数学期望的定义

9 40
18 40
9 40
2 40
3 40
1 40
8 40
13 40
8 40
7 40
解：班级平均成绩=总分÷总人数
甲班平均成绩=
60
60 2 70 9 80 18 90 9 100 2 2 9 18 9 2
2 9 18 9 2 ＋70 ＋80 +90 +100 =80(分) 40 40 40 40 40


xf x dx
例2 设连续型随机变量 X 的密度函数如下, 计算 E X q
2 x, 0 x 1 f ( x) 其余 0,
解：
EX
0


xf x dx
2 3
= x 2 xdx
1
课间提问： （1） 设离散型随机变量 X 的概率函数为
i
同理，乙班平均成绩=80(分)
ai pi
ˆ E( X )
定义4.1
设离散型随机变量
X 的概率函数为
i 1, 2,
当级数
a p
i i
P X ai pi ,
i
绝对收敛时, 称
a p 为随机变量 X 的
i i i
数学期望（或期望、均值）, 记作 E X . 注：1. 为保证无穷级数 变,要求级数
i 1 i 2 P X 1 i , i 1, 2, i 2
（2） 设连续型随机变量 Y 的密度函数为 1 1 f ( y) , y , 2 1 y
X ,Y 的数学期望存在吗？
(A)都存在; (B)都不存在; (C)存在,不存在;(D)不存在,存在




若 若
aai 1源自i 1 i绝对收敛，则
a 一定收敛;
i 1 i
i 1

i
绝对收敛，则级数 ai 求和唯一.
f ( xi )
连续型随机变量的情形
P xi X xi xi
xi xi xi
X
[ x i , x i x i )

f ( x )dx f xi xi
本节内容 及要求
1 2 3
离散型、连 续型随机变 量的数学期 望定义
掌握数学期 望的概率含 义
理解数学期 望在物理中 的含义
谢 谢
同济大学数学科学学院概率统计教学团队
X Pr
-2 0.2 1 0.8
解： EX
a p
i i
i
2 0.2 1 0.8 0.4
复习
( 1)n 若 ai 收敛, 则称 ai 绝对收敛; n 2 n 1 i 1 i 1



( 1)n 若 ai 收敛, 但 ai 不收敛, 则称 ai 条件收敛; i 1 i 1 i 1 n 1 n
X
x1
x2
xn
Pr
n n
f x1 x1 f x2 x2
n
f xn xn

x p x f x x ，
i 1 i i i 1 i i i
lim xi f xi xi xf ( x )dx
0
i 1
定义4.1’ 设连续型随机变量 X 的概率密度函数为 f x , 当积分
a
i
i
pi收敛
a p
i i
i
的值不因改变求和次序而
a p
i i
i
绝对收敛，E ( X ) 才有定义。
2.当 X 服从某个分布时,也称 E ( X )是这个分布的期望。
期望刻化随机变量取值的平均，有直观含义。 3.物理含义 : 单位质量的细棒,
重心坐标
mi
i
a m
i i
i
a1
a2
*a
an
例1 设离散型随机变量 X 的概率函数如下, 计算 E X q
数学期望的定义
引例： 设甲、乙两班各40名学生, 概率统计成绩及得分人数如表所
示, 成绩以10的倍数表示. 甲、乙两班概率统计的平均成绩各是多少？
甲班 分数 人数 频率
X
Pr
60 2
70 9
80 18
ai
90 9
100 2
乙班 分数 人数 频率
40 3
60 1
70 8
80 13
90 8
100 7
2 40



xf x dx 绝对收敛时,
EX

称



xf x dx 为随机


变量 X 的数学期望, 记作 E X , 即

xf x dx收敛
xf x dx.
物理含义： 密度函数为 f x 单位质量细棒 重心坐标
f x
*