高一数学对数与对数运算
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第三章指数函数与对数函数
§3.4 对数
§3.4.1对数及其运算性质
引入
1．问题的提出：假若我国国民经济生产总值平均 每年增长8%，则经过多少年国民生产总值是现在 2006年的两倍？ 设：经过x年国民生产总值是现在的两倍，现在的
国民生产总值是a。
根据题意得： a(18%x)2a
即 1.08x 2
x=？
w xckt@126.com
15
范例
例3.计算：
（1） lo2g(2547)
范例
（1） lo2g(2547) 解： (1) lo2g(2547) log2 25 log2 47
log2 25 log2 214
= 5+14 = 19
范例
例4.用 log a x, loga y, log a z 表示下列各式：
自然对数： 在科学技术中常常使用以无理数e=2.71828……
为底的对数，以e为底的对数叫自然对数。
并且把 loge N 简记作 lnN 。
新课教学 根据对数的定义，可以得到对数与指数间的关系：
当a＞0，a≠1时， ax N xloga N.
例如： 42 16 lo4g162
102 100 lo1g01002
引入
2．探究三个数2、3、8之间存在的运算关系：
(1)两个数2、3通过什么运算可以得到8？如何表示？ 答：2的3次方等于8，是乘方运算，表示为：
23 8
(2)两个数8、3通过什么运算可以得到2？如何表示？ 答：8的3次方根等于2，是开方运算，表示为：
3 8 2 （谁的3次方等于8）
(3)两个数2、8通过什么运算可以得到3？如何表示？ 答：以2为底8的对数等于3，是对数运算，表示为：
（2的几次方等于8？或8是2的几次方？）log2 8 3
对数
一般地，如果 axN a0 ,a1 ，那么数x
叫做以a为底N的对数，记作
xloga N,
其中a叫做对数的底数，N叫做真数。
新课教学 常用对数： 我们通常将以10为底的对数叫做常用对数。
为了简便,N的常用对数 log10 N 简记作 lg N .
课堂练习
1.求下列各式的值：
（1）lo2g6lo2g3 1
（2）lg5lg2 1
（3）log5
3log5
1 3
0
（4）lo3g5lo3g151
课堂练习
2.用lgｘ，lgｙ，lgｚ表示下列各式：
（1） lg(xyz) ＝lgｘ＋lgｙ＋lgｚ；
（2） lg xy 2 ＝lgｘ＋２lgｙ－lgｚ； z
(1)alxzo;yg
x2 y (2)loag3z
解：
(1)
xy loagz loag (x)yloagz
loax g loay g loazg
(2) loagx3 2zyloag (x2y1 2)loagz1 3
1
1
loax g2loay g2loazg3
2பைடு நூலகம்oag x1 2loagy1 3loag z
（3） lg
xy 3 z
＝lgｘ＋３lgｙ－
1 2
lgｚ；
（4）lg
x y2z
1lgx2lgylgz 2
课堂小结
(1)对数的概念：对数、底数、真数； 常用对数； 自然对数。
(2)对数的运算： 积、商、幂的对数运算法则； 3个重要公式。
点滴积累 丰富人生
谢谢！
再见！
王新敞 特级教师 源头学子小屋 http://wxc.833200.com wxckt@126.com 新疆奎屯
即证得
lo a(g M lN o aM g ) lo aN g
新课教学 证明： (2)设 loagMp, loga Nq,
由对数的定义可以得：
M ap, N aq
∴ M ap N aq
apq
M loga Npq
即证得
loagM NloagMloagN
新课教学 证明： (3)设 loagMp,
10x 102, 于是 x2 (4) －lne2x.(4)因为 －lne2 x，所以 lne2 －x，
e2 ex 于是 x＝－2.
