(优选)回归系数的统计推断

n
bˆ[ ( xi
i 1
x)( yi
n
y) bˆ ( xi
i 1
x)2 ] bˆ[lxy
l xy l xx
lxx ]
=0
n
n
n
l yy ( yi y)2 ( yˆi y)2 ( yi yˆi )2 U Q
i 1
i 1
i 1
1
其中
n
n i 1
yˆ i
1 n
n
(aˆ bˆxi )
（优选）回归系数的统计推断
三、总体方差 2的一个无偏估计量为
S 2
1 n
2
n i 1
( yi
yˆ i )2
1 n
2
n i 1
ei2
用 S 2 代替 2 后，得到 aˆ , bˆ 方差的无偏估计量分别是：
Saˆ2
S2(1 n
x2 l xx
),
Sbˆ2
S2 l xx
它们的算术平方根分别称为a、b估计量的标准误差。
i 1
i 1
n
Q ( yi yˆi )2 l yy bˆlxy
i 1
总平方和lyy(SST) = 回归平方和U(SSR) + 残差平方和Q(SSE)
其中
n
l yy ( yi y)2 , i 1
n
U ( yˆi y)2 bˆlxy , i 1
n
Q ( yi yˆi )2 l yy bˆlxy i 1
yˆ i aˆ bˆ xi R2
() ()
其中括号内填写相应的t-检验显著性概率值。这样就较全
面地表述了样本回归估计式。
例1 为确定某商品供给量 y 和价格 x 之间的关系，任取10对
数据作为样本，算得平均价格为 x 8(元), 平均供给量为
n
n
n
y 50(公斤), 且 xi2 840, yi2 33700, xi yi 5260
bˆ lxy 6.3 l xx
aˆ y bˆx 0.4
回归方程为 yˆ 0.4 6.3x
例1 为确定某商品供给量 y 和价格 x 之间的关系，任取10对
数据作为样本, 算得平均价格为 x 8(元), 平均供给量为
n
n
n
y 50(公斤), 且 xi2 840, yi2 33700, xi yi 5260
当lyy 给定后, 由U与Q的相 对大小可刻画 x 对Y 的线性 影响程度：
即比值 U 越大,说明x 对
Q
Y 的线性影响就越强.
七、回归方程的显著性检验
假设变量Y与x变量满足 Y= a + bx+ε (*)
其中ε是随机误差,假定ε～N(0,σ2). 若 H0:b=0成立,则(*)变成 Y= a +ε,自变量x对因变量Y没有
(4) 代入样本信息, R落入否定域则否定原假设, 线性关系 显著; 落入接受域则接受原假设, 线性关系不显著.
八、回归分析的表述
我们从一组样本数据进行回归系数的估计，得到经验
回归方程，因为还要进行区间估计、显著性检验，所以
必须求出回归估计量的标准误
常可R写2 成表达式：
，S以aˆ ,及S判bˆ 定系数 ，通
原假设, 即认为回归方程是显著的.
1.回归系数的F检验 (1) 提出原假设 H0:b=0; (2) 选择统计量
F (n 2)U ~ F (1, n 2) Q
α
Fα(1, n-2)
F
(3) 对给定的显著性水平α, 查临界值Fα (1,n-2), 得否定域 为F >Fα (1,n-2);
单侧假设检验
线性影响,即回归方程不显著;若假设不成立,则自变量x对因 变量Y有线性影响,即线性方程是显著的.所以,假设检验的原
假设为 H0: b = 0 ; 备择假设为 H1: b ≠ 0. 由于
FQ U
~ F (1, n 2)
(n 2) H0成立
因此对于给定的显著性水平α,当 F >Fα (1,n-2)时,则否定
i 1
i 1
i 1
(1) 试建立供给量对价格的线性回归方程;
(2) 对所建立的线性回归方程进行显著性检验 (α=0.05). 销价量格
10
解 (1) 计算 l xx xi2 10 x 2 200
i 1 10
lxy xi yi 10xy 1260 i 1
10
l yy yi2 10 y2 8700 i 1
(4) 代入样本信息,F落入否定域则否定原假设,线性关系显著; 落入接受域则接受原假设,线性关系不显著.
3.回归系数的相关系数检验法
(1) 提出原假设: H0: b = 0 ;
(2) 选择统计量
R
l xy l xxl yy
(3) 对给定的显著性水平α，查临界值rα(n-2)，得否定域为 R >rα(n-2);
i 1
i 1
i 1
(1) 试建立供给量对价格的线性回归方程;
(2) 对所建立的线性回归方程进行显著性检验 (α=0.05). 销价量格
i 1
i1
i1
i1
n
n
( yˆi y)( yi yˆi ) (aˆ bˆxi aˆ bˆx)( yi aˆ bˆxi )
i 1
i 1
n
n
bˆ( xi x)( yi y bˆx bˆxi ) bˆ ( xi x)[( yi y) bˆ( xi x)]
i 1
i 1
四、a 和 b 的区间估计
置信水平为1 的区间估计为
(aˆ t (n 2)Saˆ , aˆ t (n 2)Saˆ )
2
2
(bˆ
t
2
(n
2)Sbˆ
,
bˆ
t
2
(
n
2)
Sbˆ
)
五、E( yi ) 的区间估计
E( yi )的置信水平为 1 的区间估计是：
( yˆi
t
2
(n
2)
S
yˆ i
,
yˆ i
i 1
aˆ bˆ
1 n
n i 1
xi
aˆ bˆx
y
n
故 U ( yˆi y)2
回 反映了 yˆ i的分散程度, (由x因素引起） 归
i 1
平
n
Q ( yi yˆi )2
i 1
反映了由其它因素对 y影i 响程度,
残差平方和
方 和
n
n
且U [(aˆ bˆxi (aˆ bˆx)]2 bˆ 2 ( xi x)2 bˆ2lxx bˆlxy
t
2
(n
2)S yˆi
)
其中S
2 yˆ i
S
2
1 n
(
xi
x l xx
)2
六、y的样本变差的分解
yˆ aˆ bˆx
yˆi aˆ bˆxi , y aˆ bˆx
yi yˆ i ( yi yˆ i )
yi y ( yˆi y) ( yi yˆi )
n
n
nBaidu Nhomakorabea
n
l yy ( yi y)2 ( yˆi y)2 ( yi yˆi )2 2 ( yˆi y)( yi yˆi )