传感器计算题详解

《传感器与传感器技术》计算题
解题指导(供参考)
第1章传感器的一般特性
1- 5某传感器给立精度为2%F ・S,满度值为50mV.零位值为10mV,求可能出现的最大误差&以mV 计)。

当传感器使用在满量程的1/2和1/8时，计算可能产生的测量百分误差。

由你的汁算结果能得出什么结 论？ 解：满量程(F-S )为 50~10=40(mV)
可能出现的最大误差为：
A m =40x2%=0.8(mV)
当使用在1/2和1/8满量程时，英测量相对误差分别为：
()Q
=一:一xlOO%. =4% 40 xg
Y = ° S x 100% = 16% ・40x 丸
1-6有两个传感器测量系统，其动态特性可以分别用下而两个微分方程描述，试求这两个系统的时间常 数I 和静态灵敏度K 。

3O^ + 3y = 1.5xlO-5T 式中，y 为输出电压，V ： T 为输入温度,r 0 1.4 —+ 4.2y = 9.6x
dt
式中，y ------- 输出电压，pV ； x ------ 输入压力，Pa 。

解：根据题给传感器微分方程，得
(1)
1-7设
用一个时间常数uO.ls 的一阶传感器检测系统测量输入为x(0=sin4/+0.2sin40/的信号，试求其输岀 )心)的表达式。

设静态灵敏度 后―
解 根据叠加性，输岀W )为xi(/)=sin4r 和x 2(/)= 0.2sin40r 单独作用时响应门⑴和比⑴的叠加，即y(/)=
由频率响应特性：
K
v t (/) = ■，- ■ - sin[4/ + arctanC-^r)] J1 +(卯尸
1
一
\/F+(4X O ・1)2
= 0.93sin(4/-21・8°)
*(/) =
1
--------- x 0.2sin[40/ - arctan(40 x 0.1)] J1 +(40x0.1)2
= 0.049sin(40/-75.96°)
所以
y(t)= yj(O+ v 2(0=0.93sin(4/-21.8°)+0.049sin(40r-75.96°)
1-8试分析人空◎ + By(t) = Cx(t)传感器系统的频率响应特性。

dt
解传感器系统的时间常数&A/B,灵敏度K=C/B.所以，其频率响应为
C/B
相频特性为
= -arctan(di4/B)
1-9已知一热电偶的时间常数T=10s,如果用它来测量一台炉子的温度，炉内温度在540C 至500C 之间 接近正弦曲线波动.周期为80s,静态灵敏度K=l°试求该热电偶输出的最大值和最小值。

以及输入与输出 之间的相位差和滞后时间。

解：依题意，炉内温度变化规律可表示为
(1)
(2) T =3O/3=1O ⑸，
K=\.5x\O-5/3=O.5x 1 OF V/°C):
T =1.4/4.2=1/3 ⑸，
/f=9.6/4.2=2.29(nV/Pa)o
• sin [4/- arctan(4x0.1)
q (0)= 、 ---------- ?
J1 +(曲/”)2
x(t) =52O+2Osin(cot)r
由周期T=80s,则温度变化频率＞1/7.其相应的圆频率CO=2K/^2K/8O=K/4O：温度传感器(热电偶)对炉内温度的响应＞心)为
y(/)=520+Bsin(劲+0°C
热电偶为一阶传感器，其响应的幅频特性为
= 0.786
因此，热电偶输岀信号波动幅值为
B=20 x A@)=20 x 0.786= 15.7 °C 由此可得输出温度的最大值和最小值分别为
y(/)l max=520+B=520+15.7=535.7°C
y(0l min=520 ・ B=520-15.7=5043°C
输岀信号的相位差0为
理3)= -arctan(co r )= -arctan(27r/8OxlO)= -38.2°
相应的时间滞后为
Ar =——x3&2 = 8.4(s)
360
1-10 一压电式加速度传感器的动态特性可以用如下的微分方程来描述，即
±^ + 3.OxlO3—+ 2.25 xl0,o y = 11.0x 10 铁
dt2dt丿
式中，y为输出电荷虽:，pC； x为输入加速度，nVs2o
试求其固有振荡频率6和阻尼比S
解：由题给微分方程可得
叫=^(2.25 xlO10 )/1 = 1.5 x 1 OSd / Q
30x105 =0.01
2xV2.25xl0lo xl
1-11某压力传感器的校准数据如表1・5所示，试分别用端点连线法和最小二乘法求非线性误差，并计算迟滞和重复性误差：写出端点连线法和最小二乘法拟合直线方程。

(最小二乘法线性拟合原理和方法见末尾附录)
1・5
(1)端点连线法设直线方程为
尸a(＞+g
取端点(XH yi) = (0, -2.70)和(畑V6)= (0.10, 14.45)。

