函数展开成幂级数讲解
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把 x 换成 x 2 , 得
n 0
(1)
x
2n
( 1 x 1 ).
17
例2 将 f ( x ) e 2 x 展开成x的幂级数. 2 3 x x 1 n x 解 e 1 x x , x (, ) 2! 3! n 0 n ! 将-2x代入上式中x的位置，即得
f ( x)
a
n 0
n
x
n
问题: 1.如果能展开, a n 是什么? 2.展开式是否唯一? 3.在什么条件下才能展开成幂级数?
6
函数能展开成幂级数的定义:
给定函数 如果能找到一个幂级数，使得 它在某区间内收敛，且其和恰好就是给定的函数 则称函数在该区间内能展开成幂级数
f ( x)
例如:
x
a
n
f ( n ) (0) (0) 1 (n 0 ,1,), an n!
x
( n 1)!
0，
e x n 1 e (n 1)!
lim Rn ( x ) 0.
n
x
( 在0与x 之间)
ex
1 n x , x ( , ) n 0 n !
n 0
( an x n ) (an x n )
n 0
x
n 0
x x0
收敛域 x
x ( R , R )
x ( R , R )
2
n 0
0 ( an x )d x (an xn )d x
n
x
n 0
n 0
0
二、幂级数和函数的求法
• 求部分和式的极限 （在收敛区间内） •逐项求导或求积分法
e
2 x
1 ( 2 x )n , x ( ,) n 0 n!
展开成x的幂级数. 1 1 n n 5 5 n ( 2 ) x ， x ( ,) x ( 2 x ) n 0 n! n 0 n!
5 2 x
思考： 将 f ( x ) x e
n 0
an x
S ( x)
n
逐项求导或求积分
n 0
(an x n )
求和
难
*
对和式积分或求导
S ( x)
3
第五节 函数展开成幂级数
本节内容: 一、泰勒 ( Taylor ) 级数 二、函数展开成幂级数
展开方法
直接展开法
第九章
间接展开法
4
函数能展开成幂级数的定义:
给定函数 如果能找到一个幂级数，使得 它在某区间内收敛，且其和恰好就是给定的函数 则称函数在该区间内能展开成幂级数
16
2. 间接展开法 根据唯一性, 利用已知的函数展开式, 通过变量 代换, 四则运算, 恒等变形, 逐项求导, 逐项积分等方法, 将所给函数展开成幂级数.
函数
例1. 将函数
转化
已知展开式的新函数
展开成 x 的幂级数.
( 1)n x n , x ( 1 , 1 )
n 0
n
1 1 x x2 x3 解: 1 x
1 2 1 3 故 e 1 x x x 2! 3!
x
1 n x n!
, x ( , )
14
例 2. 将 解: f
(n)
展开成 x 的幂级数.
( x) 0 , n 2k (n) f (0) (1)k , n 2 k 1
x3 x5 (5) sin x x 3! 5!
x2 x4 (6) cos x 1 2! 4!
2 n 1 (1)n (2n1 x , x (, ) 1)! n 0
2n (1)n (21 x , x (, ) n)! n 0
3.泰勒级数的收敛定理: 定理1 . 设函数 f (x) 在点 x0 的某一邻域
内具有
各阶导数, 则 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的充要 条件是 f (x) 的泰勒公式中的余项满足: lim Rn ( x ) 0. 证明: f ( x )
n 0
f ( x0 ) ( x x0 )n , x ( x0 ) n!
a0 f (0) a1 f (0)
1 f (0) f ( x) 2!a2 n(n 1)an x n 2 ; a 2 2 !
f ( n ) ( x ) n ! an ;
显然结论成立 .
1 f ( n ) (0) an n !
11
1 ( n) 其中an f ( x0 )， (n 0,1, 2, ) 1 ）用f ( x )可构造 an ( x x0 ) ， n! n 0 2)幂级数的展开式是唯一的.
