最小多项式(高等代数课件)

g B ( x ) g A ( x ).
g A ( x ) 也以B为根， 从而
同理可得
g A ( x ) g B ( x ).
又 g A ( x ), gB ( x ) 都是首1多项式， g A ( x ) gB ( x ).
§7.9 最小多项式
注：反之不然，即最小多项式相同的矩阵未必相似.
如：
1 0 A 0 0
1 1 0 0
0 0 1 0
0 1 0, B 0 0 0 0 2
1 1 0 0
0 0 2 0
0 0 0 2
2 ( x 1) ( x 2), 但A与B不相似. 的最小多项式皆为
| E A | ( x 1)3 ( x 2), | E B | ( x 1)2 ( x 2)2
g1 ( x ) cg2 ( x ), c 0
又 g1 ( x ), g2 ( x ) 都是首1多项式, 故
c 1
g1 ( x ) g2 ( x ).
§7.9 最小多项式
2.（引理2）设 g ( x )是矩阵A的最小多项式，则
f ( x ) 以A为根 g ( x ) f ( x ).
§7.9 最小多项式
由最小多项式的定义， r ( x ) 0.
g ( x ) f ( x ).
由此可知： 若 g ( x )是A的最小多项式，则 g ( x )整 除 任何一 个以A为根的多项式，从而整除A的特征多项式. 即
3. 矩阵A的最小多项式是A的特征多项式的一个
因子.
§7.9 最小多项式
g( A1 ) 0 0 首先， g( A) g( A2 ) 0
即A为 g ( x ) 的根.
§7.9 最小多项式
所以 g ( x ) 被A的最小多项式整除. 其次，如果 h( A) 0, 则
h( A1 ) 0 h( A) 0 0 h( A2 )
例1、数量矩阵 kE的最小多项式是一次多项式 x k; 特别地，单位矩阵的最小多项式是 x 1 ； 零矩阵的最小多项式是 x . 反之，若矩阵A的最小多项式是一次多项式，则 A一定是数量矩阵.
1 1 0 例2、求 A 0 1 0 的最小多项式. 0 0 1
§7.9 最小多项式
且 Ai 的最小多项式为 gi ( x ), i 1,2,..., s 则A的最小多项式是为 [ g1 ( x ), g2 ( x ),..., gs ( x )].
特别地，若 g1 ( x ), g2 ( x ),..., gs ( x ) 两两互素，即
g1 ( x ), g2 ( x ),..., gs ( x ) 1
nn A P , f ( ) | E A | 由哈密尔顿―凯莱定理，
是A的特征多项式，则 f ( A) 0.
nn A P 因此，对任定一个矩阵 ，总可以找到一个
多项式 f ( x ) P[ x ], 使 f ( A) 0. 此时，也称
多项式 f ( x ) 以A为根.
第七章 线性变换
§1 线性变换的定义 §2 线性变换的运算 §3 线性变换的矩阵 §4 特征值与特征向量 §5 对角矩阵
§6线性变换的值域与核
§7不变子空间 §8 若当标准形简介 §9 最小多项式 小结与习题
§7.9 最小多项式
一、最小多项式的定义
二、最小多项式的基本性质
§7.9 最小多项式
引入
本节讨论，以矩阵A为根的多项式的中次数最低的
那个与A的对角化之间的关系.
§7.9 最小多项式
一、最小多项式的定义
定义： 设 A P nn , 在数域P上的以A为根的多项
式中，次数最低的首项系数为1的那个多项式，称 为A的最小多项式.
§7.9 最小多项式
二、最小多项式的基本性质
1.（引理1）矩阵A的最小多项式是唯一的. 证：设 g1 ( x ), g2 ( x ) 都是A的最小多项式. 由带余除法，g1 ( x ) 可表成
0 ( J aE )k 1 0 1 0
0. 0
§7.9 最小多项式
6.（定理13） A P nn与对角矩阵相似
A 的最小多项式是P上互素的一次因式的积.