则的由加=0时的jo值确定，即
♦求迟滞误差:
压力
(MPa) 输出值(mV) 笫一次循坏
第二次循坏
笫三次循坏
正行程 反行程 迟滞
正行程 反行程 迟滞
正行程 反行程
迟滿
0 -2.73 -2.71 0.02 -2.71 -2.68 0.03 -2.68 -2.69 0.01 0.02 0.56 0.66 0」0 0.61 0.68 0.07 0.64
0.69 0.05 0.04 3.96 4.06 0.10 3.99 4.09 0.1() 丄()3
4」1 0.08 0.06 7.40 7.49 0.09 7.43 7.53 0.1() 7.45 7.52 0.07 0.08 10.88 10.95 0.07 10.89 10.93 0.04 10.94 10.99 0.05 0」0
14.42
14.42
14.47
14.47
0.0
14.46
14.46
0.0
最大迟滞为O.lOmV,所以迟滞误差为
话=± ------- — ----- xlOO% = ±0.58%
” 14.45-(-2.70)
(2)最小二乘法 设直线方程为
y=ao+kx
数据处理如下表所示。

序号
:
2 3 4 5 6 Z
A
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.3 y
-2.70 0.64 4.04 7.47 10.93 14.45 34.83
0.0004 0.0016 0.0036 0.0064 0.01 0.022 巧
0.0128
0.1616
0.4482
0.8744
1.445
2.942
根据以上处理数据，可得直线方程系数分别为:
£由直线的斜率确宦，即
| =-2.70 (mV)
^ = 2±-21= 14 45 ~(~2/70)= 171.5 (mV/MPa) 欠6 — A'|
0.10—0
拟合直线方程为
v=—2・70+171・5x
压力 (MPa)
校验平均值
(mV)
宜线拟合值
(mV) 非线性课差
(mV)
RA ：非线性误差
(mV)
0 -2.70 -2.70 0
0.02 0.64 0.73 4).09
0.04 4.04 4」6 -0.12 012
0.06 7.47 7.59 -0.12 0.08
10.93 11.02 -0.09
0.10
14.45
14.45
^=±M.45：(-2.70)X10Q% = ±Q -7%
压力 (MPa)
输出值(mV)
正行祝
反行程
1
2 3 不重复谋差
1 2 3 不觅笑误差
0 -2.73 -2.71 -2.68 0.05 -2.71 •2.68 -2.69 ().03 0.02 0.56 0.61 0.64 0.08 0.66 0.68 0.69 ().03 0.04 3.96 3.99 4.03 0.07 4.06 4.09 4.11 ().05 0.06 7.40 7.43 7.45 0.05 7.49 7.53 7.52 0.04 0.08 10.88 10.89 10.94 0.06 10.95 10.93 10.99 0.04 0」0
14.42
14.47
14.46
0.05
14.42
14.47
14.46
0.05
最大不重复误差为0.08 mV,则重复性误差为
0.08
14.45-(-2.70)
x 100% = ±0.47%
A （e ）=『
=0.975
V （1-0.52）2 +4X 0.72 X 0.52
1-14用一只时间常数T =0.3 18s 的一阶传感器去测量周期分别为Is 、2s 和3s 的正弦信号，问幅值相
对误差为多少？
解：由一阶传感器的动态误差公式
Z=
7F7W _I
T =0.3 18s
(1) 7 = ls=> f = \Hz. =>co = 2兀(rad) =>7i= , 】
_ 1 = -55.2%
Jl + (2/rx0・318)2 (2) T = 2s => f = 0.5Hz. => co =兀(rad) =>
= —29.3%
1 ?
(3) T = 3s=> f = —Hz => &)= —7r(rad) => = -16.8%
3 3
1-15已知某二阶传感器系统的固有频率7()=10kHz,阻尼比匚=0.1,若要求传感器的输岀幅值误差小于 3%,试确定该传感器的工作频率范围。

解：由•衍10kHz,根拯二阶传感器误差公式，有
y = ]
= -1<3%
V 1 一(3/3“ )2 f + 4疋(3/3“ 尸
---------------- ------------------------- <1.032 = 1.069 l-(co/co /?)2] +4乎(3/5)2
将代入，整理得
(co/皱 F -1.96(创® 尸 + 0.0645 = 0 o f _J1・927 _ 3 _J1.388(舍去) —
=10.0335 = 10.183
- = -^- = ^- = 0.183
® 2或£
=> f = 0.183£ =0.183x10 = 1.83(^Wz)
1・16设有两只力传感器均可作为二阶系统来处理，其固有振荡频率分别为800Hz 和1.2kHz,阻尼比 均为0.4°今欲测
量频率为400Hz 正弦变化的外力，应选用哪一只？并计算将产生多少幅度相对误差和相 位差。

解：由题意知
皀 _ J400/800 =0.5
[400/1200 =1/3
则其动态误差(§ = 0.4)
升= ___ __________ J _____________ __ -1
』1-(叽)汗+4欽©亦
1
=一 1
yl 1 -0.52]2 + 4x0.42 x0.52 = 17.6%
"g 、
_1 =7.76%
彳［1 一 （1/3『f + 4 x 0.42 x （1/3）2
相位差
0（e ） = -arc tan
2x07x0.5
1一0・52
= —0・75（md ） = -43。

