理论力学习题解答
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且运动轨迹已知。
问题: 质点M沿椭圆轨道匀 速率运动，如何确定其加速 度的大小和方向？
例：已知点的运动方程，求点任意时刻的速度、 加速度的大小和运动轨迹的曲率半径。
运动方程: x R cost, y R sin t, z Ct
解： vx x vy y
vz
z
解： 是共面力系的
0
平衡问题
第
0
三
章
Fx 0
N1 cos(90 0 ) f 0
Fy 0 Mz 0
N1 sin(90 0 ) N2 P 0
Pl cos0
N1
h
sin 0
0
f N2
解出
0
f
N2
第
h
l sin 2 0 cos 0 l sin 0 cos2 0
例：已知图示瞬时动点A的速度和加速度， 求该瞬时动点A
的 x, y, x, y, 。 已知：v 10m/s, a 10m/s2
yv
300
A(x,y)
解： x vx 10cos300 (m/s) y vy 10sin 300 (m/s)
a
O
x
vx x vy y
23 3
R
第
O
B
vB
三（1）速度瞬心可以位于平面运动刚体之上，也可以位于其延展体上。
章
（2）当 =90º时，滑块B的速度及连
杆AB的角速度为多少？
研究连杆AB：该瞬时，连杆AB的 vA A
P？
速度瞬心P在无穷远处，AB 0
A为基点，杆AB上任一点M的速度
vM
M
B
vM vA vMA vA
O
vB
该瞬时AB上各点的速度相等。各点加速度是否相等?
第 该瞬时图形上各点的速度分布如同图形作平移时的一样。 三 章故图形在该瞬时的运动称为瞬时平移。
例: 沿直线轨道作纯滚动的车轮，其半径为R，轮心的速度为
u，求轮上A、B、C、D的速度。
解：车轮与轨道的接触点A为速度瞬心。
车轮的角速度为 u
0
三
章
例 题 半径为r的光滑半球形碗，固定在平面
上。一均匀棒斜靠在碗缘，一端在碗内，
一端在碗外，在碗内的长度为c，试证
棒的全长为
4(c2 2r 2 )
c
y
N1 o
N2
B
x
G
第
三
A
章
题3.1.1图
解： 均质棒受到碗的弹力分别为 N1 N 2 ,
棒自身重力为 G 。
y
棒与水平方向的夹角为
第 二 章
d [(M t)v] (M t)g
dt
积分得：
(M
t)v
(M
1 2
t2 )g
c1
t 0, v 0 c1 0
v
ds
M
1 2
t 2
g
dt M t
再积分得：
s
g 2
(1 2
t2)
Mg
2
t
M 2g
22
ln(
M
t)
c2
t
思路:
根据转动定律
求出振动动力学方程
x 2x 0
第
三 章求其运动方程及其振动周期
解 运动微分方程
由转动方程 M z Izz
mgl sin I0 mk02
ko2 kc2 l 2
gl 0
kC2 l2
第
三
章 Asin
kC2
①质点水平方向的加速度
②劈的加速度
x2
;
x1
;
③劈对质点的反作用力R1;
④水平面对劈的反作用力R2.
