高等数学-上册-第一章总结

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第一章 函数极限与连续

(一) 本章重点(important points ):

1. 了解极限的定义(重点是理解极限定义中的“任意”和“存在”,以及N 与ε的相关性;动态变化性)及求法,定义要从代数及几何两方面进行理解。

2. 理解以及运用两个重要的极限公式(及其拓展形式)。

3. 无穷小理论及其运用(主要是等价无穷小代换,在求极限以及一些证明题中会经常用到,so it is also important!)。

4. 函数的连续(这是以后很多公式定理运用的条件,所以必须掌握地very good !)。

5. 分段函数的连续性,可导性,及其极限值的求法。 (二) 知识点分析(analysis ):

常用不等式

1) 绝对值不等式: ||x |−|y ||≤|x ±y |≤|x |+|y | 2) 三角不等式: |x −z |=|x −y +y −z |≤|xy |+|yz | 3) Bernoulli Inequality(贝努力不等式):

若 x>-1, n ∈z, 且n>=2 则(1+x )n ≥1+nx 4) Cauchy Inequality (柯西不等式):

(∑x i y i )n i=12

≤(∑x i 2n i=1)∙(∑y i 2n i=1)

5) e x ≥1+x 6) ln(1+n)≤x

7) (1+1n )n

<(1+1

n+1

)n+1

&& (1+1n

)

n+1

>(1+1n

)

n+2

即:数列{(1+1n )n } 单调递增, 数列{(1+1n )

n+1

} 单调递减。

8) 设 x ∈z +, 则 1

x+1

x

9) 设 x ∈z +

, 则

2√n

<

1∗3∗5∗...∗(2n−1)2∗4∗6∗.. (2)

<

√2n+1

二. 不等式的运用案例

eg1. 证明柯西不等式 (∑x i y i )

n i=12

≤(∑x i 2n i=1)∙(∑y i 2

n i=1)

证法一:(构造一个关于t 的二次方程,并利用其判别式)

因为 x i, y i ∈R, i =1,2,3…..,n. 所以 ∀t ∈R , 有(x i +ty i )2≥0.

→f (t )=∑(x i +ty i )2n i=1=∑x i 2+(2∑x i y i n i=1)t +(∑y i 2n i=1)n i=1t 2

≥0

若∑y i 2

=0,则。。。。。。n i=1 若∑y i 2

>0

n i=1

,则有判别式∆≤0

故 4(∑x i y i n i=1)2

≤4∑x i 2∙∑y i 2

≤0n i=1n i=1 →

(∑x i y i )n i=12

≤(∑x i 2

n i=1)∙

(∑y i 2n i=1)

三. 求极限的方法:

1.利用极限的基本性质与法则。

2.利用数列求和。

3.利用两个重要极限。

4.利用对数恒等式(主要是解有关幂指型函数的题)。

5.利用函数的连续性。

6.利用无穷大与无穷小的关系(无穷小乘以一个有界函数结果是无穷小;无穷大加无穷大不一定等于无穷大;)

四. 数列的极限:

若对0>∀ε(不论ε多么小),总∃自然数0>N ,使得当N n >时都有ε<-a x n 成立,这是就称常数a 是数列n x 的极限,或称数列n x 收敛于a ,记为a x n n =∞→lim ,或a x n →(∞→n )。

如果数列没有极限,就说数列是发散的。

注:1:ε是衡量n x 与a 的接近程度的,除要求为正以外,无任何限制。然而,尽管ε具有任意性,但一经给出,就应视为不变。(另外,ε具有任意性,那么2,2,2

εεε

等也具有

任意性,它们也可代替ε)

2:N 是随ε的变小而变大的,是ε的函数,即N 是依赖于ε的。在解题中,N 等于多少关系不大,重要的是它的存在性,只要存在一个N ,使得当N n >时,有ε<-a x n 就行了,而不必求最小的N 。 Eg2.证明1lim

2

2=+∞

→n

a n n 。 证明:对0>∀ε,因为ε<=-+n

n n 1

11,因为n a n a n n a n a n 2

22222)

(1<++=-+ (此处不妨设0≠a ,若0=a ,显然有1lim

2

2=+∞→n

a n n ) 所以要使得

ε<-+122n a n ,只须ε

a 2

就行了。 即有ε2

a n >. 所以取][2

εa N = ,当N n >时,因为有ε

a 2

ε<-+12

2n

a n ,所以1lim 2

2=+∞→n

a n n 。 注:有时找N 比较困难,这时我们可把a x n -适当地变形、放大(千万不可缩小!),若

放大后小于ε,那么必有ε<-a x n 。

Eg3. 设1

→n n q 。

证明:若0=q ,结论是显然的,现设10<∀ε,(因为ε越小越好,不妨设1<ε),要使得ε<--01n q ,即ε<-1

n q

,只须两边放对数后,εln ln )1(<-q n 成立就行了。因为

10<

n q n ln ln 1ln ln 1ε

ε+>⇒>

- 。 取⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣⎡+=q N ln ln 1ε,所以当N n >时,有ε<--01

n q 成立。

定理1:(唯一性)数列n

x 不能收敛于两个不同的极限。

证明:设a 和b 为n x 的任意两个极限,下证b a =。

由极限的定义,对0>∀ε,必分别∃自然数21,N N ,当1N n >时,有ε<-a x n …(1) 当2N n >时,有ε<-b x n …(2)令{}21,N N Max N =,当N n >时,(1),(2)同时成立。现考虑:

εεε2)()(=+<-+-≤---=-a x b x a x b x b a n n n n 由于b a ,均为常数b a =⇒,所以n x 的极限只能有一个。

注:本定理的证明方法很多,书上的证明自己看。

若a x n n =∞→lim ,lim n

n x b →∞

=,则a b =

若0()

lim ()x x x f x A →∞→=0()

lim ()x x x f x B →∞

→=,则A B = 定理2. (有界性)若数列n

x 收敛,那么它一定有界,即:对于数列

n x ,若∃正数M ,对一切n ,有M x n ≤。

证明:设a x n n =∞

→lim ,由定义对∃=,1ε自然数,N 当N n >时,1=<-εa x n ,所以当N n >时,

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