2 x 0.4 x 0.5 1 — 0.52
= -0.49(mJ )= -27.9°
第2章电阻应变式传感器
2- 5 -应变片的电阻&=120Q, K=2・05,用作应变为800pnVm 的传感元件。

⑴求A/?与（2）若电源 电压 W3V,求英惠斯通测量电桥的非平衡输岀电压 g 營 K*2.O5x 辭糾 1.64xKT
A/?= 1.64x 10-\R= 1.64x 10" x 120Q=0.197Q t/0 =
X1.64 X10"3 = 1.23 X10-3（V ）=1.23（mV ）
2-6 一试件的轴向应变E X =0.0015,表示多大的微应变（pe ）?该试件的轴向相对伸长率为百分之几？ 解： 8x =0.0015= 1500x 10-6=1500（（.18） 由于
£.\ =\1/1
所以
N/l=S =0.0015=0.15%
2・7假设惠斯通直流电桥的桥臂1是一个1200的金属电阻应变片（K=2・00,检测用），桥臂1的相邻桥 臂3是用于补偿的同型号批次的应变片，桥臂2和桥臂4是120Q 的固泄电阻。

流过应变片的最大电流为 30mA o
（1） 画出该电桥电路，并讣算最大直流供桥电压。

（2） 若检测应变片粘贴在钢梁（弹性模量E=2.1xlO u N/m 2）上，而电桥由5V 电源供电，试问当外加 负荷o=70kg/cm 2时，电桥的输出电压是多少？
（3） 假立校准电阻与桥臂1上未加负荷的应变片并联，试计算为了产生与钢梁加载相同输出电压所需 的校准电
阻值。

解（1）电桥电路如图所示：最大供桥电压
t/im =30mAx( 120+120)Q=7200mV=7.2V
（2） a =70kg/cm 2=686N/cm 2=6.86x 106N/m 2,则 a 处=6.86x 13/2」xlO n =3.27xlO-5=32.7 （陆） 电桥输出为 /=SK£ =」x2x3・27xl （rQ8」8X 1（T 5（U ） ° 4 4
=& 18x105"
（3）
为了使输出电压相同，只要应变£对应的电阻变
取负应变对应电阻减少输出相同负电压）。

解题2-7图 应变£对应的电阻变化为
一 =Kg = 2 x 3.27 x 10'5 = 6.54 x 10"5
A/?=6.54X 10-5/?I =6.54X 10"5X 120=7.85x10-3Q
并联电阻心
/?P ///?i=l 20-7.85x 10-3=119.99215（0）
/?P=1834.275kQ^i834kQ
2-8如果将120Q 的应变片贴在柱形弹性试件上，该试件的截而积S=O.5xlO-^m\材料弹性模量 E=2xlO H N/m 2o 若由5X1LN 的拉力引起应变片电阻变化为1.2Q,求该应变片的灵敏系数IC
解：应变片电阻的相对变化为
-
1 -0.01
R 120
100
柱形弹性试件的应变为
= 0.005；
应变片的灵敏系数为
<Pi 2 x 0.4 x (1/3)
1-0/3)2
= -0.29(rad)=-16.6° 解：由K=
AR/R
则
其输出电压为
化相同即可（这里
5x10“
O.5xlO-4
x2xlO u
A/?/R_ 0.01
i\ = ----------- = --------- = L
8 0.005
2-10以阻值/?=120Q,灵敏系数K=2.0的电阻应变片与阻值120Q 的固左电阻组成电桥，供桥电压为 3V,并假左负载
电阻为无穷大，当应变片的应变为2皿和2000ps 时，分别求岀单臂、双臂差动电桥的输出 电压，并比较两种情况下的灵敏度。

解：依题意 单臂：
3xl0^(V)z=>f = 2pe 3xl(T'(V)» = 2000p£
差动:
3X 10-6(V)=>^ = 2|IE 3 xW 3(V)=>^ = 2000^18
灵敏度:
K 产* = <
可见，差动工作时，传感器及其测量的灵敏度加倍。

2- 11在材料为钢的实心圆柱试件上，沿轴线和圆周方向各贴一片电阻为120Q 的金属应变片用和心, 把这两应变片接人差动电桥(参看习题图2-ll)o 若钢的泊松比p=0.285,应变片的灵敏系数K=2.电桥的电 源电压U=2V,当试件受轴向拉伸时，测得应变片川的电阻变化值△R=0.48Q,试求电桥的输岀电压若 柱体直径厶lOmim 材料的弹性模M£=2xlO H N/m 2,求其所受拉力大小。

解：由ARi/R^Ksp 则
£2= 一 2尸-0.285x0.002= -0.00057
所以电桥输出电压为
2
=-x 2x(0.002+ 0.00057) 4
= 0.00257(V) = 2.57m V
当柱体直径d=10mm 时，由^.=-=—，得
E S E
F = £\ES = 0.002 x2xl0"x
宀佃⑴')
1 4 = 3.14X 104(N)
2・12若用一居350。

