高中数学新课标步步高选修4

选修4－2矩阵与变换

1．乘法规则

(1)行矩阵[a 11a 12]与列矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤b 11b 21的乘法规则： [a 11a 12]⎣⎢⎡⎦⎥⎤b 11b 21＝______________________________. (2)二阶矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11a 12a 21a 22与列向量⎣⎢⎡⎦

⎥⎤x 0y 0的乘法规则： ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11a 12a 21a 22⎣⎢⎡⎦

⎥⎤x 0y 0＝________________________.

(3)两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个矩阵，其乘法法则如下：⎣⎢

⎡⎦⎥⎤a 11a 12a 21a 22⎣⎢⎡⎦

⎥⎤b 11b 12b 21b 22

＝⎣⎢⎡⎦

⎥⎤a 11×b 11＋a 12×b 21a 11×b 12＋a 12×b 22a 21×b 11＋a 22×b 21a 21×b 12＋a 22×b 22 (4)两个二阶矩阵的乘法满足________律，但不满足________律和________律． 即(AB )C ＝A (BC )，AB ≠BA ， 由AB ＝AC 不一定能推出B ＝C .

一般地，两个矩阵只有当前一个矩阵的________与后一个矩阵的________相等时才能进行乘法运算．

2．常见的平面变换

(1)恒等变换：如⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001；

(2)伸压变换：如⎣

⎢⎢

⎡⎦

⎥⎥⎤10

0 12； (3)反射变换：如⎣⎢⎡⎦

⎥⎤

100 －1；

(4)旋转变换：如⎣⎢⎡⎦⎥⎤

cos θ －sin θsin θcos θ，其中θ为旋转角度；

(5)投影变换：如⎣⎢⎡⎦⎥⎤1000，⎣⎢⎡⎦

⎥⎤1010；

(6)切变变换：如⎣⎢⎡⎦

⎥⎤1k 01(k ∈R ，且k ≠0)． 3．逆变换与逆矩阵

(1)对于二阶矩阵A 、B ，若有AB ＝BA ＝E ，则称A 是____________，B 称为A 的____________； (2)若二阶矩阵A 、B 均存在逆矩阵，则AB 也存在逆矩阵，且(AB )－

1＝B －

1A －

1.

4．特征值与特征向量

设A 是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使Aα＝λα，那么λ称为A 的一个____________，而α称为A 的属于特征值λ的一个________________． 5．特征多项式

设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd 是一个二阶矩阵，λ∈R ，把行列式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －cλ－d ＝________________，

称为A 的特征多项式．

1．在切变变换M ＝⎣⎢⎡⎦

⎥⎤ 10－21作用下，直线y ＝2x －1变为________．

2．将椭圆x 23＋y 2

4＝1绕原点顺时针旋转45°后得到新的曲线方程为________________．

3．在⎣⎢⎡⎦

⎥⎤1010对应的线性变换作用下，圆(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1变为________________． 4．计算：⎣⎢⎡⎦⎥⎤1324⎣⎢⎡⎦⎥

⎤－11 04＝________.

5．矩阵⎣⎢⎡⎦

⎥⎤

0 －110的逆矩阵是________．

题型一求变换矩阵

例1已知变换S 把平面上的点A (3,0)，B (2,1)分别变换为点A ′(0,3)，B ′(1，－1)，试求变换S 对应的矩阵T .

思维升华知道变换前后的坐标，求变换对应的矩阵，通常用待定系数法求解．

二阶矩阵M 对应的变换将点(1，－1)与(－2，1)分别变换成点(－1，－1)与(0，－

2)．

(1)求矩阵M ；

(2)设直线l 在变换作用下得到了直线m ：x －y ＝4，求l 的方程．

题型二求逆矩阵

例2求矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦

⎥⎤2312的逆矩阵．

思维升华求逆矩阵的方法： (1)待定系数法

设A 是一个二阶可逆矩阵⎣⎢⎡⎦

⎥⎤ab cd ，AB ＝BA ＝E 2； (2)公式法

|A |＝⎪⎪⎪⎪

⎪⎪ab cd ＝ad －bc ≠0，有A －

1

＝⎣⎢⎡⎦

⎥⎤d |A | －b |A |－c |A | a |A |

.

(2013·江苏)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦

⎥⎤－10 02，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1206，求矩阵A －1B .

题型三特征值与特征向量

例3已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦

⎥⎤

3 －1－13，求M 的特征值及属于各特征值的一个特征向量．

思维升华已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，求特征值和特征向量，其步骤： (1)令f (λ)＝⎪⎪⎪⎪

⎪⎪

λ－a －b －cλ－d ＝(λ－a )(λ－d )－bc ＝0，求出特征值λ；

(2)列方程组⎩

⎪⎨⎪⎧

(λ－a )x －by ＝0，

－cx ＋(λ－d )y ＝0；

(3)赋值法求特征向量，一般取x ＝1或者y ＝1，写出相应的向量．

已知二阶矩阵A 有特征值λ1＝1及对应的一个特征向量e 1＝⎣⎢⎡⎦

⎥⎤11和特征值λ2＝2及

对应的一个特征向量e 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10，试求矩阵A .

用坐标转移的思想求曲线在变换

作用下的新方程

典例：(10分)二阶矩阵M 对应的变换T 将点(1，－1)与(－2,1)分别变换成点(－1，－1)与(0，－2)． (1)求矩阵M ；

(2)设直线l 在变换T 作用下得到了直线m ：x －y ＝4，求l 的方程．

思维启迪(1)变换前后的坐标均已知，因此可以设出矩阵，用待定系数法求解． (2)知道直线l 在变换T 作用下的直线m ，求原直线，可用坐标转移法． 规范解答

解(1)设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 －1＝⎣⎢⎡⎦⎥

⎤－1－1，

⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 1＝⎣⎢⎡⎦

⎥⎤ 0－2，[2分]

所以⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＝－1c －d ＝－1，且⎩⎪⎨⎪⎧

－2a ＋b ＝0－2c ＋d ＝－2

， 解得⎩⎪⎨⎪⎧

a ＝1

b ＝2

c ＝3

d ＝4

，所以M ＝⎣⎢⎡⎦

⎥⎤1234.[5分]

(2)因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦

⎥⎤x ＋2y 3x ＋4y

且m ：x ′－y ′＝4，所以(x ＋2y )－(3x ＋4y )＝4， 即x ＋y ＋2＝0，∴直线l 的方程是x ＋y ＋2＝0.[10分]

温馨提醒(1)本题考查了求变换矩阵和在变换矩阵作用下的曲线方程问题，题目难度属中档题．(2)本题突出体现了待定系数法的思想方法和坐标转移的思想方法．(3)本题的易错点是计算错误和第(2)问中坐标转移的方向错误

.

方法与技巧