算两次在组合数学中的应用

５ ． 给定整数 Ⅳ≥ ２ ． Ⅳ （ Ｎ＋１ ） 名身高两 两 不 同的足球 队员站成 一 排． 球 队教 练希 望从
这 些球 员 中移走 Ⅳ（ Ⅳ一 １ ） 名， 使得这 一排上 剩 下的 ２ Ｎ名球员 满足如下 Ⅳ个条件 ：
６ ． 对 于一个有序整数 对 （ ， Ｙ ） ， 若 与 Ｙ
元组是 一种常见 的方式．
事件 Ａ ＝｛ 用除第 ｉ 种颜色外 的 ｎ—１ 种
颜色给 ｋ ＋ ｎ 个数 染色 ｝ ，
其中， ｉ ＝１ ， ２， …， ｎ ．
例２ 在 ｍ× 的方格表 中， 每一 格 染 红、 白两色之一． 已知对 任意 的 、 ， 在第 ｉ 行
由容斥 原理 ， 知式① 右边 即为
（ 本讲适合 高 中）
１ ｘ２ ×… ×
Ｓ
“ 算 两次” 又称 富 比尼原 理 ， 实质是选 择
一
个“ 适 当的量 ” 从 两个不 同的角度去考 虑 ，
＝
∑（ wenku.baidu.com １ ）
＝
１
广 ． ｎ
以此建立等 量关 系或 确定 不等 关 系． 运用 算
两次处理 问题 ， 选择一个适 当的量是关键． 在
例 １ 设 ｍ、 ∈ Ｚ＋ ， ｍ≥ｎ ， Ｓ为所有 满 足口 １ ＋ ０ ２ ＋… ＋ 口 ＝ ｍ 的正整数 ０ １ ， ０ ２ ， …， 确定的有序 ｎ元 数组 （ ａ ， ０ ： ， …， ｏ ） 构 成 的 集合． 证明 ：
收稿 日期 ： ２ ０ １ ７— ０ ４—０ ５
（ ２ ） 他们 当 中身高第 三 与第 四 的两 名球
员之 间没有别 的球员 ；
使得对于点集 Ｓ中的每一个 （ ， Ｙ ） ， 均有
∑
＝０
Ｙ＝ １ ．
（ 美国 供题 ）
（ 姚 一隽 提供 ）
４
中 等 数 学
ｂ ｌ＋ｂ ２＋ … ＋ｂ ＝ｋ
（ １ ≤ ≤凡 ） 个数 ， 所以， 这些数 共有 １ ｔ ×２ ｂ 。 ×
２ ０ １ ７年第 ８ 期
３
算 两 次 在 组 合 数 学 中 的 应 用
刘 媛 媛
中图分 类号 ： Ｏ １ ５ ７ ． ３ 文献标识码 ： Ａ
石 泽 晖
文章编号 ： １ ０ ０ ５— ６ ４ １ ６ （ ２ ０ １ ７ ） ０ ８— ０ ０ ０ ３— ０ ７
（ 吉林大学 附属 中学实验学校 ， １ ３ ０ ０ ２ １ ）
ｚ 交于两个不同点． 记圆 与 Ｚ 的交点接 近
的点为 Ａ， 直线 Ａ ． ， 与 圆 厂 交 于另 一点 证 明： 直线 Ｋ Ｔ与圆 ， 相切． （ 卢森堡 供题 ）
（ Ⅳ ） 他们 当中身高最矮 的两 名球员之 间
没有别 的球员．
证明 ： 这总是可以做到的． （ 俄 罗斯 供题 ）
将 ｋ ＋ｎ个 数 排成 一 排 ， 依次标号为 １ ，
２， … ， ｋ＋ｎ ．
【 分析 】 题 中的已知条件是 以不等关系
呈现的 ， 而所证结论 是一个等量关 系． 利用 不
对于 １ ≤ ≤ｎ ， 记Ｃ 是染第 ｉ 个 出现 的颜
色 的最 小 的数 ， 设
的最大公 约数 为 １ ， 则称数 对 （ ， Ｙ ） 对应 的点 为“ 本原格点 ” ． 给定一 个有 限 的本 原格 点集 Ｊ ｓ ． 证明： 存在 正整 数 ｎ和整 数 口 。 ， ０ 一 ， 口 ，
（ １ ） 他们 当 中身 高最高 的两名 球员 之 间 没有别 的球员 ；
…× 种染 法．
的非 负整数 ｂ ， ｂ ： ， …， ｂ 确定 的有 序 ｎ元数 组（ ｂ ， ｂ ： ， …， ｂ ） 构成 的集合． 则只需证 明 ：
将满 足（ １ ） 、 （ ２ ） 、 （ ３ ） 的所 有 染 法数 求
（ ｎ ！ ） ∑１ × ２ ： × ． ． ． × ｎ
（ ２ ０ １ ０ ， 美 国国家 队选拔考试 ）
组合数学 中 ， 算两次常用于证 明组合恒 等式 、 求解最值 问题 、 证 明不等关系等．
１ 构造模型证 明组合恒等式
【 分析】 证明组合恒等式有两个思路． 一 是利用组 合数 、 排列数 的代数性质 ， 通过恒 等
变形直接证 明恒 等式 ， 更偏 向于代数思维 ； 二 是构造组合模 型 ， 具体作法 如下 ： 构造一个计
数模 型 ， 并对其用两种不 同的方 法进行计数 ， 所得结果恰 为恒 等式 的两 边 ， 通常 通过 恒等
式 的某一边较容易发现所 对应 的组合模 型．
例１ 中恒等式 的右边 的代数结构 同容 斥
原理．
证明
设 ｍ＝ ｋ ＋ ｎ ， Ｔ为所有满 足
的劣弧 上一点 ， 使得△
的外接 圆 与
Ｉ Ａ ｌ ＮＡ ２ ｎ… ｎＡ Ｉ ．
因此 ， 满 足条 件 的染 色方 法 数 即为式 ①
的右边．
与第 列 的 ｍ＋ 一１ 个 格 中， 与格 （ ｉ ， ） （ 第ｉ 行第 ． ｆ 列交 叉 的格 ） 同色 的方 格数 小 于 另 一
种 颜色 的方格数． 证明 ： ｍ ｎ为 ４的倍数．
ｒ
＝
和， 可得满 足条 件的染色方法数 为
∑（ 一 １ ） 广 ．
①
（ ｎ ！ ） ∑（ １ － × ２ ｚ × …× ｎ ） ，
这就是式① 的左边．
２ 构造 “ ｎ元组＂ 求解 组合 问题
证 明上式 的两边均 为满足下述条 件 的不 同染 色方法 的数 目： 用 种颜 色给 ｋ ＋ 个数
染色， 每种颜色至少使 用一次 ， 每个数恰 被染
一
种 颜色．
有些组 合 问题 ， 题 干 中明显 地 给 出 了某
个量 的大小关 系． 这类 问题人手 较易 ， 只需 直
对于 １ ≤￡ ≤ｎ ， 用ｔ 种 颜色 染 ｋ ＋ ｎ个数 ， 有ｔ ｋ ＋ ｎ 种染法． 设
接考 虑此量 ， 利用题干信 息 ， 再结合题本 身结 构， 从 这两方面对该 量进 行计算 即可． 构造 ｎ