的应变片(K=2・l )粘贴在铝支柱(支柱的外径D =50mm,内径厶47・5mim 弹性模 量E=7.3xlO H N/m 2)上。

为了获得较大的输出信号，应变片应如何粘贴？并计算当支柱承受1000kg 负荷时 应变片阻值的相应
变化。

解应变片应沿支柱的轴向粘贴。

应变片阻值的相应变化为
、R=KsR= KR&E= KR(FIS) IE
由于
S=n(D 2-J 2)/4=7i(502-47.52)/4= 191 (mm 2)= 1.91x1 O^m 2
F=1000ks=9800N
所以
A7?=2.1 x350x [9800/( 1.91x10—)]/7・3x 10,,=0.52(O)
2-13 -台采用等强度梁的电子称，在梁的上下两而各贴有两片电阻应变片，做成称重传感器，如习题图
u 3
/专「x2.0"h
KUJ4(单臂)
KUJ2(差动)
/<0
习題图2・11差动电桥
2-12所示。

已知/=10mm, b ()=llmm,力=3mm, E=2.1xlO 4N/mm 2, K=2,接入直流四臂差动电桥，供桥电圧 6V,求其电压灵敏度(K 尸U/F)。

当称重0.5kg 时，电桥的输出电压i/o 为多大？
解：等强度梁受力F 时的应变为
6H £
~ h 2
b Q E
当上下各贴两片应变片，并接入四臂差动电桥中时，其输出电压：
U 严匕K4"KU,旦
°
4 1
h\}E
则其电压灵敏度为
心亠* = 2x 宀心6
"F h 2b Q E 32xllx2.1xl04
=3.463x10 3 (V/N)=3.463(mV/N)
当称重F=0.5kg=0.5x9.8N=4.9N 时，输岀电压为
[J 。

=心 F=3・463x4.9= 16.97(mV)
2・14现有基长为10mm 与20mm 的沟需幺幺式应变片，欲测钢构件频率为10kHz 的动态应力，若要求应 变波幅测量的相对误差小于0.5%,试问应选用哪一种?为什么？
解： 九口沪5000/ (lOxlOJ =0.5(m)
/o=10m m 时
金兄
方o [
500 . ( 10 J
J =——sin — _1 = --------------- s in ------- xl80 -1 = -0.066% 矶 A ^xlO 1500 丿
/o=2Omm 时
222_sin —X18O° -l = -0.26%
〃 x 20 .500 )
由此可见，应选用基长/o=lOmm 的应变片.
2-15有四个性能完全相同的应变片(K=2・0),将其贴在习题图2・14所示的压力传感器圆板形感压膜片
上。

已知膜片的半径/?=20mm,厚度A=0.3mm,材料 弹性模量
E=2.0xl0H N/m 2o 现将四个应变片组成全桥 压 〃i=6V 。

求：
(1) 确泄应变片在感压膜片上的位置，并画岀 (2) 画出相应的全桥测量电路图：
(3)当被测压力为0.1 MPa 时，求各应变片的应 出电
压Uo ：
(4) 该压力传感器是否具有温度补偿作用？为什 (5) 桥路输出电压与被测压力之间是否存在线 习题图
2・1J 膜片式压力传感器
解：(1)四个应变片中，心、念粘贴在圆形感 切向：&、
心粘贴在圆形感压膜片R/J5之外沿径 的应变&与中心切向应变&n 和相等。

如下图(a)所示。

(2)测量电桥电路如上图(b)所示。

的泊松比p =0.285, 测量电路，供桥电 位置示意图； 变值及测量桥路输 么？ 性 关 系？ 压膜片的中心且沿 向，并使其粘贴处
GO 应变片粘贴示总图
題解2-14图 ⑹测fit 电桥电路
（3）根据（1）的粘贴方式，知
—g 一 —
/心賂0
_3（1-O.2852）X （2O X 1O-3）2><1Q 5
8x （0.3x x2xlO n
=0.7656x 1
£1 =£4 = —&max = —0.7656x1（）7
则测量桥路的输出电压为
U° =#K|（£] 一$2 -习+耳）
= 6x2xO.7656xlO-3= 9」9xlO-3（V ）=9」9mV
（4） 具有温度补偿作用：
（5） 输出电压与被测力之间存在线性关系，因此，由（3）知
= UjK" = U 、K
孔p oc p
2・18线绕电位器式传感器线圈电阻为10KQ,电刷最大行程4mm,若允许最大消耗功率为40mW,传感 器所用激励电压为允许的最大激励电压。

试求当输入位移量为l ・2mm 时，输出电压是多少？
解：最大激励电压
S ・x = —xl.2 = 6（V ） / 4
2-19 -测量线位移的电位器式传感器，测疑范用为分辨力为0.05mm,灵敏度为2.7V/mm. 电位器绕线骨架外径 厶5mm,电阻线材料为钳钺合金•其电阻率为p=3・25xlO 」Q ・mm 。