第
二
章
解:
m1 x1 + m2 x2 =0
水平方向动量守恒 a
令 v1 为沿斜面下滑的速度（相对），则
x1 = x2 -v1 cos
b
由 a b 知:
x2
Mi
N2c
G
l cos
2
0
③
由①②③式得：l
2c
2 cos2 cos2
1
④
又由于
2r cos c,
cos c ⑤
2r
第
三 章
将⑤代入④得： l 4 c2 2r 2
c
例题：设质量为m的复摆绕通过某点o的水 平轴作微小振动，试求其运动方程及其振动 周期，并加以讨论。
设棒的长度为 l
x由于棒处于平衡状态，所以棒沿
轴和 y 轴的和外力为零
N1 o
A
N2
B
x
G
Fx N1 cos2 N2 sin 0 ① 题3.1.1图
第
三
Fy N1 sin 2 N2 cos G 0 ②
章
沿过 A 点且与 z 轴平行的合力矩为0。即：
ax ay
x y
az
z
v x2 y 2 z2 s R22 C2 const. a x2 y2 z2 R 2
a at an
at
s, an
s2
s2 a
R
C2
2R
例：半径为R的车轮在地面上纯滚动，轮心速度的大小为u （常量）。求圆盘与地面接触点的加速度。
vB
R cos
2
3R
3
AB
vBA AB
1
3
例：曲柄OA以匀角速度 转动。求当 =60º时，AB 3R P
滑块B的速度及连杆AB的角速度。
OA R
解： 研究连杆AB：
vA R AP AB
AB
R
3R 3 3
vA
A
[讨论]
vB
BP AB
杆的角速度。
OA R, 600, AB OA
vA
O
A AB
vB vA
解：研究AB杆，取A为基点
B
vB vA vBA (1)
（1）式在AB杆上投影
vBA
vB cos vA R
（1）式在OA杆上投影
第
vB sin vBA
三
章
vBA AB AB
3、 根据主矢和主矩的计算结果
判断该力系的简化结果。
证明：设三个力不平行且平衡, 则：三力共面且作用线交于一点
B FB
FC
FA A C
B FB
FC
rAB
FA A
rAC C
B
FA
FB
A
若三力平衡，有：rAB FB rAC FC 0 由此得：FB , FC 共面
FC FC D C
因为 FB , FC 不平行，相交于D
ri fij rj f ji
j
ri
fij
rj
fij
fij
ri
f ji
rj
o x
(ri
rj )
fij
rij fij
对上式求和就是质点组的所 有内力对o点的力矩的矢量和
第
二 章
0
M内 0
例题：
求半径为R的均质半球的质心。
g
第 二
x1 = x2 - v1 cos
m2 sin cos m2 m1 sin2
g
章
对m1 y向: R1 m1 x2 sin m1g cos 0
R1
m1m2 cos m2 m1 sin2
g
对劈 y向:
R 2 m2 g R1 cos 0
0,
s
0 c2
M 2g
22
ln
M
第 二 章
例：求力系｛Fi｝向O点简化的结果。
F1
y
第b
三 章
z
解：1、 Fi Fix i Fiy j Fiz k
ri xii yi j zik
c
n
2、 FR Fi
i1
x
O
a F2
n
MO ri Fi
i1
F3
点
第
三FBC
FB
FB , FC 合成为力FBC
章
由二力平衡原理得：三力作用线共面且交于一点
例：已知AB梁长为l，其上受有均布载荷q，求A处的约束力。
A
FAy MA
第 三
A FAx
章
解：研究AB梁，画受力图。
B
Fx 0, FAx 0
Fy 0,
l
FAy qdx 0, FAy ql
vz
z
ax x
ay y
az
z
x ax 0(m/s2 ) y ay 10(m/s2 )
v2
an
v2 a cos300
20 m 3
内力的性质
①质点组中所有内力的矢量和等于零。
n n
F (i)
解：建立M点的运动方程 x R( sin )
y R(1 cos)
ax x u sin ay y u cos
当 2k (k 0,1,)
u R vx x u(1 cos) vy y u sin
u2 v 0, ax 0, ay R
m1 cos
m1 m2
v1
第 二
x2
m1 cos
m1 m2
v1
c
章
（非惯性系）对m1有
m1g sin + m1 x2 cos = m1 v1
v1 =g sin + x2 cos d
代入 c 得:
x2
m1 sin cos m2 m1 sin2
fij 0
i1 j1
ji
证明: 对任何一对质点间的相互作用力,
由牛顿第三定律知:
fij f ji
fij
f ji
0
fij :表示第j个质点对第i个质点的作用力.
