量子力学中的波函数

量子力学中的波函数

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摘要：本文主要介绍了量子力学中描述微观粒子状态的波函数，分别阐释了态叠加原理以及

波函数的性质，并基于波恩统计诠释，讨论了波函数需要满足的条件，最后简单解释了波函

数的推导，以及一些新的理解。

关键词：量子力学波函数概率波态叠加原理

量子力学是研究微观粒子的运动规律

的物理学分支学科，它主要研究原子、分子、凝聚态物质，以及原子核和基本粒子的结构、性质的基础理论，它与相对论一起构成了现代物理学的理论基础。量子力学不仅是近代物理学的基础理论之一，而且在化学等有关学科和许多近代技术中也得到了广泛的应用。本篇文章中要提到的波函数是量子力学中描写微观系统状态的函数。

1、波粒二象性

在经典物理学中，粒子性是指它具有一定的质量、电荷等属性，同时还具有确定的空间位置和运动轨道。波动性中的波是指某些实际的物理量的空间分布的周期性变化，更重要的是呈现出的干涉和衍射现象。显然二者不能用来同时描述一个物体，如果一定

要用经典的概念来解释波粒二象性，就只能做一个设想，比如其中一个是基本单元，另

一个是由这个组成衍生出来的，这显然是不成立的。首先，波的衍射现象可以看出波动

性并不依赖于粒子之间的相互作用，波动性是适用于单个粒子的。其次，将粒子看成是一个小波包，根据德布罗意关系，波包在传

播过程中，会迅速扩散开，以至消失。所以，要完全用经典的波和粒子把它统一起来是不可能。所以德布罗意提出“物质波假说”，认为和光一样，一切物质都具有波粒二象性。

2、概率波的物理意义

在量子力学中，微观粒子的状态都是用上面所说的波函数来描述的，只要知道了体系的波函数，原则上其他的力学量都可以根据波函数得到。但是波函数自身并不指任何的可观测量，它是用来描述粒子出现在空间某一点附近的概率大小的物理量，可表示为

|Ψ（r⃗，t）|2dxdydz

上式表示在点r⃗附近的小体积元dxdydz

中找到粒子的概率，这就是波恩的统计诠释，它是量子力学的基本假设之一。

由此看出，量子力学中的波函数和经典物理中的波函数是截然不同的两个概念。量子力学中的波函数是一种概率波。波恩提出波函数的概率理念很好地阐释了波粒二象性。概率波的概念，可以解释微观粒子的干涉和衍射现象，而且没有涉及粒子本身的结构。当概率波变化时，改变的只是粒子在空间各点出现的概率，并不会改变粒子的结构，所以它和粒子性并不矛盾。

3、态叠加原理

态叠加原理是量子力学的基本假设之一，它是量子力学与经典力学根本差别。它的线性叠加为

Ψ(r⃗,t)=Ψ1(r⃗,t)+Ψ2(r⃗,t)+……=Σc iΨi(r⃗,t

)

态叠加原理表述方式有很多种，其中一种表述为“叠加态Ψ(r⃗,t)既不是Ψ1(r⃗,t)态

也不是Ψ2(r⃗,t)态，它是一个新态”。叠加态是体系的一个新态，有别于原来的各态，性质也有别于原来的各态。例如，许多非束

缚态的平面波可以叠加成为一个束缚态、自旋态等，都说明了叠加态是个新态。

3、概率波函数的性质

3.1 归一性

根据波恩的统计诠释，很自然要求粒子在空间各点的概率之和为1，即要求满足下列条件：

∫|Ψ(r⃗⃗,t)|2dxdydz=1

这是波函数的归一化条件。但是并非所

有的波函数都满足上式，在很多情况下可以放松为：在任意有限空间范围内，态函数模

的平方积分有限。有时我们需要自己对波函

数进行归一化。

3.2 常数因子和相位因子的不定性

对概率分布，重要的是相对概率分布。由于

|Ψ（r1⃗⃗⃗⃗，t）|2

|Ψ（r2⃗⃗⃗⃗，t）|2

=

|cΨ（r1⃗⃗⃗⃗，t）|2

|cΨ（r2⃗⃗⃗⃗，t）|2

c 是常数。不难看出，Ψ(r⃗,t)和cΨ(r⃗,t)所描述的是同一个概率波，所以波函数有一个常数因子不确定性，在这一点上概率波和经典波有本质的区别。

此外，即使Ψ(r⃗,t)已经归一化，由于Ψ(r⃗,t)和Ψ(r⃗,t)e ia（a是常数）的模是相同的，所以Ψ(r⃗,t)e

ia

也是归一化的，即Ψ(r⃗,t)和Ψ(r⃗,t)e

ia

描述的是同一个概率波，由此可以看出波函数有一个相位因子不确定性。

3.3 波函数的有限性、单值性、连续性

微观粒子的状态用波函数来描述，因为并不是任何函数都可以用来描述粒子的状态，波函数需要满足一定的条件。波恩的统计诠释赋予了波函数确切的物理意义，根据波恩的统计诠释波函数应满足以下条件：（1）要求|Ψ(r⃗,t)|2取有限值，即要求Ψ(r⃗,t)取有限值，|Ψ(r⃗,t)|2只表示几率密度，在物理上只要求在空间任何有限体积元中找到粒子的几率为有限即可。

（2）要求|Ψ(r⃗,t)|单值，但这并不要求Ψ(r⃗,t)也单值，自旋后的电子波函数可以证明这一点。

（3）物理定律是定域的，波函数是某种微分方程的解。因此也要求波函数连续、一阶导数连续。