当负载电阻 /?i = 10kQ 时，求传感器的最大负载误
差。

解：由题知，电位器的导线匝数为
10/0.05=200
则导线长度为
/=2Vjk/=2OOTk/.（〃为件架外径） 电阻丝直径与其分辨力相当，即办=0・
05mm
故电阻丝的电阻值 R = p — = p ——
S 兀i
= 3.25X 10-4X -2
（）（）7
^ =520（0） -xO.O52
4
R 520 八心
m =——= ------------ r = 0.052
R L IO X IO 3
o Lm = 15m%= 15x0.052%=0.78%
第3章电感式传感器
3- 15某差动螺管式电感传感器（参见习题图3-15）的 圈匝数 VV=800 匝，/=10mm » /c =6mm , c5mm , 用中铁芯的相对磁导率山=3000,试求：
（1）在平衡状态下单个线圈的电感量厶尸?及其电感灵敏
（2） 若将其接人变压器电桥，电源频率为1000Hz,电 线圈有效电阻可忽略，求该传感器灵敏度K 。

（3） 若要控制理论线性度在1%以内，最大量程为多少? 解：（1）根据螺管式电感传感器电感量计算公式，得
感传感器
—害（宀“心）
U, = 4PR = v40xl0-5xl0xl03 = 20（V ） 当
线位移41.2mm 时，其输出电压
2：
结构参数为单个线 r c =lmm,设实际应 度足K-?
压民1.8V,设电感
习题图3-15差动螺管式电
t
习题图3・17气隙型电感式传感器(变隙式)
(1) 线圈电感值： ⑵电感的最大变化昼 (3)线圈的直流电阻值:
=4“x (： 7，学
2 (10x52
xl0-9 + 3000x6xl 2
xio~9
)= 0.46(H) 差动工作灵
敏度： 32•畔"
= 24^X 10- X ^X 800^X 1X 10_6X 3()00
(10X107)2
=151.6H Im = 151.6/H H / mm
(2)当＞1000Hz 时，单线圈的感抗为 X L =CO L O =2nf L O =2TIX
1000x0.46=2890(Q) 显然X L ＞线圈电阻则输岀电
压为
测量电路的电压灵敏度为
K 且」 u AL 2 厶 2xO.46H
而线圈差动时的电感灵敏度为KL=151.6mH/mm,则该螺管式电感传感器及貝测量电路的总灵敏度为
K = K
「K,= 151 ・6mH/mm x 1.96 mV/mH
LSV
= 1.96V/H = 1.96mV / mH =297.1 mV/mm
3-16有一只差动电感位移传感器，已知电源电 以尸4V, >400Hz> R=40Q, L= 30mH,用两只匹配电阻设计成四臂等阻抗电桥， 如习题图3J6所示，试求： (1) 匹配电阻忌和皿的值；
(2) 当△Z=10时，分別接成单臂和差动电桥后的输出电压 值； ⑶用相量图表明输出电压4「与输入电压之间的相位 差。

习題图3・16
解：(1)线圈感抗
=cdZj=27rfL=2nx400x30x 10"3=75.4 (G)
线圈的阻抗
传感器线圈铜电阻与电感量分别为 Z = y ：R 2+X L 2 = xUo 2 +75.42 = 85.4(D) 故
其电桥的匹配电阻(见习题图3-16)
/?3 = /?4=Z=85.4 (Q)
(2)当AZ=10Q 时，电桥的输出电压分别为
"咤—.117(V )
Z 4 85.4 ' 7
单臂工作: 双臂差动工作:
(3)
^ = tan-A = tan
coL
= -x —= o.234(V )
"2 Z 2 85.4 = 7
— = 27.9° 75.4
3-17如习题图3-17所示气隙型电感传感器，衔铁截面积5=4x4mm>气隙总长度6=0.8mm,衔铁最大 位移△6=±0・08mm,激励线圈匝数VV=25OO 匝，导线直径〃=0.06mm,电阻率p=1.75xlO K 当激励电源 频率/丄4000Hz 时，忽略漏磁及铁损，求：
(4) 线圈的品质因数：
(5) 当线圈存在200pF 分布电容与之并联后其等效电感值。

