第四章 正弦交流电路的基本概念

12.47 j0.569 12.48 2.61
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例2.
解：上式
180.2
j126.2
19.2427.9 7.21156.3 20.6214.04
180.2 j126.2 6.72870.16
180.2 j126.2 2.238 j6.329
182.5 j132.5 225.536
第四章 正弦交流电路的基本概念
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本章制作：戚伟 制作日期：2015.2.4
第四章 正弦交流电路基本概念
学习内容：
4.1 正弦量的三要素 4.2 正弦量的相量表示 4.3 元件伏安特性的相量表示 4.4 电路定律的相量表示
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第四章 正弦交流电路基本概念
•
u(t) 2U sin(wt θ) U Uθ
•
i(t) 2I sin(wt ) I I
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例1. 已知 i 141.4sin(314t 30o )A u 311.1sin(314t 60o )V
试用相量表示i, u .
解：
•
I
10030o
A
•
U 220 60o V
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两种表示法的关系： A=a+jb
A=|A|ej =|A|
Im
直角坐标表示 b |A|
A
极坐标表示
O
| A |
a2 b2
θ arctg b
a
或
a | A | cosθ
b | A | sinθ
a Re
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2. 复数运算 (1)加减运算——直角坐标
j(wt )
i 2Isin(wt ) A(t) 2Ie
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A(t)还可以写成
A(t)
2Ie j e jwt
2
•
I
e
jwt
复常数
A(t)包含了三要素：I、 、w ，复常数包含了I , 。
称
•
I I
为正弦量 i(t) 对应的相量。
•
i(t) 2I sin(wt ) I I
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同样可得正弦电压的有效值与最大值关系为： U Um
2 有效值用大写字母表示，和表示直流量的字母一样。
(3) 初相位(initial phase angle) ：反映了正弦量的计时起点。
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(wt+)表示正弦量随时间变化的进程,称之为相位角。它
(2) 幅值 (amplitude) (振幅、 最大值)Um、Im：反映正弦 量变化幅度的大小。
周期电流、电压的瞬时值都随时间而变，往往不能 确切地反映周期量的效果，在工程中常采用有效值 来衡量周期量的效果。
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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以电流为例，可以根据电流的热效应来规定他的有效值：
如果一个周期电流和一个直流电流通过阻值相同的电阻，
O
pR uR i
wt
UR
I u= i
瞬时功率： pR uRi 2UR 2I sin2 (ωt i )
URI[1 cos 2(ωt i )]
瞬时功率以2w交变。但始终大于零，
表明电阻始终是吸收（消耗）功率。
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平均功率：瞬时功率在一周内的平均值，称为平均 功率，用大写字母P表示，单位瓦(W)。
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三、同频率正弦量的相位差 (phase difference)。
设 u(t)=Umsin(wt+u), i(t)=Imsin(wt+i)
则 相位差 即相位角之差：
= (wt+u)-(wt+i)= u-i
恰好等于初相位之差
• >0， u 领先(超前)I 角，或i 落后(滞后) u 角(u 比 i
dI dt
jwI
idt 2I sin(wt i )dt
2
I ω
cos(wt
i
)
2I ω
sin(wt
i
2)
idt
I
w
i
2
I&
jw
相量积分:
Idt
I jw
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4.3 元件伏安特性相量表示
一. 电阻 i(t)
+
uR(t) R -
•
I
+
•
UR
R
-
相量模型
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(3) 旋转因子：
复数 ej =cos +jsin =1∠
A• ej 相当于A逆时针旋转一个角度 ，而模不变。故
把 ej 称为旋转因子。
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几种不同值时的旋转因子：
Im
jI
I
,
j
e2
cos
j sin
j
2
θ ,
j
e2
2
2
U
2
e
jwt
)
Im(
•
2U1
e jwt
2
•
U
2
e
jwt
)
Im(
可得其相量关系为： U U1 U2
2
•
(U
1
•
U
2
)e
jwt
)
U
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故同频的正弦量相加减运算就变成对应的相量相加减运算。
i1 i2 = i3 I1 I2 I3
a b= c lga + lgb=lgc
2 I1 sin(wt 1) i2
u, i
i1
w
i1
i2
wi2
I1
I2
1 O 2
2 I2 sin(wt 2)
i1+i3i2 i3
w
I3
wt3
无论是波形图逐点相加，或用三角函数做都很繁。
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因同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量，所以，只 要确定初相位和有效值(或最大值)就行了。于是想到复数， 复数向量也包含一个模和一个幅角，因此，我们可以把正 弦量与复数对应起来，以复数计算来代替正弦量的计算， 使计算变得较简单。
30
Re
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2 . 正弦量的微分，积分运算
i 2 I sin(wt i ) I& Ii
微分运算:
积分运算:
di dt
d dt
2 I sin(wt i )
2 I cos(wt i ) w
2 wI sin(wt i 2)
di dt
wIi
2
jwI&
相量微分:
例2.
•
已知I 5015A,
f 50Hz .