由第 二于内力是成对出现的
n n
F (i)
fij 0
章
i1 j 1
ji
② 矩质的点矢组量的和所恒有为内零力. y对任一参i 考 点的力
理论力学 练习题
仅供参考
例：求 P 点的运动方程，P 点的速度和加速度
OA R AB L, AP l, t 解：1、P 点运动方程
y
A
O
xp R cos l cos
yp (L l) sin
P B
RL sin sin
x
xp
R cos
gl
l
2
t
周期 2 kC2 l2 2 I0
gl
mgl
Asin
kC2
gl
l
2
t
周期 2 kC2 l2 2 I0
gl
mgl
与单摆所具有的形式很类似，所 以说单摆是复摆的一个特例。
第 三 章
例 每个人行走时都会有一种自然步频，以这种步频行走很 舒服，而试图以较快或较慢的步频行走会感到不舒服。略去 膝关节的效应，试用一种最简单的模型来估算该步频。
R2
m2 m1 m2
m2 m1 sin2
g
第 二 章
例题：
雨点开始自由下落时的质量为 M ，在下
落过程中，单位时间内凝结在它上面的水汽
质量为 ，略去空气阻力，试求雨点在t
秒后所下落的距离。
解： 因为 u 0
d
(mv)
F
dt
m M t
F (M t)g
解 选取均匀杆模型进行估算， 则自然步频率等于杆的固有频
O
率时（共振）最舒服，如图：
θ
由转动方程 M z Izzz
l
1 ml2 1 mgl sin 0
mg
3
2
3g 0
2l
第
三 章
3g 2l
T 2 2l
3g
取l为1米，则步频率 为1.62秒
例：已知OA杆的角速度，求图示瞬时滑块B的速度和 AB
0
M A 0,
B
l
M A xqdx 0,
0
M
A
1 2
ql 2
例题
一根均匀的棍子，重为P，长为 2l 。今将其一端置于粗 糙地面上，又一其上的c点靠在墙上，墙离地面的高度为
h,当棍子与地面的角度 为最小值 0 时，棍子在上述 位置仍处于平衡状态，求棍子与地面的摩擦系数 。
z
dm r 2dz
(R2 z2 )dz
r
M 2 R3
z
3
oo
第
二 章zc
R
zdm
0
R 0
z (R2 z2 ) dzBiblioteka 2 R3 y3 8
R
3
R x
例：质量为m1的质点，沿倾角为 的光滑
直角劈滑下，劈的本身质量为m2，又可在光
滑水平面上 自由滑动。试求
l L
L2
R
2
sin
2
yp
(L
l)
R L
sin
2、P 点的速度和加速度
问题:如果已知点的运动轨迹和点的速度的大小随时间的变 化规律，如何确定点的加速度? 过山车 车辆转弯时，为什 么要限速？高速路坡度拐弯？卫星变轨时从近地轨道转移到 远地轨道时，速度的增量是多少？
列车沿铁轨行驶 若将列车视为质点
R
vA vP 0
C
vB
B
O
vC
vO DvD
vB 2u, vC 2u, vD 2vO 速度瞬心法的特点：
A(P)
第 （1）计算简便；
三
章 （2）直观解了平面运动图形上各点的速度分布。
例题
长为2l 的直杆，A端搁在水平地面上，B
端靠在墙上，已知A端的水平速度为 vA ， 求杆与竖直方向成 角时B端的速度和
问题: 质点M沿椭圆轨道匀 速率运动，如何确定其加速 度的大小和方向？
例：已知点的运动方程，求点任意时刻的速度、 加速度的大小和运动轨迹的曲率半径。
运动方程: x R cost, y R sin t, z Ct
解： vx x vy y
vz
z
解： 是共面力系的
0
平衡问题
第
0
三
章
Fx 0
N1 cos(90 0 ) f 0
Fy 0 Mz 0
N1 sin(90 0 ) N2 P 0
Pl cos0
N1
h
sin 0
0
f N2
解出
0
f
N2
第
h
l sin 2 0 cos 0 l sin 0 cos2 0
例：已知图示瞬时动点A的速度和加速度， 求该瞬时动点A
的 x, y, x, y, 。 已知：v 10m/s, a 10m/s2
yv
300
A(x,y)
解： x vx 10cos300 (m/s) y vy 10sin 300 (m/s)
a
O
x
vx x vy y
23 3
R
第
O
B
vB
三（1）速度瞬心可以位于平面运动刚体之上，也可以位于其延展体上。
章
（2）当 =90º时，滑块B的速度及连
杆AB的角速度为多少？
研究连杆AB：该瞬时，连杆AB的 vA A
P？
速度瞬心P在无穷远处，AB 0
A为基点，杆AB上任一点M的速度
vM
M
B
vM vA vMA vA
O
vB
该瞬时AB上各点的速度相等。各点加速度是否相等?