8
Hale Waihona Puke 2.泰勒级数定义: 若函数 的某邻域内具有任意阶导数, 则称 f ( x0 ) 2 ( x x0 ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) 2 ! ( n) f ( n ) ( x0 ) f ( x0 ) n ( x x0 ) ( x x0 ) n n! n! n 0 为f (x) 的泰勒级数 . 当x0 = 0 时, 泰勒级数
二、函数展开成幂级数
展开方法
直接展开法 — 利用泰勒公式
间接展开法 — 利用已知其级数展开式的函数展开
1. 直接展开法 由泰勒级数理论可知, 函数 f ( x) 展开成幂级数的步 骤如下 : f ( n ) ( x0 ) ; 第一步 求 an n! f ( n ) ( x0 ) n ( x x ) 第二步 写出泰勒级数 n ! , 并求出其收敛 0 n 0 半径 R ;
x2 x3 x4 (1)n1 n x , x (1, 1] (3) ln(1 x ) x 2 3 4 n n 1 2 3 x x 1 n x (4) e 1 x x , x (, ) 2! 3! n 0 n !
n 0
n
x
n
1 2 1 3 e 1 x x x , x 无穷级数 2! 3! 1 2 1 3 1 n x x Rn ( x ) 有限形式 e 1 x x x 2! 3! n! 表示函数 7
一、泰勒 ( Taylor ) 级数
1.回忆泰勒公式 若函数 该邻域内有 : 的某邻域内具有 n + 1 阶导数, 则在
n0
f ( n ) ( 0) n x 又称为麦克劳林级数 . n!
待解决的问题 :
f ( x) f ( x)
？
f ( n ) ( x0 ) n ( x x ) 0 n ! n0 n f ( n ) ( x0 ) n ( x x ) Rn ( x ) 0 n! n 0
9
9-5 函数展开成幂级数
1
复习
1.幂级数和函数的分析运算性质:
定理 若幂级数 的收敛半径
S ( x ) an x n
则其和函
n 0
且在收敛区间内可逐项求导与 在收敛域上连续；
逐项求积分, 运算前后收敛半径相同，即
lim an x lim (an x n ) x x
n
0
Rn ( x )是否为 0. 第三步 判别在收敛区间(－R, R) 内 lim n
若 lim Rn ( x ) 0， 则 f ( x )
n
n 0
f ( n ) ( x0 ) ( x x0 )n . n!
13
例1. 将函数 解: f
( n) x
展开成 x 的幂级数.
( x0 ) f 2 f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) 2! (n) f ( x0 ) ( x x0 ) n Rn ( x) n!
f
( n 1)
此式称为 f (x) 的 n 阶泰勒公式 ,其中
( ) Rn ( x) ( x x0 ) n 1 ( 在 x 与 x0 之间) (n 1) ! 称为拉格朗日余项 .
n
说明：
3 ）f ( x )
n 0
f ( n ) ( x0 ) ( x x0 )n lim Rn ( x ) 0， n n!
问题: 1.如果能展开, a n 是什么? 2.展开式是否唯一?
f ( x)
？
n a x n n 0
3.在什么条件下才能展开成幂级数?
12
n
( n)
n
泰勒级数 收敛于f(x)
n
lim Rn ( x) lim f ( x) S n 1 ( x) 0 ,
n
f ( k ) ( x0 ) k 令Sn 1 ( x) ( x x0 ) k! k 0 f ( x) S n 1 ( x) Rn ( x)
f ( x)
例如:
x
a
n 0
n
x
n
1 2 1 3 e 1 x x x , x 2! 3! x2 x3 ln(1 x ) x , 1 x 1 2 3
5
函数能展开成幂级数的定义:
给定函数 如果能找到一个幂级数，使得 它在某区间内收敛，且其和恰好就是给定的函数 则称函数在该区间内能展开成幂级数
( n)
( x) e , f 1 n 1 n 1 2 1 3 故得级数 1 x x x x n ! x n 0 3! n! 2! n 1
1 1 其收敛半径为 R lim n ! (n 1) ! n 对任何有限数 x , 其余项满足
lim
n 0
f ( n ) (0) n x n!
