第3章 线性离散系统的描述及分析

第3章线性离散时间系统的描述及分析3.1 差分方程及其时域分析

3.1.1 差分方程

3.1.2 差分方程的解

A递推解

B古典解

C Z变换求解

3.2 Z变换

3.2.1 Z变换的定义

3.2.2 Z变换的性质

3.2.3 Z反变换

A长除法

B留数法

C部分分式法

3.3 离散时间系统的Z域分析

3.3.1 零输入响应

3.3.2 零状态响应

3.3.3 完全响应

3.4 Z传递函数及其求法

3.4.1 Z传递函数的定义

3.4.2 离散系统的运算

3.4.3 由G(s)求G(z)——连续时间系统的离散化

A对G(s)的讨论

B对离散化方法的评价

C 留数法

D直接代换法

E系统等效法Ⅰ——冲击响应不变法；F系统等效法Ⅱ——阶跃响应不变法

G部分分式法

3.4.4 离散化方法小结

3.5 线性离散时间系统的稳定性分析

3.5.1 闭环极点与输出特性之间的关系

3.5.2 稳定判据

3.6 线性离散时间系统的频率特性分析法3.6.1 线性离散时间系统的频率特性

3.6.2 线性离散时间系统的频率特性分析法

第3章 线性离散系统的描述及分析

3.1 差分方程及其时域分析

3.1.1 差分方程

在线性离散时间动态系统中，输入激励序列u (k )与输出响应序列y (k )之间的动态关系在时域中用差分方程来描述，差分方程一般写成升序方式

1101101-1

()(1)(1)()()(1)(1)()0(0),(1),...,

(-1)n n m m n y k n a y k n a y k a y k b u k m b u k m b u k b u k k y y y y y n y m n

--+++-++++=

=+++-+

+++≥===≤有始性:初始条件:时间因果律: (2.1)

或写成

∑∑==-+--+=+m i n

j j i j n k y a i m k u b n k y 0

1

)

()()(

上式表明某一离散时间点上输出值可能与当前时间点上的输入值（当

00,b m n ≠=）以及此前若干个输入和输出值有关。

推论开来，当前的输出值是“此前”全部激励和内部状态共同作用的“积累”效应。

考虑实时控制系统的时间因果律，必须有m ≤n 。

当m =n 时，表明当前时刻的输入会直接影响当前时刻的输出，可称为“直传”；

当m

差分方程也可以写成降序方式——式(2.1)中各项序号均减n

121011()(1)(2)(1)()()(1)(1)()

n n m m y k a y k a y k a y k n a y k n b u k b u k b u k n b u k n --+-+-++-++-==+-+

+-++- (2.2)

在降序方式中的n 和m 与升序方式中的n 和m 的含义不完全相同，因而对n 和m 并无限制。

在降序方式中，当b 0≠0时，相当于升序方式中m =n 的情况。此时“当前时刻的响应与当前时刻的输入有关”。

升序意味着超前，与连续时间系统中的微分相对应；当用Z 变换法求解差分方程时，升序方式便于考虑初始条件。

降序意味着滞后，与连续时间系统中的积分相对应；当用Z 变换法求解差分方程时，降序方式无法考虑初始条件。

3.1.2 差分方程的解

例：已知差分方程51

(2)(1)()(+1)+0.5()66

x k x k x k r k r k +-++=，其中r (k )=1，k ≥0，x (0)=1，x (1)=2

试由迭代法求其全解的前5项；

分别由古典法求其零输入解y zi (k )、零状态解y zs (k )，以及全解y (k )。

给定一个差分方程，根据特定的输入时间序列u (k ) 和初始条件，来求得其输出序列y (k )，一般有三种方法。 A. 递推解（迭代解）

对式(2.1)差分方程可以写成

显然给定初始条件后，就可依次求出各点值。

但是，式(2.1)差分方程中的n 个初始条件x (0)，x (10)，… x (n -1)仅仅是指“零输入初始条件”，进行递推求解时的初始条件应该是“全解初始条件”；因而应该先求出其“零状态初始条件”，“全解初始条件”是“零输入初始条件”与“零状态初始条件”之和。

上例……

已知零状态初始条件，由此可递推求得零输入解y zi (k )； 可求零输入初始条件，由此可递推求得零状态解y zs (k )；

以上初始条件之和为全解初始条件，由此递推即可直接求得全解y (k )=y zi (k )+y zs (k )。 B. 古典解法

1) 零输入解

在式(2.1)中令输入为零，即u (k )=0，k ≥0，则得齐次方程

01...111=++++-+++-)()()()(k y a k y a n k y a n k y n n

(2.3)

类似于在解线性常微分方程时定义的微分算子p ，对差分方程定义一个移序（增序）算子d ，即

)

()()()(n k y k y d n k y k y d n

n -=+=- (2.4)

于是式(2.3)可以表示成

111()()()()0n n n n d a d ...a d a y k A d y k --+++==＋

∑∑==-+--+=+m i n

j j i j n k y a i m k u b n k y 0

1

)

()()(