解：(1)线圈电感值
“必=丄“ 10= 2500 “ X 4 W 57 X ”H = 157 mH J 0.8x10-3
(2) 衔铁位移46=+0.08mm 时，其电感值
L
4^rxl0-7x25002x4x4xl0-6
* J + AJ x 2
=1.31xlO-,(H)=131mH 衔铁位移A6= - 0.08mm 时，其电感值
7 JLI 0W 2
S
4兀x IO" x 25002X 4X 4X 10-6
■ " J -AJx2" (0.8-2x0.08)x10^ = 1.96xlO-,(H)=196(mH)
故位移A5=±0.08mm 时，电感的最大变化咼为
- 2^=196 - 131=65(mH)
⑷线圈的品质因数
coL 2/[fL 2^x4000 xl.57 xlO'1
Q = = —：
— = --------------------- 7~~; --------- = 1J.O
249.6(0)
R R (5)当存在分布电容200PF 时，其等效电感值
L -_L "\^CO 2LC 1 +(2<)2 LC
1.57 xlO-1
1 一(2龙 x 4000)
2 x 1.57 xlO^x 200x10'12 = 1.60xl0-,(H )= 160mH
3-
18如图3-4 (b)所示差动螺管式电感传感器，其结构参数如2 /=160mm, r=4mm,比=2・5mm, /<=96mm,导线直
径t/=0.25mnn 电阻率p=1.75xI06Q-cnn 线圈匝数1^=^2=3000匝，铁芯相对磁导率 山=30,激励电源频率f3000Hz“要求：
(1) 估算单个线圈的电感值L=?直流电阻居？品质因数Q=? (2) 当铁芯移动±5mm 时，线圈的电感的变化量△厶=?
(3) 当采用交流电桥检测时，其桥路电源电压有效值E=6V,要求设计电路具有最大输出电压值.画 出相应桥路原
理图，并求输出电压值。

解：(1)单位线圈电感值
0/2)2(2
12 丿
=5.70 x 10-2 (H)=57.0(/nH )
I _ w • G PG 一 P
爲7万
％=2皿，每匝导线长度)
(0.8 +2x0.08)x10-3
(3)线圈的直流电阻
0.06 \
设 /c>=4x|4 +
k 2丿
P I 叫
R = p — = p ——^―
inm 为每匝线圈的平均长度，则
2500x4x 4 + = 1.75x10-6 ------------------ ---- 0.06
xlO-1
=249.6(0)
^(o.ObxlO-*)2 249.6(0) 4K x 10一7 x 7cx3OOO 2 160 2
2 xl0-3x42xl0-6+30x^xl0-3x2.52xl
电阻值
则品质因数
门 coL 2/rfL 2^x3000 x 5.70x10"' on n
(J = — = --------- = ----------------- : -- - -------- = JV .y R R 26.9(0)
(2) 铁芯位移Mc=±5mm 时，单个线圈电感的变化 =4^x10-X ^X 3000-X 30X (25X 10,3)2X (±5X 10,3)
(16%xl0 町
I 7
= ±5.2xlO-3(H )= ±5.2mH (3) 要使电桥输出最大，须使电桥为等臂电桥，则相邻桥臂阻抗比值21：且将电感线圈厶和平衡电阻R 放 置在桥路输出的两侧，贝iJe=±(n/2),这时电桥的灵敏度IKI=0・5,差动工作时为其2倍，故其输出电压
5 9 U ° = 2x|/；| ——E = 2x0.5x^x
6 Lt 5 7
=0.544( V)=544mV
英电桥电路如下图所示，其中乙、Z2为差动螺管式电感传感器.心、皿为电桥平衡电阻。

第4章电容式传感器
4- 2试计算习题图4-2所示各电容传感元件的总电容表达式。

解：由习题图4・2可见
(1)图(a)等效为三个平板电容器串联
总电容量为
4- 3在压力比指示系统中采用差动式变间隙电容传感器和电桥测量电路，如习题4・3图所示。

已知:
2TDS H 2亦(](厶 一
H)
ln(^2/^)+ \n(d 2/d {) 2亦°厶 ]n(d 2/d [) + 2恥
-
心)
円
皿
心/心
习題图42
5o=O.25mm ； D=38.2mm ： /?=5.1kQ ： [/sr =60V(交流),频率>400Hz o 试求:
(1) 该电容传感器的电压灵敏度心(V/pm)；
(2) 当电容传感器的动极板位移△ 6=10pm 时，输岀电压人值。

由 Ku=100mV/pF 二U/AC,则
U°=K4C= 100mV/pFx(±0.0049pF)=±0.49mV
4-5有一变间隙式差动电容传感器，其结构如习题图4・5所示。