对数的运算
如果 a > 0，a 1，M > 0， N > 0 有：
（1）loga (M N)loga M loga N
（2）loga
M N
loga
M
loga
N
（3）loga Mn nloga M(nR)
数式： (1) 54＝625； 解： (1) log56254；
(2) 2 6＝ 1 ； 64
(2)
log2
1 64
6；
(3)（1）m 5.73
(3) log1 5.73m；
3
3
(4) log1164
2
(4) ( 1 )4 16； 2
(5) lg0.012； (5) 102 0.01；
(6) ln102.30.3(6) e2.30310.
新课教学 为了证明以上公式，请同学们回顾一下指数
运算法则 ：
am an amn (m, n R) (am )n amn(m, n R) (ab)n an bn (n R)
新课教学 证明： (1)设 loagMp, loga Nq, 由对数的定义可以得：
M ap, N aq ∴MN= a p a q apq loaM g N pq
由对数的定义可以得：M ap,
∴ Mn anp loagMnnp
即证得
loaM gnnloaM g (R n)
新疆 源头学子小屋 http://w ww .xj ktyg.com/w xc/ 特级教师 王新敞
w xckt@126.com
新疆 源头学子小屋 http://w ww .xj ktyg.com/w xc/ 特级教师 王新敞
1
42 2
log
4
2
1 2
102 0.01 lo1g00.012
新课教学 根据对数的定义，可以得到对数与指数间的关系：
当a＞0，a≠1时， ax N xloga N.
由指数与对数的这个关系，可以得到关于对数 的如下结论：
负数和零没有对数：
loa1 g0,loaa g1.
范例
例1.将下列指数式化为对数式，对数式化为指
范例
例2.求下列各式中x的值：
(1)
log64
x＝
2；解： 3
(1)因为
log64
x＝
2 3
；
所以 x＝ 6－ 43 2＝4（ 3） － 3 2＝ 4－ 2＝1；
16
(2) logx 8＝6； (2)因为 logx 8＝6, 所以 x6＝8,
1
11
x＝ 86＝2（ 3） 6＝ 22＝2；
(3) lg10＝ 0 x; (3)因为 lg10＝ 0 x, 所以 10x 100,
§3.4 对数
§3.4.1对数及其运算性质
引入
1．问题的提出：假若我国国民经济生产总值平均 每年增长8%，则经过多少年国民生产总值是现在 2006年的两倍？ 设：经过x年国民生产总值是现在的两倍，现在的
国民生产总值是a。
根据题意得： a(18%x)2a
即 1.08x 2
x=？
w xckt@126.com
15
范例
例3.计算：
（1） lo2g(2547)
范例
（1） lo2g(2547) 解： (1) lo2g(2547) log2 25 log2 47
log2 25 log2 214
= 5+14 = 19
范例
例4.用 log a x, loga y, log a z 表示下列各式：
自然对数： 在科学技术中常常使用以无理数e=2.71828……
为底的对数，以e为底的对数叫自然对数。
并且把 loge N 简记作 lnN 。
新课教学 根据对数的定义，可以得到对数与指数间的关系：
当a＞0，a≠1时， ax N xloga N.
例如： 42 16 lo4g162
102 100 lo1g01002
引入
2．探究三个数2、3、8之间存在的运算关系：
(1)两个数2、3通过什么运算可以得到8？如何表示？ 答：2的3次方等于8，是乘方运算，表示为：
23 8
(2)两个数8、3通过什么运算可以得到2？如何表示？ 答：8的3次方根等于2，是开方运算，表示为：
3 8 2 （谁的3次方等于8）
(3)两个数2、8通过什么运算可以得到3？如何表示？ 答：以2为底8的对数等于3，是对数运算，表示为：
（2的几次方等于8？或8是2的几次方？）log2 8 3
对数
一般地，如果 axN a0 ,a1 ，那么数x
叫做以a为底N的对数，记作
xloga N,
其中a叫做对数的底数，N叫做真数。
新课教学 常用对数： 我们通常将以10为底的对数叫做常用对数。
为了简便,N的常用对数 log10 N 简记作 lg N .
