大学数学微积分 第三版 李辉来 习题详解

1. 设函数f (x,y )=x 2−2xxxx +3xx 2,求 (1) f （-2,3）；（2）f �1xx ，2yy

�；（3）ff (xx ,yy+ℎ)−ff (xx ,yy )ℎ. 解：（1）f (−2,3)=(−2)2−2(−2)×3+3×32=43

(2)f �1xx ，2yy �=(1xx )2−2�1xx ��2yy �+3×�2yy �2=1

xx 2yy 2(xx 2−4xxxx +12xx 2) (3) ff (xx ,yy+ℎ)−ff (xx ,yy )ℎ=−2xx +6ℎ+3ℎ 2. 确定下列函数的定义域D ，指出D 是否为区域，是开区域还是闭区域，是否有界，并画出D 的图形。

(1) f (x,y )=ln[(16−xx 2−xx 2)(xx 2+xx 2−4)]; (2) f (x,y )=�6−2xx −3xx ;

(3) f (x,y )=√1−xx 2+�xx 2−1; (4) f (x,y )=12.

解：(1)D:(16−xx 2−xx 2)(xx 2+xx 2−4)>0 4

+xx 2<16}，有界，开区域。 （2）D ={(x,y )|6−2x −3y ≥0},无界闭区域

（3）D ={(x,y )|xx 2≤1,xx 2≥1}<=>{(x,y )||xx |≤1,|xx |≥1},不是区域（全书详解请关注vx gzh 高校课后习题）

(4)D ={(x,y

)|xx 2−2xxxx >0}<=>�(x,y )�x >0,x >2y 或x <0,x <2y � 不是区域

3. 设f �x +y,yy xx

�=xx 2−xx 2求f (x,y ). 解：设x =x +y,y =yy xx =>xx =xx yy+1,xx =xxyy yy+1,=>ff (xx ,xx )=xx 2(yy+1)−

xxyy (yy+1)2,=>ff (xx ,xx )=xx 2(1−yy )1+yy 4. f ��xx 2+xx 2,arctan yy xx �=xxyy (xx +yy ),求f (x,y ). 解：令x =r cos θθ,xx =rr sin θθ,则f (r,θ)=

rr 2cos θθsin θθrr 4=cos θθsin θθrr 2=>

ff (xx ,xx )=cos yy sin yy xx

（A）1.求下列函数的极限：

（1）lim

（x,y）→(1,0)ln (xx+ee yy)22；（2）lim

（x,y）→(0,0)�

1+xxyy−1xxyy；

(3)lim

xx→+∞yy→−∞(xx2+yy2)ee−(xx+yy)；（4）lim xx→∞yy→∞xx2+yy2xx4+yy4.

解：（1）x=1,y=0代入得ln2

（2）�−1=xxyy�1+xxyy+1，原式=12

（3）0≤(xx2+yy2)ee−(xx+yy)≤(xx+yy)2ee−(xx+yy)，原式=0 （4）0≤xx2+yy2xx+yy≤2(xx2+yy2)(xx+yy)=2xx+yy→0，原式=0

2.设f(xx,yy)=xx−yy xx+yy

（1）验证当（x，y）沿着直线y=kx（k≠−1）趋于（0,0）时，f(x,y)趋于1−kk1+kk；

（2）求lim

yy→0lim xx→0ff(xx,yy)和lim xx→0lim yy→0ff(xx,yy)；

（3）证明lim

(xx,yy)→(0,0)ff(xx,yy)不存在.

解：（1）f(x,kx)=xx−kkxx xx+kkxx=1−kk1+kk(kk≠−1)

（2）lim

yy→0lim xx→0ff=lim yy→0−yy yy=−1；lim xx→0lim yy→0ff=lim xx→0xx xx=1；

（3）由（1）得，极限不存在

（B）

1.证明：

（1）不存在；

（2）lim

(xx,yy)→(0,0)�1+xxyy−1xx+yy不存在；

（3）lim

(xx,yy)→(0,0)�xx 2yy2+1−1

xx+yy=0.

解：（1）以y=kx（k≠−1）趋于（0,0），原式=lim

xx→0kkxx1+kk，k=−1时，极限不存在

（2）�1+xxyy−1xx+yy=xxyy xx+yy×1�1+xxyy+1，左极限不存在，右极限为12，则极限不存在

（3）�xx2yy2+1−1

xx+yy=xx2yy2xx+yy×122

0≤xx2yy2xx2+yy2≤xxyy2→0，则原式=0

2.求下列极限：

（1）lim

(xx,yy)→(0,0)xxyy ln(xx2+yy2)；

（2）lim

(xx,yy)→(0,0)(xx+yy)ln(xx2+yy2)；

（3）lim

(xx,yy)→(0,0)(xx2+yy2)xx2yy2.

解：（1）xxyy ln(xx2+yy2)≤12[(xx2+yy2)ln(xx2+yy2)]

lim rr→0rr ln rr=0，则原式=0（2）xx2+yy2≤1时，(xx+yy)ln(xx2+yy2)≤|xx ln xx2|+|yy ln yy2|→0（3）(xx2+yy2)xx2yy2=ee(xx2+yy2)ln(xx2+yy2)→1

3.设f(xx,yy)=(xx+yy)sin1xx sin1yy，证明：全书详解请关注vx gzh 高校课后习题

（1）极限lim

(xx,yy)→(0,0)f(xx,yy)=0；

（2）二次极限lim

yy→0lim xx→0ff(xx,yy)和lim xx→0lim yy→0ff(xx,yy)不存在.

证明：（1）|f(xx,yy)|≤�xx sin1xx�+�yy sin1yy�→0