(k 0 , 1, 2 ,)
1 x 3 1 x 5 ( 1)n 1 x 2 n1 x 得级数: (2 n1)! 3! 5!
其收敛半径为 R , 对任何有限数 x , 其余项满足 sin( (n 1) ) n 1 2 n x (n 1)!
sin x x
sin x
n 0 n
1 3!
x
3
1 5!
x
5
(1)
n
1 (2 n1)!
x
2 n 1
15
2 n 1 ( 1) (2n1 x , x ( , ) 1)!
x ( , )
常用函数的幂级数展开式（要求牢记！） 1 (1) 1 x x 2 x 3 x n , x ( 1, 1) 1 x n 0 1 (2) 1 x x 2 x 3 (1)n x n , x (1,1) n 0 1 x
18
1 例3 将 f ( x ) 2 展开成x的幂级数. x 5x 6 1 2 3 n 1 x x x x ，x (1,1) 解 1 x n 0 1 1 1 f ( x) ， (2 x )(3 x ) 2 x 3 x 1 x n x 1 1 1 ( ) ， x ((2 ,21 ) ,1) x 2 n0 2 2 x 2 2 1
x 5e 2 x
x 将 f ( x ) 2 展开成x的幂级数. n 1 (ln 2) n n x ln2 f f ( x ln x( ( , (( xx ) ) x 2) , ,x , ) ) f ( x) e !! n n0 0 n n
x 1 1 1 1 x n ( ) ， x ( 3,(3 ) 1,1) 3 x 3 1 x 3 n0 3 3 3 1 x n 1 x n 1 n f ( x ) ( ) ( ) ( n 1 1 ) x . x (2,2); n 1 2 n0 2 3 n 0 3 3 n 0 2
x ( x0 )
10
4.系数的惟一性定理: 定理2. 若 f (x) 能展成 x 的幂级数, 则这种展开式是
1 ( n) ( n 0,1, 2, )， 惟一的 , 且 an f (0)， n!
证: 设 f (x) 所展成的幂级数为 则
f ( x) a1 2a2 x nan x n 1 ;
n 0
(1)
x
2n
( 1 x 1 ).
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例2 将 f ( x ) e 2 x 展开成x的幂级数. 2 3 x x 1 n x 解 e 1 x x , x (, ) 2! 3! n 0 n ! 将-2x代入上式中x的位置，即得
f ( x)
a
n 0
n
x
n
问题: 1.如果能展开, a n 是什么? 2.展开式是否唯一? 3.在什么条件下才能展开成幂级数?
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函数能展开成幂级数的定义:
给定函数 如果能找到一个幂级数，使得 它在某区间内收敛，且其和恰好就是给定的函数 则称函数在该区间内能展开成幂级数
f ( x)
例如:
x
a
n
f ( n ) (0) (0) 1 (n 0 ,1,), an n!
x
( n 1)!
0，
e x n 1 e (n 1)!
lim Rn ( x ) 0.
n
x
( 在0与x 之间)
ex
1 n x , x ( , ) n 0 n !
n 0
( an x n ) (an x n )
n 0
x
n 0
x x0
收敛域 x
x ( R , R )
x ( R , R )
2
n 0
0 ( an x )d x (an xn )d x
n
x
n 0
n 0
0
二、幂级数和函数的求法
• 求部分和式的极限 （在收敛区间内） •逐项求导或求积分法
e
2 x
1 ( 2 x )n , x ( ,) n 0 n!
展开成x的幂级数. 1 1 n n 5 5 n ( 2 ) x ， x ( ,) x ( 2 x ) n 0 n! n 0 n!
5 2 x
思考： 将 f ( x ) x e
n 0
an x
S ( x)
n
逐项求导或求积分
n 0
(an x n )
求和
难
*
对和式积分或求导
S ( x)
3
第五节 函数展开成幂级数
本节内容: 一、泰勒 ( Taylor ) 级数 二、函数展开成幂级数
展开方法
直接展开法
第九章
间接展开法
4
函数能展开成幂级数的定义:
给定函数 如果能找到一个幂级数，使得 它在某区间内收敛，且其和恰好就是给定的函数 则称函数在该区间内能展开成幂级数
16
2. 间接展开法 根据唯一性, 利用已知的函数展开式, 通过变量 代换, 四则运算, 恒等变形, 逐项求导, 逐项积分等方法, 将所给函数展开成幂级数.