课堂练习
1.求下列各式的值：
（1）lo2g6lo2g3 1
（2）lg5lg2 1
（3）log5
3log5
1 3
0
（4）lo3g5lo3g151
课堂练习
2.用lgｘ，lgｙ，lgｚ表示下列各式：
（1） lg(xyz) ＝lgｘ＋lgｙ＋lgｚ；
（2） lg xy 2 ＝lgｘ＋２lgｙ－lgｚ； z
(1)alxzo;yg
x2 y (2)loag3z
解：
(1)
xy loagz loag (x)yloagz
loax g loay g loazg
(2) loagx3 2zyloag (x2y1 2)loagz1 3
1
1
loax g2loay g2loazg3
2பைடு நூலகம்oag x1 2loagy1 3loag z
（3） lg
xy 3 z
＝lgｘ＋３lgｙ－
1 2
lgｚ；
（4）lg
x y2z
1lgx2lgylgz 2
课堂小结
(1)对数的概念：对数、底数、真数； 常用对数； 自然对数。
(2)对数的运算： 积、商、幂的对数运算法则； 3个重要公式。
点滴积累 丰富人生
谢谢！
再见！
王新敞 特级教师 源头学子小屋 http://wxc.833200.com wxckt@126.com 新疆奎屯
即证得
lo a(g M lN o aM g ) lo aN g
新课教学 证明： (2)设 loagMp, loga Nq,
由对数的定义可以得：
M ap, N aq
∴ M ap N aq
apq
M loga Npq
即证得
loagM NloagMloagN
新课教学 证明： (3)设 loagMp,
10x 102, 于是 x2 (4) －lne2x.(4)因为 －lne2 x，所以 lne2 －x，
e2 ex 于是 x＝－2.
对数的运算
如果 a > 0，a 1，M > 0， N > 0 有：
（1）loga (M N)loga M loga N
（2）loga
M N
loga
M
loga
N
（3）loga Mn nloga M(nR)
数式： (1) 54＝625； 解： (1) log56254；
(2) 2 6＝ 1 ； 64
(2)
log2
1 64
6；
(3)（1）m 5.73
(3) log1 5.73m；
3
3
(4) log1164
2
(4) ( 1 )4 16； 2
(5) lg0.012； (5) 102 0.01；
(6) ln102.30.3(6) e2.30310.
新课教学 为了证明以上公式，请同学们回顾一下指数
运算法则 ：
am an amn (m, n R) (am )n amn(m, n R) (ab)n an bn (n R)
新课教学 证明： (1)设 loagMp, loga Nq, 由对数的定义可以得：
M ap, N aq ∴MN= a p a q apq loaM g N pq
由对数的定义可以得：M ap,
∴ Mn anp loagMnnp
即证得
loaM gnnloaM g (R n)
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w xckt@126.com
新疆 源头学子小屋 http://w ww .xj ktyg.com/w xc/ 特级教师 王新敞
1
42 2
log
4
2
1 2
102 0.01 lo1g00.012
新课教学 根据对数的定义，可以得到对数与指数间的关系：
当a＞0，a≠1时， ax N xloga N.
由指数与对数的这个关系，可以得到关于对数 的如下结论：
负数和零没有对数：
loa1 g0,loaa g1.
范例
例1.将下列指数式化为对数式，对数式化为指
范例
例2.求下列各式中x的值：
(1)
log64
x＝
2；解： 3
(1)因为
log64
x＝
2 3
；
所以 x＝ 6－ 43 2＝4（ 3） － 3 2＝ 4－ 2＝1；
16
(2) logx 8＝6； (2)因为 logx 8＝6, 所以 x6＝8,
1
11
x＝ 86＝2（ 3） 6＝ 22＝2；
(3) lg10＝ 0 x; (3)因为 lg10＝ 0 x, 所以 10x 100,