · ·(v1v7)是6条蓝边 K6(v2· · · v7)中有红△ ?
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推论2.2.2 若设有n个正整数m1 , m2 , … , mn满足下面的不等式 (m1 + … +mn)/n > r－1, 则 m1,…, mn中至少有一个数≥ r
证明 由上面的不等式得 m1 + … +mn≥ (r－1)n+1， 由推论2.2.1， 存在mi，使得mi≥r。
m n
m 表示取天棚运算是大于等于 n
m n
的最小正整数
证明：根据
m m m 1 n 的定义有： n n
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m 反证法。假定每个盒子里的物体都小于 个。 n
组合数学定义 研究离散结构的存在、计数、构造 和优化等问题的一门学科。
定理2.1.1 鸽巢原理简单形式 若把n+1个物体放入n个盒子中， 则至少有一个盒子中有2个或更多的物体
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思考？ 把多少个物体放到 n 个盒子中，能保证至 少存在一个盒子中包含 r 个以上物体？？
dr(v)≥ R (p-1 , q )?
N
db(v)≥ R ( p , q-1 )
Y
与 v 以红边相连的R ( p -1 , q )个 顶点的完全图中有一个红Kp－1 ห้องสมุดไป่ตู้ 红Kp或蓝Kq
N Y
有蓝Kq
V与这a－1个点构成红Kp
解 根据定推论2.2.1，若将3×(10-1)+1=28个物体 放入3个盒子中，则至少有一个盒子中有10个物 体。显然物体就是三种水果，而盒子就是三类水 果，结论是保证已经取出10个相同种类的水果等 价于或者取出10个苹果或者取出10个橘子或者取 出10个香蕉。因此答案是至少取28个水果才能保 证已经取出10个相同种类的水果。
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例2.2.4 用鸽巢原理的加强形式证明
证明：任意n2+1 个实数 a1 , a2 ,..., an 2 1 组成的序列中，必有一个长度为n+1的递增 子序列，或必有一个长度为n+1的递减子序 列。
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j j 1
j 1
j
j
j 1
j
j 1
§2.3 Ramsey定理
任何一个6人聚会，必有3个人相互认识或 者相互不认识 • 其思想可以概括为“在任何一个足够大的 结构中必定包含一个给定大小的规则子结构 ”。
例2.3.1 设K6是6个顶点的完全图，用红、蓝两 色涂色K6的边，则存在一个红色三角形，或 存在一个蓝色三角形。 v1
m1 , m2 ,, mn 2 1
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放入n个盒子1，2，…，n中，必有一个盒子i里 面至少有
n 2 1 1 n n 1 n n
个物体，即存在n+1
个mk取值相同，有 k1 k 2 k n1 1 i n,
另外一个平均原理： 设有n个正整数m1 , m2 , … , mn满足下面的不等式 (m1 + … +mn)/n < r+1, 则 m1,…, mn中至少有一个数<r+1
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推论2.2.3 设m和n都是正整数且m>n，若将 m个物体放入n个盒子中，则至少有一个盒 m 子中有大于等于 n 个物体
§2鸽巢原理的加强形式
定理2.2.1 的证明 证明:(反证法) 对于i＝1，2，…，n，假设第i个盒子里至 多含有qi-1个物品，则n个盒子里物品数的 总和不超过 q1+q2+…+qn – n 个 与已知条件(q1+q2+…+qn – n+1)矛盾。
与简单形式的关系
上节的鸽巢原理的简单形式是这一原理的特 殊情况，即q1 = q2 = … = qn= 2，有 q1 + q2 +… +qn－n + 1 = n + 1
N Y
设△v2v3v4是蓝△ K4(v2v3v4v5)是蓝K4
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√
设(v2v3)是红边
△v1v2v3是红△
√
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Ramsey 定理简单形式 定理 2.3.1 设p，q是正整数，p，q≥2，则存 在最小的正整数R(p,q)，使得当n≥R(p,q)时，用 红、蓝两色涂色Kn的边，或者存在一个蓝色的 完全p边形Kp，或者存在一个红色的完全q边形 Kq。
称R(p,q)为Ramsey数；
Ramsey定理断定Ramsey数的存在性. Ramsey数的确定是一个很困难的问题. r=1, 是鸽巢原理，

R(q1,q2, …, qk ;1) = q1+q2+…+qk−k+1 结果：9个Ramsey数的精确值，部分上界、下 界
r=2, k=2, 是简单的Ramsey定理.

q p 3 4 5 6 7 8 9 10
3 6
4 9 18
5 14 25 43 49
6 18 35 41 58 87 102 165
7 23 49 61 80 143 111 298 205 540
8 28 56 84 101 216 127 495 216 1031 282 1870
9 36 69 115 121 316 169 780 232 1713 317 3583 565 6588
dr(v1)≥3?
Y
设(v1v2) (v1v3) (v1v4)为红边
设(v1v2) (v1v3) (v1v4)为蓝边 △v2v3v4是蓝△ ? Y N △v2v3v4是红△ ? 设( v2v3 )是红边 √ N Y △v1v2v3是红△ 设( v2v3 )是蓝边 √ △v1v2v3是蓝△
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使得
mk1 mk2 mkn 1 i.
（2.2.1）
对应于这些下标的实数序列必满足
ak1 ak2 akn1 ,
（2.2.2）
它们构成一长为n+1的递减序列。 否则，若有某个j（ 1 j n ）使得 ak a k ， 那么由从 a k 开始的最长递增子序列加上 a k ， 就得到一个从 a k 开始的长度为 mk 1 的递增 子序列。由 mk j 的定义知 mk mk 1, 这与（2.2.1）式矛盾。因此（2.2.2）式成立。 同理可证若没有长度为n+1的递减子序列，则 必有一长度为n+1的递增子序列。因此，结论 成立。
证明：设K6的顶点为v1,v2,v3,v4,v5,v6.对于任意 一种涂色方案，根据鸽巢原理加强形式的推 论3， 与v1关联的5条边至少有
5 条同色边 3 2
不妨设这三条边为{v1 ,v2},{v1 ,v3},{v1 ,v4}
（1）若这三条边均为红色
v1
v2
v4
v3
(a) 当v2 ,v3 ,v4 之间有一条红边，如{v2 ,v3} (b) v2 ,v3 ,v4 之间没有红边， v1 v1
，则至多是 ≤n (
m 1 n
m 1 n m n
个，那么n个盒子里的物体总数 =m，与m个物体矛盾。
)<n•
因此原结论成立。
例2.2.1 一个袋子里装了10个苹果，11个橘 子，12个香蕉，至少取出多少个水果才能 保证已经取出10个相同种类的水果
10 40 43 92 149 141 442 178 1171 2826
6090
580 12677 798 23556
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第二章 鸽巢原理和Ramsey定理
证明思路：归纳法 归纳假设 R(p, 2)=p, R(2, q)=q, 归纳步骤 R(p-1, q)，R(q-1, p)存在 ⇒ R(p,q) ≤ R(p-1, q) + R(q-1, p) 对R ( p -1 , q ) ＋ R ( p , q-1 )个顶点 的完全图红蓝２着色．任取其中一点 v， 有 dr(v) + db(v) = R (p-1 , q )＋R ( p , q-1 ) -1 从而可得判断树如下．