研究整除的一些性质及带余数除法

课题数除法

作者：甘翔

单位:江西科技师范学院数计学院数1班邮编：330200 指导老师：余志成

目录：1.介绍研究课题的背景、目的及方法

2.介绍整除的概念极其性质并研究判断一个数能否被另一个数整除的几种方法。

3.带余数除法的定义和关于其在其他方面的应用。

4.对以上的研究做总结。

内容摘要：整除是初等数论这一门科目的基础概念，许多方面的题目的解法涉及到了整除，所以弄清整除的概念极其基本的解题方法是十分必要的。而带余数除法则是所有除法的一般表达形式，也应知其在一些问题上的应用。在本论文中，主要是研究了迅速判断能被某一些特定数整除的数所需的一些性质，解整除的一些解法，还有带余数除法在其他问题中的一些应用。

关键词：整除带余数除法同余

Abstract：Is divisible by the number of primary subjects of the basic concepts of this

door, and many aspects of the subject method involve the divisible, so understand the concept of divisible very basic solution method is necessary. In addition to rule with a remainder which is all the division's general expression, it should have known that a number of issues in the application. In this paper is to study the rapidly determine the number can be divisible by a number of specific requirements of some properties of solutions of a number divisible solution, there is division with remainder on other issues in

some applications.

Keywords：Divisible Division with remainder

Congruence

一．研究课题的背景、目的及方法

1.整除是初等数论这一科目的基础概念，而带余数除法是所有除法的一般

形式，所以深度了解这两种理论的该念、性质和应用是十分必要的。

2首先是整除，大部分关于整除的题目就是要我们判断一个数能否被另一个数整除，如果我们可以总结一些能被一些特殊的数整除的数所需具备的条件，那么在一些题目的解答过程中就可以节约许多时间。所以我会列举一些能被某些数整除的数的性质，以便于以后计算的方便。在整除的题目的解法中，有分类讨论的，利用带余数除法的，更多的是与同余有关，接下去我会列举几个例子，分别来用这3种方法解答，使我们能掌握不同的解题方法，有助于以后的解题。

3.再接下去，就来分析带余数除法在其他各方面的应用，着重介绍辗转

相除法，还有用同余的方法求一个数被另一个数除的余数的解法。以便于我们更深刻地了解带余数除法。

4.以上所有的问题的研究都会采取举例子的方法来进行剖析，在实际的

例子里人们总能更迅速的了解。

二．整除的定义、性质及一些解题方法

1.整除的定义：设a,b是任意两个整数，其中b≠0，如果存在一个整数q 使得等式a=bq成立，我们就说b整除a或a被b整除，记作b∣a，此时我们把b叫作a的因数，把a叫作b的倍数。[1]

2.整除的性质：

1）若c∣a，c∣b，则c∣a±b。

2）若b∣a,c是任意整数，则b∣ac。

3）若b∣a，c∣a,且b与c互质，那么bc∣a。反过来也成立。

4）若对任意a，±1∣a，±a∣a。

5）若a∣b，b∣a，则∣a∣=∣b∣。

3.总结一些能被某些数整除的数的条件：

1）：任何数都能被1整除。

2）：个位上是2、4、6、8、0的数都能被2整除。

3）：每一位上数字之和能被3整除，那么这个数就能被3整除。

4）：最后两位能被4整除的数，这个数就能被4整除。

5）：个位上是0或5的数都能被5整除。

6）：一个数只要能同时被2和3整除，那么这个数就能被6整除。

7）：把个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，差是7的倍数，则原数能被7整除。

8）：最后三位能被8整除的数，这个数就能被8整除。

9）：每一位上数字之和能被9整除，那么这个数就能被9整除。

10）：若一个整数的末位是0，则这个数能被10整除。

11）：若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除。11的倍数检验法也可用上述检查7的割尾法处理！过程唯一不同的是：倍数不是2而是1！

12）：若一个整数能被3和4整除，则这个数能被12整除。

13）：若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果差是13的倍数，则原数能被13整除。如果差太大或心算不易看出是否13的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。

14）：a 若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。如果差太大或心算不易看出是否17的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。b 若一个整数的末三位与3倍的前面的隔出数的差能被17整除，则这个数能被17整除。

15)：a 若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的2倍，如果差是19的倍数，则原数能被19整除。如果差太大或心算不易看出是否19的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。b 若一个整数的末三位与7倍的前面的隔出数的差能被19整除，则这个数能被19整除。

16）：若一个整数的末四位与前面5倍的隔出数的差能被23整除，则这个数能被23整除。

17）：若一个整数的末四位与前面5倍的隔出数的差能被29整除，则这个数能被29整除。

18）：若一个整数的末四位与前面的数的差能被73整除，则这个数能被73整除。

19）：若一个整数的末四位与前面的数的差能被137整除，则这个数能被137整除。

20）：若一个整数的末四位与前面5倍的隔出数的差能被23(或29)整除，则这个数能被23整除。

切记：0 不能做除数！

举例证明：7）：把个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，差是7的倍数，则原数能被7整除。

例：①147，截去个位数字后为14，用14-7*2=0，0是7的倍数，所以147也是7的倍数。

②2198，截去个位数字后为219，用219-8*2=203；继续下去，截去个位数字后为20，用20-3*2=14，14是7的倍数，所以2198也是7的倍数。

证明过程：

设p=a1+a2*10+a3*10^2+...+a(n-1)*10^(n-1)+an*10^n

q=a2+a3*10+...+a(n-1)*10^(n-2)+an*10^(n-1)-2a1

2p+q=21(a2+a3*10+...+an*10^(n-1))

又因为21=7*3，所以若p是7的倍数,那么可以得到q是7的倍数

4.关于整除的题目的解法：

1）分类讨论：对题目中的未知量进行讨论，来得出几种结果，再根