《随机过程》第5章-布朗运动

定
义
性 ������ ������2 − ������ ������1 (������1 < ������2)的概率密度函数为 质
推 广
������ ������; ������2 − ������1 =
1
������−2(������2������−2 ������1)
2������(������2 − ������1)
布朗运动又称维纳过程；
性 • 是具有连续时间参数和连续状态空间的一类随机过程； 质
• 在金融领域的证券市场中（如债券、期权等），有着极其 重要的应用。将布朗运动与股票价格行为联系在一起，进
推 而建立起维纳过程的数学模型是本世纪的一项具有重要意 广 义的金融创新，在现代金融数学中占有重要地位。
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当������1 > ������2时， ������ ������1, ������2 = ������2������2
推 ∴ ������ ������1, ������2 = ������2 min ������1, ������2 广
∴ ������������������������ ������1, ������2 = ������ ������1, ������2 − ������ ������ ������1 ������ ������ ������2 = ������2 min ������1, ������2
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《随机过程》第5章-布朗运动
1 基本概念
有限维联合分布
背 设*������ ������ , ������ ≥ 0+为标准布朗运动，对∀0 = ������0 < ������1 < ⋯ < ������ ������������ )的联合概率密度函数为
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《随机过程》第5章-布朗运动
1 基本概念
例：设布朗运动������ ������ ~������(0, ������2������)，求其均值、方差、协方差及相关函数。
背 解： 景 由布朗运动定义可得：
������������(������) = ������ ������ ������ = 0, ������������(������)2 = ������������������ ������ ������ = ������2������
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《随机过程》第5章-布朗运动
1 基本概念
背 定义：若随机过程*������ ������ , ������ ≥ 0+满足： 景 (1) ������ ������ 关于������是连续函数
增量服从 正态分布
(2) *������ ������ , ������ ≥ 0+具有平稳独立增量
定 义
(3) ∀������, ������ > 0, ������. ������.
定 义 当������1 < ������2时，由布朗运动的独立增量性及������ ������ ������ = 0，可得：
������ ������1, ������2 = ������ ������ ������1 ������(������2) = ������ ������ ������1 ������ ������2 − ������ ������1 + ������2(������1)
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《随机过程》第5章-布朗运动
1 基本概念
概率密度函数
设*������ ������ , ������ ≥ 0+为标准布朗运动，在时刻������的概率密度函数为 背
景
������ ������; ������ = 1 ������−���2���2������
2������������
性 其中，
质
������ ������0 = ������ 0 = 0且������0 = 0
推
• 若������ 0 = 0，则∀������ > 0, ������. ������. ������ ������ ~������(0, ������2������)
广
• 若������ 0 = 0，则∀������ > 0, ������. ������. ������ ������ ~������(0, ������)
性 质
= ������ ������ ������1 − ������(0) ������ ������2 − ������ ������1 + ������ ������2(������1) = ������ ������ ������1 − ������(0) ������ ������ ������2 − ������ ������1 + ������ ������ ������1 − ������������(������1) 2 = ������2������1
定
������
义
������������ ������1, ⋯ , ������������; ������1, ⋯ , ������������ = ������ ������������ − ������������−1; ������������ − ������������−1
������=1
LOGO
随机过程
第五章 布朗运动
1 布朗运动的基本概念 2 布朗运动的首中时及最大值 3 布朗运动的应用
1 基本概念
• 最初由英国生物学家布朗(Brown)于1827年提出这种物理现 背 象； 景
• 1905年爱因斯坦首次对这一现象的物理规律给出数学描述；
定 • 1918年维纳(Wiener)运用数学理论严格描述这种无规则运 义 动，并用随机过程理论和概率理论建立了数学模型。因此
������ ������ + ������
− ������ ������ ~������(0, ������2������)
则称随机过程*������ ������ , ������ ≥ 0+为布朗运动（或维纳过程）。
性 当������ = 1时，称随机过程*������ ������ , ������ ≥ 0+为标准布朗运动，记为 质 *������ ������ , ������ ≥ 0+