选用变压器交流电桥作测量电路。

差动 电容器参数：r=12mm ； d 「d2=do=0・6mm ：空气介质，即£=&尸&85xl0,2F/mo 测量电路参数：U^U=U sr = 3sincot (V)o 试求当动极板上输入位移(向上位移)△ A*=0.05mm 时，电桥输出端电压
4?
解：由传感器结构及其测量电路可知 (1)
初始电容
C| = °2 = °0 = ■
&85 X1 or ；rx (3&2x10节
-12 由于 4x0.25xl0-3
= 40.6xl0_,2(F )=40.6pF
X - 1 -
1 - 1 c dX70 2^C 0 2^x400 x 40.6xl0-12
= 9.8X 106(Q )» R( = 5Ak^l)
从而得
⑵
4-4 K 严± = 60 = 120 Wmm =0」2V/Lim
2J (> 2x0.25 U Q = Ku AJ=0.12V/pnix 10屮】匸 1.2V 有一台变间隙非接触式电容测微仪，其传
感器的极板半径/-4mm.假设与被测工件的Jo=0.3mnio 试求：
⑴如果传感器与工件的间隙变化量△ d=±10pm,电容变化量为多少？
(2)如果测量电路的灵敏度足Ku=100mV/pF,贝惟厶d=±lpm 时的输出电压为多少？ 解：由题意可求
(1)初始电容： _£°S _£庐2 __8.85X 10-,2X ^X (4X 10-3)2
0 _ _ 0.3x10"
= L48xlO-|2(F)=1.48pF
由 瓦=石'则丄Md=±10um 时
AC = C 0 —= 1.48x 土” 1°
_ = ±0.049pF do 0.3
如果考虑di=0.3mm+10pm 与d?=0.3mm - 10pm 之间的电容变化量ACS 贝!)应为
AC^=2IACI=2x0.049=0.098pF
(2)当 AJ=±lpm 时 込兽3 血亦皿pF®0049pF
± \jLon
解：由习题图4・5可求 初始电容
变压器输出电压 • Z, 宀・• Z.-Z] • C 、一C* •
Use =一 X2U —U =——U =——U
z 、+ z? Z] + z? G + c $
其中Z,, Z2分别为差动电容传感器C,. C2的阻抗.在山＜＜〃（＞ 时，C,= Co +AC, C 2 = Co-AC,且 AC/ Co=Ar//Jo ♦由此可得
4-6如习题图4・6所示的一种变面枳式差动电容传感器，选用二极管双厂网络测量电路。

差动电容器参 数为:o=40mm, Z>=20mm, :起始时动极板处于中间位置,C,=C 2=Co,介质为空气,
£=&尸&85xl0I2F/m a 测量电路参数：Di.少为理想二极管：及/?l =/?.=/?= 10kQ ： /?,= 1MQ,激励电压 U=36V,变化频率>lMHz o 试求当动极板向君位移△x=10mm 时，电桥输岀端电压Sc?
习题图亠6
解：由习题图4-6可求
传感器初始电容
c s Q x-xb
8.85 x 10" x ""IO .
x 20x10 '3 c _®）S_ ° 2 2。

一 一 d° " 1x10" =3.54x10-12 （F ） =3.54pF
当动极板向右移A\-10nimH4i 单个电容变化量为
=需2 —护 54,77（”）
（或 “ 恥、8.85X 10-,2X 20X 10-3X 10X 10"3 t … “七心
匸、 AC = -^-zkv = ---------------------------- : ----------------- = 1.77 x 10 （F ） = 1.77pF ） d 1x10- F
则C, = Co+AC, C 2= C （）-AC,由双T 二极管网络知其输出电压
Sc = 2 k U 胆C
R （R + 2R r ）
= 21^1°4+2xl ^xl06 x 36xl06xl.77xl0-12
（104+2xl06f
a 2.55（V ）
4-7 一只电容位移传感器如习题图4・7所示，由四块置于空气中的平行平板组成。

板A. C 和D 是固左 极板：板B 是活动极板，其厚度为人它与固泄极板的间距为厶B 、C 和D 极板的长度均为g A 板的长度 为2G 各板宽度为九忽略板C 和D 的间隙及各板的边缘效应，试推导活动极板刀从中间位置移动x=±ci/2 时电容C AC 和C AD 的表达式（*0时为对称位置）。

&85 xlO'12 x^-x
（12X1O 」）2
0.6x10」 =6.67 xlO-|2F = 6.67 pF
U sc
0.05 "oJ x3sintaf = 0.25 sin 6X （V ）
习题图45
解：参见习题图4・7知
C AC 是C AB 与C BC 串联» C A
D 是C A B 与C BD 串联。

当动极板向左位移a/2时，完全与C •极板相对(见题解4・7图)，此时 C AB =C BC =&Kib/cl 则
同理，当动极板向右移a/2时，与上相仿(见题解4・7图)，有
C RC =&)ub/(2d 十r)； C ,\i )=&)ab/2d
4-8已知平板电容传感器极板间介质为空气，极板而积S=axa=(2x2)cms 间隙do=0」m 】m 求：传感器 的初始电容值：若由于装配关系，使传感器极板一侧间隙 山 而另一侧间隙为do+b (归0.01mm),此时传感 器的电容值。

解：初始电容
c ")S _ 8.85x10" x2x2xl0_ 0 _ 石 _
O.lxlO -3 = 35.4xlO-,2(F) = 35.4pF
当装配不平衡时(见题解4・8图(a)),可取其平均间隙计算(见题解4・8图(b))
则其电容为
或利用积分法计算传感器的电容, 窄
长条之间的微电容为 dC= £^ldx do +bx/a
所以，总电容为
C=『dC=「一——dx = J 。