函数
例1. 将函数
转化
已知展开式的新函数
展开成 x 的幂级数.
( 1)n x n , x ( 1 , 1 )
n 0
n
1 1 x x2 x3 解: 1 x
1 2 1 3 故 e 1 x x x 2! 3!
x
1 n x n!
, x ( , )
14
例 2. 将 解: f
(n)
展开成 x 的幂级数.
( x) 0 , n 2k (n) f (0) (1)k , n 2 k 1
x3 x5 (5) sin x x 3! 5!
x2 x4 (6) cos x 1 2! 4!
2 n 1 (1)n (2n1 x , x (, ) 1)! n 0
2n (1)n (21 x , x (, ) n)! n 0
3.泰勒级数的收敛定理: 定理1 . 设函数 f (x) 在点 x0 的某一邻域
内具有
各阶导数, 则 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的充要 条件是 f (x) 的泰勒公式中的余项满足: lim Rn ( x ) 0. 证明: f ( x )
n 0
f ( x0 ) ( x x0 )n , x ( x0 ) n!
a0 f (0) a1 f (0)
1 f (0) f ( x) 2!a2 n(n 1)an x n 2 ; a 2 2 !
f ( n ) ( x ) n ! an ;
显然结论成立 .
1 f ( n ) (0) an n !
11
1 ( n) 其中an f ( x0 )， (n 0,1, 2, ) 1 ）用f ( x )可构造 an ( x x0 ) ， n! n 0 2)幂级数的展开式是唯一的.
8
Hale Waihona Puke 2.泰勒级数定义: 若函数 的某邻域内具有任意阶导数, 则称 f ( x0 ) 2 ( x x0 ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) 2 ! ( n) f ( n ) ( x0 ) f ( x0 ) n ( x x0 ) ( x x0 ) n n! n! n 0 为f (x) 的泰勒级数 . 当x0 = 0 时, 泰勒级数
二、函数展开成幂级数
展开方法
直接展开法 — 利用泰勒公式
间接展开法 — 利用已知其级数展开式的函数展开
1. 直接展开法 由泰勒级数理论可知, 函数 f ( x) 展开成幂级数的步 骤如下 : f ( n ) ( x0 ) ; 第一步 求 an n! f ( n ) ( x0 ) n ( x x ) 第二步 写出泰勒级数 n ! , 并求出其收敛 0 n 0 半径 R ;
x2 x3 x4 (1)n1 n x , x (1, 1] (3) ln(1 x ) x 2 3 4 n n 1 2 3 x x 1 n x (4) e 1 x x , x (, ) 2! 3! n 0 n !
n 0
n
x
n
1 2 1 3 e 1 x x x , x 无穷级数 2! 3! 1 2 1 3 1 n x x Rn ( x ) 有限形式 e 1 x x x 2! 3! n! 表示函数 7
一、泰勒 ( Taylor ) 级数
1.回忆泰勒公式 若函数 该邻域内有 : 的某邻域内具有 n + 1 阶导数, 则在
n0
f ( n ) ( 0) n x 又称为麦克劳林级数 . n!
待解决的问题 :
f ( x) f ( x)
？
f ( n ) ( x0 ) n ( x x ) 0 n ! n0 n f ( n ) ( x0 ) n ( x x ) Rn ( x ) 0 n! n 0
9
9-5 函数展开成幂级数
1
复习
1.幂级数和函数的分析运算性质:
定理 若幂级数 的收敛半径
S ( x ) an x n
则其和函
n 0
且在收敛区间内可逐项求导与 在收敛域上连续；
逐项求积分, 运算前后收敛半径相同，即
lim an x lim (an x n ) x x
n
0
Rn ( x )是否为 0. 第三步 判别在收敛区间(－R, R) 内 lim n
若 lim Rn ( x ) 0， 则 f ( x )
n
n 0
f ( n ) ( x0 ) ( x x0 )n . n!