证：由引理3的推广，必要性显然. 只证充分性. 根据矩阵与线性变换之间的对应关系， 设V上线性变换 在某一组基下的矩阵为A，
2 ( x 1) . ∴ A的最小多项式为
§7.9 最小多项式
4. 相似矩阵具有相同的最小多项式. 证：设矩阵A与B相似，g A ( x ), gB ( x )分别为它们的 最小多项式. 由A相似于B，存在可逆矩阵T , 从而 使
B T 1 AT .
g A ( B ) g A (T 1 AT ) T 1 g A ( A)T 0
证：充分性显然，只证必要性 由带余除法， f ( x ) 可表成
f ( x ) q( x ) g( x ) r ( x ),
其中 r ( x ) 0 或 ( r ( x )) ( g( x )).
于是有
f ( A) q( A) g( A) r ( A) 0
r ( A) 0
解：A的特征多项式为
x 1 1 0 f ( x ) | xE A | 0 x 1 0 ( x 1)3 0 0 x 1
又 A E 0,
( A E )2 A2 2 A E
1 2 0 2 2 0 1 0 0 0 1 0 0 2 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 2 0 0 1
1 1 x 1
( x n) x n1
又
A 0, A nE 0, A2 0
A( A nE ) 0.
而
A 的最小多项式为 x( x n).
§7.9 最小多项式
从而 h( A1 ) 0, h( A2 ) 0.
g1 ( x ) h( x ), g2 ( x ) h( x ).
从而
g ( x ) h( x ).
故 g ( x ) 为A的最小多项式.
§7.wk.baidu.com 最小多项式
推广： 若A是一个准对角矩阵
A1 A2 As
§7.9 最小多项式
而
0 1 0 J aE 1 0
0, 1 0
0 0 0 0, ( J aE )2 1 0 0 1 0 0
k J 的最小多项式为 ( x a ) .
g1 ( x ) q( x ) g2 ( x ) r ( x )
其中 r ( x ) 0 或 ( r ( x )) ( g2 ( x )).
于是有
§7.9 最小多项式
g1 ( A) q( A) g2 ( A) r ( A) 0
r ( A) 0
由最小多项式的定义， r ( x ) 0, 即， g2 ( x ) g1 ( x ). 同理可得， g1 ( x ) g2 ( x ).
从而A相似于对角矩阵.
§7.9 最小多项式
8.
A C nn与对角矩阵相似
A 的最小多项式没有重根.
练习：
1 1 1 1 求矩阵 A 1 1 1 1 的最小多项式 . 1
§7.9 最小多项式
解： 的特征多项式
x 1 1 1 x 1 f ( x ) | E AE | 1 1
则A的最小多项式是为 g1 ( x ) g2 ( x )... gs ( x ).
§7.9 最小多项式
6.（引理4）k 级若当块
a 1 a J 1
1 a
k ( x a ) . 的最小多项式为
k ( x a ) 证：J的特征多项式为
( J aE )k 0.
则 的最小多项式与A的最小多项式相同,设为 g( x ), 则
g( )(V ) 0.
§7.9 最小多项式
若 g ( x )为P上互素的一次因式的乘积：
g( x ) ( x a1 )( x a2 )...( x as )
则
V V1 V2 ... VS ,
其中 Vi { | V ,( ai E )( ) 0}. （此结论的证明步骤同定理 12） ,VS各自的基合起来就是 把V V的一组基. 1 ,V2 , 在这组基中，每个向量都属于某个 Vi ， 即是 的 特征向量. 所以, 在这组基下的矩阵为对角矩阵.
即 | E A || E B | .
§7.9 最小多项式
所以，A与B不相似.
5.（引理3）设A是一个准对角矩阵
A1 0 A 0 A 2 并设 A1 , A2 的最小多项式分别为 g1 ( x ), g2 ( x ).
则A的最小多项式为 g1 ( x ), g2 ( x )的最小公倍式. 证：记 g( x ) [ g1 ( x ), g2 ( x )]