高等数学-上册-第一章总结
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第一章 函数极限与连续
(一) 本章重点(important points ):
1. 了解极限的定义(重点是理解极限定义中的“任意”和“存在”,以及N 与ε的相关性;动态变化性)及求法,定义要从代数及几何两方面进行理解。
2. 理解以及运用两个重要的极限公式(及其拓展形式)。
3. 无穷小理论及其运用(主要是等价无穷小代换,在求极限以及一些证明题中会经常用到,so it is also important!)。
4. 函数的连续(这是以后很多公式定理运用的条件,所以必须掌握地very good !)。
5. 分段函数的连续性,可导性,及其极限值的求法。 (二) 知识点分析(analysis ):
常用不等式
1) 绝对值不等式: ||x |−|y ||≤|x ±y |≤|x |+|y | 2) 三角不等式: |x −z |=|x −y +y −z |≤|xy |+|yz | 3) Bernoulli Inequality(贝努力不等式):
若 x>-1, n ∈z, 且n>=2 则(1+x )n ≥1+nx 4) Cauchy Inequality (柯西不等式):
(∑x i y i )n i=12
≤(∑x i 2n i=1)∙(∑y i 2n i=1)
5) e x ≥1+x 6) ln(1+n)≤x
7) (1+1n )n
<(1+1
n+1
)n+1
&& (1+1n
)
n+1
>(1+1n
)
n+2
即:数列{(1+1n )n } 单调递增, 数列{(1+1n )
n+1
} 单调递减。
8) 设 x ∈z +, 则 1
x+1 x 9) 设 x ∈z + , 则 2√n < 1∗3∗5∗...∗(2n−1)2∗4∗6∗.. (2) < √2n+1 二. 不等式的运用案例 eg1. 证明柯西不等式 (∑x i y i ) n i=12 ≤(∑x i 2n i=1)∙(∑y i 2 n i=1) 证法一:(构造一个关于t 的二次方程,并利用其判别式) 因为 x i, y i ∈R, i =1,2,3…..,n. 所以 ∀t ∈R , 有(x i +ty i )2≥0. →f (t )=∑(x i +ty i )2n i=1=∑x i 2+(2∑x i y i n i=1)t +(∑y i 2n i=1)n i=1t 2 ≥0 若∑y i 2 =0,则。。。。。。n i=1 若∑y i 2 >0 n i=1 ,则有判别式∆≤0 故 4(∑x i y i n i=1)2 ≤4∑x i 2∙∑y i 2 ≤0n i=1n i=1 → (∑x i y i )n i=12 ≤(∑x i 2 n i=1)∙ (∑y i 2n i=1) 三. 求极限的方法: 1.利用极限的基本性质与法则。 2.利用数列求和。 3.利用两个重要极限。 4.利用对数恒等式(主要是解有关幂指型函数的题)。 5.利用函数的连续性。 6.利用无穷大与无穷小的关系(无穷小乘以一个有界函数结果是无穷小;无穷大加无穷大不一定等于无穷大;) 四. 数列的极限: 若对0>∀ε(不论ε多么小),总∃自然数0>N ,使得当N n >时都有ε<-a x n 成立,这是就称常数a 是数列n x 的极限,或称数列n x 收敛于a ,记为a x n n =∞→lim ,或a x n →(∞→n )。 如果数列没有极限,就说数列是发散的。 注:1:ε是衡量n x 与a 的接近程度的,除要求为正以外,无任何限制。然而,尽管ε具有任意性,但一经给出,就应视为不变。(另外,ε具有任意性,那么2,2,2 εεε 等也具有 任意性,它们也可代替ε) 2:N 是随ε的变小而变大的,是ε的函数,即N 是依赖于ε的。在解题中,N 等于多少关系不大,重要的是它的存在性,只要存在一个N ,使得当N n >时,有ε<-a x n 就行了,而不必求最小的N 。 Eg2.证明1lim 2 2=+∞ →n a n n 。 证明:对0>∀ε,因为ε<=-+n n n 1 11,因为n a n a n n a n a n 2 22222) (1<++=-+ (此处不妨设0≠a ,若0=a ,显然有1lim 2 2=+∞→n a n n ) 所以要使得 ε<-+122n a n ,只须ε a 2 就行了。 即有ε2 a n >. 所以取][2 εa N = ,当N n >时,因为有ε a 2 ⇒ ε<-+12 2n a n ,所以1lim 2 2=+∞→n a n n 。 注:有时找N 比较困难,这时我们可把a x n -适当地变形、放大(千万不可缩小!),若 放大后小于ε,那么必有ε<-a x n 。 Eg3. 设1 →n n q 。 证明:若0=q ,结论是显然的,现设10< n q ,只须两边放对数后,εln ln )1(<-q n 成立就行了。因为 10< n q n ln ln 1ln ln 1ε ε+>⇒> - 。 取⎥⎥⎦ ⎤⎢⎢⎣⎡+=q N ln ln 1ε,所以当N n >时,有ε<--01 n q 成立。 定理1:(唯一性)数列n x 不能收敛于两个不同的极限。 证明:设a 和b 为n x 的任意两个极限,下证b a =。 由极限的定义,对0>∀ε,必分别∃自然数21,N N ,当1N n >时,有ε<-a x n …(1) 当2N n >时,有ε<-b x n …(2)令{}21,N N Max N =,当N n >时,(1),(2)同时成立。现考虑: εεε2)()(=+<-+-≤---=-a x b x a x b x b a n n n n 由于b a ,均为常数b a =⇒,所以n x 的极限只能有一个。 注:本定理的证明方法很多,书上的证明自己看。 若a x n n =∞→lim ,lim n n x b →∞ =,则a b = 若0() lim ()x x x f x A →∞→=0() lim ()x x x f x B →∞ →=,则A B = 定理2. (有界性)若数列n x 收敛,那么它一定有界,即:对于数列 n x ,若∃正数M ,对一切n ,有M x n ≤。 证明:设a x n n =∞ →lim ,由定义对∃=,1ε自然数,N 当N n >时,1=<-εa x n ,所以当N n >时,∀ε,(因为ε越小越好,不妨设1<ε),要使得ε<--01n q ,即ε<-1