线性规划原问题与对偶问题的转化及其应用

线性规划原问题与对偶

问题的转化及其应用 Document number：WTWYT-WYWY-BTGTT-YTTYU-2018GT

线性规划原问题与对偶问题的转化及其应用

摘要

线性规划对偶问题是运筹学中应用较广泛的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法.线性规划对偶问题能从不同角度为管理者提供更多的科学理论依据，使管理者的决定更加合理准确.本文主要探讨了线性规划原问题与对偶问题之间的关系、线性规划原问题与对偶问题的转化以及对偶理论的应用.本文的研究主要是将复杂的线性规划原问题转化成对偶问题进行解决，简化了线性规划问题，使人们能够快速的找出线性规划问题的最优解.

关键词：线性规划；原问题；对偶问题；转化LinearProgrammingistheOriginalProblemandtheTransformationoftheDu

alProblemandApplications

Abstract:Linearprogramminginoperationalresearchisresearchearlier,rapiddevelopmentandw ideapplication,themethodisanimportantbranchofmature,目录

1引言

线性规划问题是运筹学里的一个重要的分支，它的应用比较广泛，因而是辅助人们进行现代科学管理的一种数学方法.随着线性规划理论的逐步深入，人们发现线性规划问题具有对偶性，即每一个线性问题都伴有另外一个线性问题的产生，两者相互配对，密切联系，反之亦然.我们把线性规划的这个特性称为对偶性.于是，我们将其中的一个问题称为原问题，另一个问题则称为它的对偶问题.对偶性不仅仅是数学上的理论问题，而且也是线性规划中实际问题的内在经济联系的必然反映.我们通过对对偶问题的深入研究，发现对偶问题能从不同角度对生产计划进行分析，从而使管理者能够间接地获得更多比较有用的信息.

2文献综述

国内外研究现状

在所查阅到的国内外参考文献[1-15]中，有不少文章是探讨了原问题转化为对偶问题的方法以及对偶性质的证明，并在对偶理论的应用方面有所研究.如郝英奇，胡运权在[1]、[10]中主要介绍了线性规划中原问题与对偶问题中的一些基本概念，探究了实际问题中的数学模型以及解.孙君曼，冯巧玲，孙慧君，李淑君等在[2]中探讨了对偶理论中互补松弛定理在各种情况下的使用方法,使学生更好地掌握互补松弛定理的含义和应用方法.胡运权，郭耀煌，殷志祥等在[3]、[5]中系统的介绍了线性规划中原始问题与对偶问题的两种形式.郭鹏，徐玖平等在[6]、[8]中用不同例子来说明了原问题转化为对偶问题的必要性.崔永新等在[9]、[15]中探讨了对偶问题的相关定理以及对偶问题的可行解和最优解之间的若干性质.李师正，王德胜在[11]中探讨了如何用计算机计算对偶问题的最优解.岳宏志，蔺小林，孙文喻等在[12]、[14]中

探讨了对偶理论的证明过程，并用常见的例子来说明对偶理论的基本思想和解题方法.曾波，叶宗文在[13]中主要从经济管理的实际问题中阐述了线性规划的基本概念，基本原理，对偶理论，灵敏度分析等.

国内外研究现状评价

文献[1-15]分别探讨了线性规划问题中原问题转化为对偶问题的理论依据以及如何利用对偶理论去解决实际生产问题.文献中主要探讨了对称型的原问题转化为对偶问题的方法.没有全面介绍非对称型的原问题与对偶问题之间转化的具体步骤，而且

文献中对原问题转化为对偶问题的步骤提及甚少，大都一带而过，对应用中存在的问题也未给出详细深入的说明.

提出问题

在线性规划问题中,根据实际生产中具体情况的需要,我们常常要把原问题与它的对偶问题进行转换,以解决一些复杂的线性规划问题,因而对偶问题的应用较为广泛.但大部分书籍都只介绍了线性规划问题的基础知识，并没有给出原问题与对偶问题转换的具体步骤.因此本文主要探讨了线性规划原问题与对偶问题之间转化的具体步骤，体会不同类型原问题的转化过程.

3预备知识

首先我先简单的介绍一些关于线性规划问题中的原问题和对偶问题的一些基本的知识.

对称形式的原问题

我们将满足下列条件的线性规划问题称之为具有对称形式的线性规划问题.这类问题的变量都具有非负约束，当目标函数求极大值时，它的约束条件都取“≤”号，当目标函数求极小值时它的约束条件均取“≥”号.因而，这类数学模型的特点是：（1）所有的决策变量都是非负的；（2）所有的约束条件都是“≤”型；（3）目标函数是最大化类型.

线性规划原问题的对称形式的]1[一般形式为：

⎪⎪⎪⎩⎪

⎪⎪

⎨⎧=≥≤+++≤+++≤+++)

,,2,1(0.22112222212111212111n j x b

x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a t s j m

n mn m m n n n n

非对称形式的原问题

不是所有的线性规划问题都具有对称的形式，我们将没有对称形式的线性规划问题称之为非对称形式的线性规划问题.非对称形式的线性规划问题指的是一般情况下的线性规划问题，即是目标函数值求极小或者求极大；约束条件≥,=,≤；变量≥0,≤0，或是无限制的随意的组合.例如：

⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧≤≥≤++=++≤++无约束

32133332321312

3232221211

313212111,0,0.x x x b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a t s 对偶问题的定义

在运筹学中，关于对线性规划的对偶规划给出的]2[定义如下.

设给定的线性规划为：

⎩⎨

⎧≥≤0

.X b

AX t s 其中()T n x x x X ,,,21 =，()n m ij a A ⨯=，()T

m b b b b ,,,21 =，()n c c c C ,,,21 =

因此，定义它的对偶问题为：

⎩⎨

⎧≥≥0

.Y C

YA t s 其中()m y y y Y ,,,21 =是行向量.是对偶问题，是原问题，与合在一起我们就称为是一对对称形式的对偶规划问题.

原问题转化为对偶问题的理论依据

我们根据线性规划问题中约束条件和变量的对应关系，统一归纳为下]3[1表所示：

表1