第 该瞬时图形上各点的速度分布如同图形作平移时的一样。 三 章故图形在该瞬时的运动称为瞬时平移。
例: 沿直线轨道作纯滚动的车轮，其半径为R，轮心的速度为
u，求轮上A、B、C、D的速度。
解：车轮与轨道的接触点A为速度瞬心。
车轮的角速度为 u
0
三
章
例 题 半径为r的光滑半球形碗，固定在平面
上。一均匀棒斜靠在碗缘，一端在碗内，
一端在碗外，在碗内的长度为c，试证
棒的全长为
4(c2 2r 2 )
c
y
N1 o
N2
B
x
G
第
三
A
章
题3.1.1图
解： 均质棒受到碗的弹力分别为 N1 N 2 ,
棒自身重力为 G 。
y
棒与水平方向的夹角为
第 二 章
d [(M t)v] (M t)g
dt
积分得：
(M
t)v
(M
1 2
t2 )g
c1
t 0, v 0 c1 0
v
ds
M
1 2
t 2
g
dt M t
再积分得：
s
g 2
(1 2
t2)
Mg
2
t
M 2g
22
ln(
M
t)
c2
t
思路:
根据转动定律
求出振动动力学方程
x 2x 0
第
三 章求其运动方程及其振动周期
解 运动微分方程
由转动方程 M z Izz
mgl sin I0 mk02
ko2 kc2 l 2
gl 0
kC2 l2
第
三
章 Asin
kC2
①质点水平方向的加速度
②劈的加速度
x2
;
x1
;
③劈对质点的反作用力R1;
④水平面对劈的反作用力R2.
第
二
章
解:
m1 x1 + m2 x2 =0
水平方向动量守恒 a
令 v1 为沿斜面下滑的速度（相对），则
x1 = x2 -v1 cos
b
由 a b 知:
x2
Mi
N2c
G
l cos
2
0
③
由①②③式得：l
2c
2 cos2 cos2
1
④
又由于
2r cos c,
cos c ⑤
2r
第
三 章
将⑤代入④得： l 4 c2 2r 2
c
例题：设质量为m的复摆绕通过某点o的水 平轴作微小振动，试求其运动方程及其振动 周期，并加以讨论。
设棒的长度为 l
x由于棒处于平衡状态，所以棒沿
轴和 y 轴的和外力为零
N1 o
A
N2
B
x
G
Fx N1 cos2 N2 sin 0 ① 题3.1.1图
第
三
Fy N1 sin 2 N2 cos G 0 ②
章
沿过 A 点且与 z 轴平行的合力矩为0。即：
ax ay
x y
az
z
v x2 y 2 z2 s R22 C2 const. a x2 y2 z2 R 2
a at an
at
s, an
s2
s2 a
R
C2
2R
例：半径为R的车轮在地面上纯滚动，轮心速度的大小为u （常量）。求圆盘与地面接触点的加速度。
vB
R cos
2
3R
3
AB
vBA AB
1
3
例：曲柄OA以匀角速度 转动。求当 =60º时，AB 3R P
滑块B的速度及连杆AB的角速度。
OA R
解： 研究连杆AB：
vA R AP AB
AB
R
3R 3 3
vA
A
[讨论]
vB
BP AB
杆的角速度。
OA R, 600, AB OA
vA
O
A AB
vB vA
解：研究AB杆，取A为基点
B
vB vA vBA (1)
（1）式在AB杆上投影
vBA
vB cos vA R
（1）式在OA杆上投影
第
vB sin vBA
三
章
vBA AB AB
3、 根据主矢和主矩的计算结果
判断该力系的简化结果。
证明：设三个力不平行且平衡, 则：三力共面且作用线交于一点
B FB
FC
FA A C
B FB
FC
rAB
FA A
rAC C
B
FA
FB
A
若三力平衡，有：rAB FB rAC FC 0 由此得：FB , FC 共面
FC FC D C
因为 FB , FC 不平行，相交于D
ri fij rj f ji
j
ri
fij
rj
fij
fij
ri
f ji
rj
o x
(ri
rj )
fij
rij fij
对上式求和就是质点组的所 有内力对o点的力矩的矢量和
第
二 章
0
M内 0
例题：
求半径为R的均质半球的质心。
g
第 二
x1 = x2 - v1 cos
m2 sin cos m2 m1 sin2
g
章
对m1 y向: R1 m1 x2 sin m1g cos 0
R1
m1m2 cos m2 m1 sin2
g
对劈 y向:
R 2 m2 g R1 cos 0
0,
s
0 c2
M 2g
22
ln
M
第 二 章
例：求力系｛Fi｝向O点简化的结果。
F1
y
第b
三 章
z
解：1、 Fi Fix i Fiy j Fiz k
ri xii yi j zik
c
n
2、 FR Fi
i1
x
O
a F2
n
MO ri Fi
i1
F3
点
第
三FBC
FB
FB , FC 合成为力FBC
章
由二力平衡原理得：三力作用线共面且交于一点
例：已知AB梁长为l，其上受有均布载荷q，求A处的约束力。
A
FAy MA
第 三
A FAx
章
解：研究AB梁，画受力图。
B
Fx 0, FAx 0
Fy 0,
l
FAy qdx 0, FAy ql
vz
z
ax x
ay y
az
z
x ax 0(m/s2 ) y ay 10(m/s2 )
v2
an
v2 a cos300
20 m 3
内力的性质
①质点组中所有内力的矢量和等于零。
n n
F (i)
解：建立M点的运动方程 x R( sin )
y R(1 cos)
ax x u sin ay y u cos
当 2k (k 0,1,)
u R vx x u(1 cos) vy y u sin
u2 v 0, ax 0, ay R
m1 cos
m1 m2
v1
第 二
x2
m1 cos
m1 m2
v1
c
章
（非惯性系）对m1有
m1g sin + m1 x2 cos = m1 v1
v1 =g sin + x2 cos d
代入 c 得:
x2
m1 sin cos m2 m1 sin2
fij 0
i1 j1
ji
证明: 对任何一对质点间的相互作用力,
由牛顿第三定律知:
fij f ji
fij
f ji
0
fij :表示第j个质点对第i个质点的作用力.
