不等关系与不等式-ppt

例2
1 1 已知 a b 0
，x＞y＞0，
x y 求证： . xa y b
例3 立.
若a＜b＜0，判断下列结论是否成
1 1 （1） a b
（3） a b
2 2
1 1 （2） a b a
（4）ac2＜bc2
例4
给出三个不等式： , ③bc＞ad，
c d ①ab＞0，② a b
b m b (b m)a (a m)b 证明: ∵ am a (a m)a ab ma ab bm (a m)a m(a b) (a m)a ∵a、 b 、m 都是正数,且 a b ∴ m 0, m a 0, a 0, a b 0
从表格中你能获得什么信息？ 用数学关系来反映就是： f≥2.5% p≥2.3%
小于、大于、不小于、不大于、少于、多于、 不少于、不多于、至多、最多、至少、最少
三.建构数学
实际问题：不等关系
抽象
概括
刻画
数学问题：不等式
用今天所学的数学知识来解释生活中“糖 水加糖甜更甜”的现象.
生活中为什么糖水中加的糖越多越甜呢?
以其中任意两个作条件，余下一个做结 论，可组成几个正确命题.
回顾反思 (1)解决实际问题的常规步骤
抽象、概括
实际问题
刻画
数学问题
(2)本堂课建立的模型主要是 不等关系 不等式的证 明方法（作 差法）
40
实例1.限速40km / h的路标, 指示司机在前方路段行 驶时, 应使汽车的速度 v不超过40km / h.
思考 :
(1)以上不等关系中的不等 词？ 不超过，
(2)将以上两个不等关系用 不等式(组)表示?
v 40
学生活动
实例2
这是某酸奶的质量检查规定
脂肪含量（f） 不少于2.5％ 蛋白质含量（p） 不少于2.3％
a＞b＞0，c＞d＞0
ac＞bd
思考7：如果a＞b＞0，n∈N*，那么an与 bn的大小关系如何？
a＞b＞0
n＞bn (n∈N*) a
思考8：如果a＞b＞0，n∈N*，那么 n a
与 b 的大小关系如何？ a＞b＞0
n

n
a ＞ n b(n∈N*)
理论迁移
例1
已知a＞b＞0，c＜0，
c c 求证: . a b
作差
变形
判断
结论
因式分解、配方、 通分等手段
探究（一）：不等式的基本性质
思考1：若甲的身材比乙高，则乙的身材比甲矮， 反之亦然.从数学的观点分析，这里反映了一个不 等式性质，你能用数学符号语言表述这个不等式性 质吗？
a＞b b＜a（对称性）
思考2：若甲的身材比乙高，乙的身材比丙高， 那么甲的身材比丙高，这里反映出的不等式性质 如何用数学符号语言表述？
转化为数学问题：a 克糖水中含有 b 克糖(a>b>0)， 若再加 m(m>0)克糖，则糖水更甜了，为什么?
b 分析:起初糖水的浓度为 ,加入 m 克糖后的糖 a bm bm b 即可,怎么 水浓度为 ,只要证明 am am a 证呢?
这个数学问题怎么解决?
这是一个不等式的证明问题
bm b b 、m 都是正数,且 a b ,求证: 已知 a 、 am a
一.问题情境
实际生活中
长短
轻重
大小
高矮
远横 近看 高成 低岭 各侧 不成 同峰
说一说
在数学中我们如何表示不等关系?
不等式的定义：用不等号连接两个解析式所得的式子，叫做不等式． 说明： (1)不等号的种类：＞、＜、≥、≤、≠． (2)解析式是指：代数式 (3)不等式研究的范围是实数集 R．
二、新课讲解
a＞b，c＞d
a+c＞b+d（同向可加性）
思考5：如果a＞b，c＞0，那么ac与bc的 大小关系如何？如果a＞b，c＜0，那么 ac与bc的大小关系如何？为什么？ a＞b，c＞0 ac＞bc； a＞b，c＜0 ac＜bc 思考6：如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么 ac与bd的大小关系如何？为什么？
a＞b，b＞c
a＜b，b＜c

a＞c；
a＜c（传递性）Hale Waihona Puke Baidu
思考3：再有一个不争的事实：若甲的年薪比乙高， 如果年终两人发同样多的奖金或捐赠同样多的善款， 则甲的年薪仍然比乙高，这里反映出的不等式性质 如何用数学符号语言表述？
a ＞b
a+c＞b+c（可加性）
思考4：还有一个不争的事实：若甲班的 男生比乙班多，甲班的女生也比乙班多， 则甲班的人数比乙班多. 这里反映出的 不等式性质如何用数学符号语言表述？
bm b bm b 0∴ ∴ am a am a
作差
变形
定符号
确定大小
不等式的证明（作差法）
对于任意两个实数 a、b，在 a＞b，a = b，a＜b 三种关系中有且仅有一种成立．
判断两个实数大小的依据是： a b ab 0 作差比较法 a b ab 0 a b ab 0 这既是比较大小(或证明大小)的基本方法,又是 推导不等式的性质的基础. 作差比较法其一般步骤是 :