13
例1. 将函数 解: f
( n) x
展开成 x 的幂级数.
( x0 ) f 2 f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) 2! (n) f ( x0 ) ( x x0 ) n Rn ( x) n!
f
( n 1)
此式称为 f (x) 的 n 阶泰勒公式 ,其中
( ) Rn ( x) ( x x0 ) n 1 ( 在 x 与 x0 之间) (n 1) ! 称为拉格朗日余项 .
n
说明：
3 ）f ( x )
n 0
f ( n ) ( x0 ) ( x x0 )n lim Rn ( x ) 0， n n!
问题: 1.如果能展开, a n 是什么? 2.展开式是否唯一?
f ( x)
？
n a x n n 0
3.在什么条件下才能展开成幂级数?
12
n
( n)
n
泰勒级数 收敛于f(x)
n
lim Rn ( x) lim f ( x) S n 1 ( x) 0 ,
n
f ( k ) ( x0 ) k 令Sn 1 ( x) ( x x0 ) k! k 0 f ( x) S n 1 ( x) Rn ( x)
f ( x)
例如:
x
a
n 0
n
x
n
1 2 1 3 e 1 x x x , x 2! 3! x2 x3 ln(1 x ) x , 1 x 1 2 3
5
函数能展开成幂级数的定义:
给定函数 如果能找到一个幂级数，使得 它在某区间内收敛，且其和恰好就是给定的函数 则称函数在该区间内能展开成幂级数
( n)
( x) e , f 1 n 1 n 1 2 1 3 故得级数 1 x x x x n ! x n 0 3! n! 2! n 1
1 1 其收敛半径为 R lim n ! (n 1) ! n 对任何有限数 x , 其余项满足
lim
n 0
f ( n ) (0) n x n!
(k 0 , 1, 2 ,)
1 x 3 1 x 5 ( 1)n 1 x 2 n1 x 得级数: (2 n1)! 3! 5!
其收敛半径为 R , 对任何有限数 x , 其余项满足 sin( (n 1) ) n 1 2 n x (n 1)!
sin x x
sin x
n 0 n
1 3!
x
3
1 5!
x
5
(1)
n
1 (2 n1)!
x
2 n 1
15
2 n 1 ( 1) (2n1 x , x ( , ) 1)!
x ( , )
常用函数的幂级数展开式（要求牢记！） 1 (1) 1 x x 2 x 3 x n , x ( 1, 1) 1 x n 0 1 (2) 1 x x 2 x 3 (1)n x n , x (1,1) n 0 1 x
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1 例3 将 f ( x ) 2 展开成x的幂级数. x 5x 6 1 2 3 n 1 x x x x ，x (1,1) 解 1 x n 0 1 1 1 f ( x) ， (2 x )(3 x ) 2 x 3 x 1 x n x 1 1 1 ( ) ， x ((2 ,21 ) ,1) x 2 n0 2 2 x 2 2 1
x 5e 2 x
x 将 f ( x ) 2 展开成x的幂级数. n 1 (ln 2) n n x ln2 f f ( x ln x( ( , (( xx ) ) x 2) , ,x , ) ) f ( x) e !! n n0 0 n n
x 1 1 1 1 x n ( ) ， x ( 3,(3 ) 1,1) 3 x 3 1 x 3 n0 3 3 3 1 x n 1 x n 1 n f ( x ) ( ) ( ) ( n 1 1 ) x . x (2,2); n 1 2 n0 2 3 n 0 3 3 n 0 2
x ( x0 )
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4.系数的惟一性定理: 定理2. 若 f (x) 能展成 x 的幂级数, 则这种展开式是
1 ( n) ( n 0,1, 2, )， 惟一的 , 且 an f (0)， n!
证: 设 f (x) 所展成的幂级数为 则
f ( x) a1 2a2 x nan x n 1 ;