解斜三角形应用举例(一)课件 新人教a版必修5
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解 : 设舰艇收到信号后x ( h)在B处靠垅渔船, 则AB 21 x , BC 9 x , ACB 45 (180 105 ) 120 .
北
C
由余弦定理，得 方程的思想 2 2 2 AB AC BC 2 AC BC cos ACB 即(21 x )2 102 (9 x )2 2 10 9 x cos120 北 . 化简,得36 x 2 9 x 10 0, 45 2 解得x ( h) 40(min)(负值舍去). 3 A
DBC 1800 300 1050 450 D
45° 60° C
AB 2 DA2 DB2 2 DA DB cosADB
3 2 3 3 2 3 3 3 3 0 ( ) ( ) 2 cos30 2 4 2 4 8 6 AB 4
练习1.自动卸货汽车的车厢采用液压机构.设计时需要计算
2 2 0
BC 1.89( m )
C
答：顶杆BC约长1.89m
关键：应用余弦定理 步骤：
A 60°
6°20′
1. 审题（明确已知、未知及术语）
2. 画图
B
3. 归结（在一个或几个三角形内）
例3 某渔轮在航行中不幸遇险,发出呼救信号,我海军舰 艇在A处获悉,测出该渔船在方位角为45,距离为10n mile 的C处,并测得渔船正沿方位角105的方向,以9n mile / h的速 度向小岛靠拢,我海军舰艇立即以21n mile / h的速度前去营 救,求舰艇的航向和靠近渔船所用的时间(精确到0.1,时间 精确到1min).
油泵顶杠BC的长度.已知车厢的最大仰角为60°，油泵顶点 B与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹 角为6°20′，AC长为1.4m，计算BC长. C
C
A
60°
6°20′
B
A
60°
6°20′
Biblioteka Baidu
B
解：由余弦定理得
BC AB AC 2 AB AC cos A
2 2 2
1.95 1.40 2 1.95 1.40 cos66 20 3.571
A
C
5
三角形的形状判断
在ABC中，根据下列条件判断三角形 的形状。
（1）已知acosB=bcosA
（2）已知cosA:cosB=b:a （3）已知三边长为：x2+x+1 , x2-1 , 2x+1 （4）已知lg sinB+lg sinC=2lg cos(A/2)
几个概念：
• 仰角：目标视线在水平线上方的叫仰角; • 俯角：目标视线在水平线下方的叫俯角； • 方位角：北方向线顺时针方向到目标方向 线的夹角。
0
ABC 中，
10
B
BAC 30 , AB 10, 5 则BC= ，AC= 5 3
300
A 图1 10 300 C B
2、如图2，已知在 ABC 中，ABC
300 图2
BAC 30 , AB 10,
0
则
AC
100 ABC 外接圆的面积是 3
10 3 3 ，点B到边AC的距离是
N
方位角 60度
目标方向线
视 线
仰角
水平线
俯角
视 线
实际问题
因为某种实际需要， 需测量左图中A、B二点间 的距离。如何测量？ 实际测量中，测量人 员在如图所示位置取点C， 用皮尺测得AC=8米， BC=5米，∠ACB= 。由 此测量人员可以得到 AB的 80 长度。
0
A
B
问：怎么样算AB的长度？
C
D
C
练习 如 图 ， 为 了 测 量 河 对 A 岸 、 B两 点 间 A 3 的距离，在河的这边定 测C D 千米， 2 ADB C DB 30，AC D 60， B
AC B 45， 求AB两 点 的 距 离 .
分析： 1. 在△ABD中求AB
D 30° 30°
解斜三角形 应用举例 （一）
一、复习
正弦定理
a b c 2R sin A sin B sin C
b a sin A sin B c a , sin A sin C b c sin B sin C
C b a c B
A
正弦定理应用的两种类型：
2 2 2
b c a cos A 2bc a2 c2 b2 cosB 2ac 2 2 2 a b c cosC 2ab
2 2
2
利用余弦定理可解决一下两类解三角形问题 （1）知三边求三角
C b a c B
（2）知两边和它们的夹角，求第三边，
进而可求其它的角
A
练习
1、如图1，已知在 Rt
1）知两角和任一边，求其它的两边和一角
2）知两边和其中一边的对角，求另一边和角
C b a c
三角形的一些基本性质
A
B
1）在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180° 2）大边对大角，即 a>b
∠A>∠B
二、余弦定理
a 2 b 2 c 2 2bc cos A b 2 a 2 c 2 2ac cosB c a b 2ab cosC
45° 60°
C
2. 在△ABC中求AB
6 AB 4
解：在 ABC 中，ADC ACD 600
A
B
ACD
AD=CD=
3 2
是等边三角形，则 ，
3 30° 30° 2
3 0 s i n 105 CD s i nBCD 3 3 2 BD 0 s i nDBC s i n 45 4
分析转化
A
8
实际问题 数学化:
80
0
c
5
B
在△ABC中，已知边AC，BC及∠C ,求AB.
例1、上海的金茂大厦是世界上超高的标志性筑， 有一位测量爱好者在与金茂大厦底部同一水平线上 的B处测得金茂大厦顶部A的仰角15.66º ，再向金茂 大厦前进500米到C处后，测得金茂大厦顶部A的仰 角为22.81º ，他能否算出金茂大厦的高度呢？
A
h
D
22.81º
C
15.66º 500m
B
例2
求树高BC 和河宽CD. B
解：∠ABD = 17°, ° BD = ADsin14 = 29.8, sin17°
BC = BDsin31°=15.3, DC = BDcos31°=25.5. 答：树高15.3m, 河宽25.5m.
