常系数二阶微分方程的齐次通解

e St (S 2 + 2S + 2 0S ) = 0
由此得到决定常数 S 的特征方程： S 2 + 2S + 2 0 =0 该一元二次代数方程的根为：
S = - ± 2 - 2 0
因常数项的值不同，解的形式不同： 1.自由振荡情况(无阻尼情况)（ = 0 ） 此时，S 是一对共轭虚数： 齐次通解为： 变为常用的三角函数式
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S1 = - + jd
S 2 = - - jd
y(t ) = Ke -t sin(dt + )
2 这是一个衰减振荡。其中， d = 2 0 - （正实数）是衰减振荡角频率。
振幅按指数函数 e - t 衰减，故称为衰减系数。 K 和是由初始条件决定的常数。 这种情况下，系统开始会有正弦振荡，但随时间而衰减，过一段时间后就消失。 3.过阻尼情况（ > 0 ） 此时，S 是两个负实数： S1 = - + 2 - 2 0
S 2 = - - 2 - 2 0
齐次通解为：
y(t ) = K 1e
(- + 2 -2 0 )t
+ K 2e
(-- 2 -2 0 )t
K1 和2是由初始条件决定的常数。 系统若受冲击，会无振荡地衰减。 在文氏电桥正弦波发生器电路中，这是 A<1 的情况。 4.临界阻尼情况（ = 0 ） 此时，S 是一对重根（相等的负实数） ： 现在只得到方程的一个特解， y1 = e -t 设方程的通解为
t
是一个随时间增大的
因子，这表明系统如有振荡，则是增幅振荡，如无振荡，则是发散的，当然又与、 0 之 间的相对大小有关，这里不作详细分析。 在许多情况下，物理系统可以用常系数二阶微分方程描述。对具体的物理系统，自变量 和函数代表各自的物理量，数学求解时，将方程整理成与一般形式对应的方程，确定与系数 对应的部分，套到上述讨论的情形中，推导出与具体对象相关的有物理意义的结论。 对于非齐次的二阶微分方程，求解起来是不容易的，并不总是能得到公式解的。实际上 常做“数值解” ，计算机当然是大派用场了。电路仿真平台实际上就是用计算机对电路做数 值解。
S1 = j0
S 2 = -j0
y(t ) = K1e j0t + K 2e -j0t
y(t ) = K sin(0t + )
这是一个等幅正弦振荡，0 是自由振荡角频率或谐振角频率。K 和是由初始条件决 定的常数。 2.欠阻尼情况（ 0 < < 0 ） 此时，S 是一对共轭复数： 齐次通解为：
附录 2
常系数二阶齐次微分方程
常系数二阶微分方程的齐次通解
d 2y dy + 2 0y = 0 2 + 2 dt dt
设其中、0 都是正实数。 要使二阶微分方程有确定的解，必须知道两个初始条件：初始值 y(0)和一阶导数的初 始值
dy dt
。
t =0
这里只讨论齐次通解在一些典型的系数值下的特点， 不求出解中的待定常数。 目的在于 避免过多的数学式子，突出对有普遍意义的特征的认识。 尝试 y = e St （S 为实的或复的常数）是否能为方程的解。 代入方程可得恒等式：
S1 = S 2 = -
y(t ) = y1(t )u(t ) = u(t )e -t
d 2u =0 dt 2
u(t ) = K 1 + K 2t
代入原方程，得到：
积分两次，得： 最后得到通解：
y(t ) = (K 1 + K 2t )e -t
K1 和2是由初始条件决定的常数。 系统若受冲击，仍然不会振荡，会无振荡地衰减。但是临界状态。 5.<0 的情况 上面的讨论，假定了>=0,系统可能振荡或衰减。 如果<0，观察上面解的指数函数部分，发现指数成了正值，e