Jo d Q +bxla
_8・ 85X W ,2X (2X 10-2)2 =
0.01x10" 皿〕 = 33.8x10七(F) = 33・8pF
lnl + 2£l
I 0.1 两种计算方法结果接近.但积分法更为严密。

4-14习题图4.14(a)所示差动式同心圆筒柱形电容传感器，其可动内电极圆简外经d=9・8mm,固泄电极 外圆筒内经D=10mnn 初始平衡时，上.下电容器电极覆盖长度厶「厶2“尸2mm,电极间为空气介质。

试 求：
C AC =C AB /2=C BC /2=&)U /?/
CAiy=&)ab/(2d+t
)。

题解4・7图 =0.1 +0.01/2=0.105(mm)
=33.7xlO 12(F)=33.7pF
8.85X 10_,2X 2X 2X 10^
0.105x10
(见题解牛8图(c)),任位置x 处，取宽度为cLs 长度为"的两个狭
(1) 初始状态时电容器C ］、C2的值；
(2) 当将其接入习题图4-14⑹所示差动变压器电桥电路，供桥电压E=10 V (交流)，若传感器工作 时可动电极筒最大位移△匸±0・2mm,电桥输出电压的最大变化范国为多少？
习题图4・14
解(1)初始状态时
_ _ 2亦°厶2x;rx8.85x10-2 x2x10='
1 =
2 = 0 = . D = ~To
In — In ——
d 9.8 = 5.51xlO H2(F) = 5.51pF (2)当动电极筒位移AA=+0・2mm (向上)时，L|=2+0.2=2.2mm, L 2=2-0.2= 1.8mm,则
2码)厶 2X ^X 8.85X 10"I2X 2.2X 10-3 心 “七仔、g 匸
C t = -------- 亍= --------------- — ----------------- =6.06 x 10 (F) = 6.06pF
In — In —— d
9.8
G = ■ 2x^x8.85xl0",2xl.8xl0"3 … _ p _ … 厂
: --------------------- -- ----------------- =4.96 x IO -12(F) = 4.96pF
In ——
9.8 差动变压器电桥输岀为
= £ C,-C 2 = 10 6.06-4.96 =
2 C {+C 2 2 6.06+4.96
同理,当动电极筒位移Ax=-0.2mm (向下)时,L>=2-0.2= 1.8mm,厶2=2+0.2=2.2mm,则
G =4.96pF C 2 = 6.06pF
差动变压器电桥输出为
rr E G Y 10 4.96-6.06
r U = ---------------- = ---------------------- = —0.5(V)
2 C }+C 2
2 6.06+4.96 因此 当传感器可动电极筒最大位移Ax±0・2mm,电桥输出电压的最大变化范国为±0・5匕
第5章压电式传感器
5- 3有一压电晶体，其而积为20mm2,厚度为10mm,当受到压力p=10MPa 作用时，求产生的电荷量
及输出电压： (1) 零度X 切的纵向石英晶体：
(2) 利用纵向效应的BaTi03o
解：由题意知，压电晶体受力为
F=pS= 10x 106x20x 106=200(N)
(1) 0°X 切割石英晶体，&=4・5, d ］】=2・31xlO-】2c/N
等效电
容 5 d - 8.85X 10',2 X 4.5X 20X 10^
10x10"
=7.97xl0-14 (F)
受力F 产生电荷
Q=J H F=2・3 1 x 10-12x200=462x 10-2(C)=462pC
输岀电压
W 鷲心796“(V )
(2)利用纵向效应的 BaTiOs, wl900, 〃33=191xlO"C/N 等效电容 <b)
c _ £
^r S _ 8.85 x IO'12 x 1900 x 20 x 10"6 ° d 10x10” =33.6xlO ,2(F)=33.6(pF)
受力F 产生电荷
0=必3民191 xl0-,2x200=38200xl0-12 (C)=3.82xlO-s C
输岀电压
5-4某压电晶体的电容为lOOOpF,心2・5C/cm,电缆电容Cc=3000pF,示波器的输入阻抗为1MQ 和并 联电容为50pF,求：
(1) 压电晶体的电压灵敏度足心；
(2) 测量系统的髙频响应：
(3) 如系统允许的测量幅值误差为5%,可测最低频率是纱？
(4) 如频率为10Hz,允许误差为5%,用并联连接方式，电容值是多大？
解：(1) K = K / C = i'Gcm = 2 5
x io
M \7cm
M ⑴ a 1000 pF
(2)髙频(3->“)时，其响应 K = Ugn = 〃33 _ kq
“一可一 Q +Q +G H+Q +G
(1000 + 3000 + 5O )X 1O',2F
(3) 系统的谐振频率
/= (取等号计算)
Jl + (e/eJ
C.|,= d 心6
+d 佝6 "1 3 +心 I (2)图(b)等效为两个平板电容器并联
C| = C 2 = C = —j-；
Cjj = C t + C 2 = 2C = —~~ (3)图(c)等效为两柱形电容器并联，总电容量为 )+3000
e/®。