A
140
36cm
310
北
C
由余弦定理，得 方程的思想 2 2 2 AB AC BC 2 AC BC cos ACB 即(21 x )2 102 (9 x )2 2 10 9 x cos120 北 . 化简,得36 x 2 9 x 10 0, 45 2 解得x ( h) 40(min)(负值舍去). 3 A
DBC 1800 300 1050 450 D
45° 60° C
AB 2 DA2 DB2 2 DA DB cosADB
3 2 3 3 2 3 3 3 3 0 ( ) ( ) 2 cos30 2 4 2 4 8 6 AB 4
练习1.自动卸货汽车的车厢采用液压机构.设计时需要计算
2 2 0
BC 1.89( m )
C
答：顶杆BC约长1.89m
关键：应用余弦定理 步骤：
A 60°
6°20′
1. 审题（明确已知、未知及术语）
2. 画图
B
3. 归结（在一个或几个三角形内）
例3 某渔轮在航行中不幸遇险,发出呼救信号,我海军舰 艇在A处获悉,测出该渔船在方位角为45,距离为10n mile 的C处,并测得渔船正沿方位角105的方向,以9n mile / h的速 度向小岛靠拢,我海军舰艇立即以21n mile / h的速度前去营 救,求舰艇的航向和靠近渔船所用的时间(精确到0.1,时间 精确到1min).
油泵顶杠BC的长度.已知车厢的最大仰角为60°，油泵顶点 B与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹 角为6°20′，AC长为1.4m，计算BC长. C
C
A
60°
6°20′
B
A
60°
6°20′
Biblioteka Baidu
B
解：由余弦定理得
BC AB AC 2 AB AC cos A
2 2 2
1.95 1.40 2 1.95 1.40 cos66 20 3.571
A
C
5
三角形的形状判断
在ABC中，根据下列条件判断三角形 的形状。
（1）已知acosB=bcosA
（2）已知cosA:cosB=b:a （3）已知三边长为：x2+x+1 , x2-1 , 2x+1 （4）已知lg sinB+lg sinC=2lg cos(A/2)
几个概念：
• 仰角：目标视线在水平线上方的叫仰角; • 俯角：目标视线在水平线下方的叫俯角； • 方位角：北方向线顺时针方向到目标方向 线的夹角。
0
ABC 中，
10
B
BAC 30 , AB 10, 5 则BC= ，AC= 5 3
300
A 图1 10 300 C B
2、如图2，已知在 ABC 中，ABC
300 图2
BAC 30 , AB 10,
0
则
AC
100 ABC 外接圆的面积是 3
10 3 3 ，点B到边AC的距离是
N
方位角 60度
目标方向线
视 线
仰角
水平线
俯角
视 线
实际问题
因为某种实际需要， 需测量左图中A、B二点间 的距离。如何测量？ 实际测量中，测量人 员在如图所示位置取点C， 用皮尺测得AC=8米， BC=5米，∠ACB= 。由 此测量人员可以得到 AB的 80 长度。
0
A
B
问：怎么样算AB的长度？
C
D
C
练习 如 图 ， 为 了 测 量 河 对 A 岸 、 B两 点 间 A 3 的距离，在河的这边定 测C D 千米， 2 ADB C DB 30，AC D 60， B
AC B 45， 求AB两 点 的 距 离 .
分析： 1. 在△ABD中求AB
D 30° 30°
解斜三角形 应用举例 （一）
一、复习
正弦定理
a b c 2R sin A sin B sin C
b a sin A sin B c a , sin A sin C b c sin B sin C
C b a c B
A
正弦定理应用的两种类型：
2 2 2
b c a cos A 2bc a2 c2 b2 cosB 2ac 2 2 2 a b c cosC 2ab
2 2
2
利用余弦定理可解决一下两类解三角形问题 （1）知三边求三角
C b a c B
（2）知两边和它们的夹角，求第三边，
进而可求其它的角
A
练习
1、如图1，已知在 Rt
1）知两角和任一边，求其它的两边和一角
2）知两边和其中一边的对角，求另一边和角
C b a c
三角形的一些基本性质
A
B
1）在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180° 2）大边对大角，即 a>b
∠A>∠B
二、余弦定理
a 2 b 2 c 2 2bc cos A b 2 a 2 c 2 2ac cosB c a b 2ab cosC
45° 60°
C
2. 在△ABC中求AB
6 AB 4
解：在 ABC 中，ADC ACD 600
A
B
ACD
AD=CD=
3 2
是等边三角形，则 ，
3 30° 30° 2
3 0 s i n 105 CD s i nBCD 3 3 2 BD 0 s i nDBC s i n 45 4
分析转化
A
8
实际问题 数学化:
80
0
c
5
B
在△ABC中，已知边AC，BC及∠C ,求AB.
例1、上海的金茂大厦是世界上超高的标志性筑， 有一位测量爱好者在与金茂大厦底部同一水平线上 的B处测得金茂大厦顶部A的仰角15.66º ，再向金茂 大厦前进500米到C处后，测得金茂大厦顶部A的仰 角为22.81º ，他能否算出金茂大厦的高度呢？
A
h
D
22.81º
C
15.66º 500m
B
例2
求树高BC 和河宽CD. B
解：∠ABD = 17°, ° BD = ADsin14 = 29.8, sin17°
BC = BDsin31°=15.3, DC = BDcos31°=25.5. 答：树高15.3m, 河宽25.5m.
A
140
36cm
310