由第 二于内力是成对出现的
n n
F (i)
fij 0
章
i1 j 1
ji
② 矩质的点矢组量的和所恒有为内零力. y对任一参i 考 点的力
理论力学 练习题
仅供参考
例：求 P 点的运动方程，P 点的速度和加速度
OA R AB L, AP l, t 解：1、P 点运动方程
y
A
O
xp R cos l cos
yp (L l) sin
P B
RL sin sin
x
xp
R cos
gl
l
2
t
周期 2 kC2 l2 2 I0
gl
mgl
Asin
kC2
gl
l
2
t
周期 2 kC2 l2 2 I0
gl
mgl
与单摆所具有的形式很类似，所 以说单摆是复摆的一个特例。
第 三 章
例 每个人行走时都会有一种自然步频，以这种步频行走很 舒服，而试图以较快或较慢的步频行走会感到不舒服。略去 膝关节的效应，试用一种最简单的模型来估算该步频。
R2
m2 m1 m2
m2 m1 sin2
g
第 二 章
例题：
雨点开始自由下落时的质量为 M ，在下
落过程中，单位时间内凝结在它上面的水汽
质量为 ，略去空气阻力，试求雨点在t
秒后所下落的距离。
解： 因为 u 0
d
(mv)
F
dt
m M t
F (M t)g
解 选取均匀杆模型进行估算， 则自然步频率等于杆的固有频
O
率时（共振）最舒服，如图：
θ
由转动方程 M z Izzz
l
1 ml2 1 mgl sin 0
mg
3
2
3g 0
2l
第
三 章
3g 2l
T 2 2l
3g
取l为1米，则步频率 为1.62秒
例：已知OA杆的角速度，求图示瞬时滑块B的速度和 AB
0
M A 0,
B
l
M A xqdx 0,
0
M
A
1 2
ql 2
例题
一根均匀的棍子，重为P，长为 2l 。今将其一端置于粗 糙地面上，又一其上的c点靠在墙上，墙离地面的高度为
h,当棍子与地面的角度 为最小值 0 时，棍子在上述 位置仍处于平衡状态，求棍子与地面的摩擦系数 。
z
dm r 2dz
(R2 z2 )dz
r
M 2 R3
z
3
oo
第
二 章zc
R
zdm
0
R 0
z (R2 z2 ) dzBiblioteka 2 R3 y3 8
R
3
R x
例：质量为m1的质点，沿倾角为 的光滑
直角劈滑下，劈的本身质量为m2，又可在光
滑水平面上 自由滑动。试求
l L
L2
R
2
sin
2
yp
(L
l)
R L
sin
2、P 点的速度和加速度
问题:如果已知点的运动轨迹和点的速度的大小随时间的变 化规律，如何确定点的加速度? 过山车 车辆转弯时，为什 么要限速？高速路坡度拐弯？卫星变轨时从近地轨道转移到 远地轨道时，速度的增量是多少？
列车沿铁轨行驶 若将列车视为质点
R
vA vP 0
C
vB
B
O
vC
vO DvD
vB 2u, vC 2u, vD 2vO 速度瞬心法的特点：
A(P)
第 （1）计算简便；
三
章 （2）直观解了平面运动图形上各点的速度分布。
例题
长为2l 的直杆，A端搁在水平地面上，B
端靠在墙上，已知A端的水平速度为 vA ， 求杆与竖直方向成 角时B端的速度和