试写出电流的瞬时值表达式。
解：i 50 2sin(314t 15) A
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相量图(相量和复数一样可以在平面上用向量表示)：
•
U
i(t) 2Isin(ωt ) I& I
•
I u(t ) 2Usin(ωt θ ) U Uθ
若 A1=a1+jb1， A2=a2+jb2 则 A1±A2=(a1±a2)+j(b1±b2) 加减法可用图解法。
Im A2
O
A1 Re
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(2) 乘除运算——极坐标
若 A1=|A1| 1 ，若A2=|A2| 2
则:
A1 A2
A1 e j1
A2 e j2
A1
A e j(1 2 ) 2
u(t ) u1(t ) u2 (t ) 9.64 2sin(314t 41.9o ) V
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同频正弦量的加、减运算可借助相量图进行。相量 图在正弦稳态分析中有重要作用，尤其适用于定性分析。
Im
U2
U
U1
41.9
30 60
Re
U
Im
U2
首
U1
60 尾 相
41.9 接
时域形式：
已知 i(t) 2I sin(wt i )
则 uR (t) Ri(t) 2RI sin(wt i )
相量形式：
UR u
I& I i U&R RI i
有效值关系：UR=RI
相位关系u= i (u,i同相)
相量关系：
UR R I
UR=RI
u= i
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波形图及相量图： URI
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2. 相量运算
(1) 同频率正弦量相加减
u1(t)
2 U1 sin(wt 1) Im(
2
•
U
1
e
jwt
)
u2 (t)
2 U2 sin(wt 2 ) Im(
2
•
U
2
e
jwt
)
u(t ) u1(t ) u2 (t ) Im(
2
•
U
1
e
jwt
)
Im(
2
•
的大小决定该时刻正弦量的值。当t=0时，相位角
(wt+)=，故称初相位角，简称初相位。它表示了正
弦量的起点。
i(t)=Imsin(wt+)
i
T
Im
/w O
2 twt
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同一个正弦量，计时起点不同，初相位不同。 i
一般规定：|| 。
O
t
=0 =/2 =-/2
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1. 正弦量的相量表示
造一个复函数 A(t) 2Ie j(wt) 没有物理意义
若对A(t)取虚部：
2Icos(wt ) j 2Isin(wt )
Im[A(t)] 2sin(wt ) 是一个正弦量，有物理意义。
对于任意一个正弦时间函数都可以找到唯一的与其对应 的复指数函数：
在相同的时间内所产生的热量相等，就把这个直流电流的
数值规定为周期电流的有效值。
T i2Rdt I 2RT 0
I 1 T i2dt
T0
当周期电流为正弦量时，将i=Imsin(wt+ i)代入，得：
I
1 T
T 0
Im2 sin2 (wt
i )dt
1 T
Im2
T 0
sin2
(wt
i
)dt
Im 2
相量的模表示正弦量的有效值 正弦量的相量表示: 相量的幅角表示正弦量的初相位
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加一个小圆点是用来和普通的复数相区别(强调它与正 弦量的联系)，同时也改用“相量”，而不用“向量”， 是因为它表示的不是一般意义的向量，而是表示一个正弦 量同。样可以建立正弦电压与相量的对应关系：
平均功率：
P 1 T
T pdt 1
0
T
T
0 URI[1 cos 2(wt i )]dt
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二 . 电感
时域形式：
已知 i(t) 2I sin(wt i )
同样可比较两个电压或两个电流的相位差。
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4.2 正弦量的相量表示
一、复数及运算 1. 复数A表示形式： A=a+jb (j 1 为虚数单位)
Im
b
A
Im
b
A
|A|
O
a Re
O
a Re
A a jb A | A |
| A | e j | A | (cos j sin) a jb A | A | e j | A |
A1
A2 1 2
乘法：模相乘，角相加。
A1 A2
|
A1
|
θ 1
|
A2
|
θ 2
| A1 | ejθ1 | A2 | ejθ2
| A1 | ej(θ1θ2 ) | A2 |
| A1 | | A2 |
θ 1
θ 2
除法：模相除，角相减。
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例1. 547 10 25 ? 解: 547 10 25 (3.41 j3.657) (9.063 j4.226)
i 波形：
T
/w O
t
周期T ：重复变化一次所需的时间。单位：s，秒 f =1/T
频率f ：每秒重复变化的次数。单位：Hz，赫(兹)
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二、正弦量的三要素：
(1) 角频率(angular frequency)w ：每秒变化的角度(弧度)，
反映正弦量变化快慢。
w 2 f 2 T 单位： rad/s ，弧度 / 秒
cos( )
j sin( )
2
2
2
0
Re
I jI
j
, e j cos() j sin() 1
ej/2 =j , e-j/2 = -j, ej= –1 故 +j, –j, -1 都可以看成旋转因子。
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二、正弦量的相量表示
两个正弦量 i1
角频率： 有效值： 初相位：
学习要求：
❖ 掌握正弦量的三要素：频率、幅度、相位； ❖ 掌握正弦量的常用三种相量表示方法以及相量的运算； ❖ 掌握电阻、电容、电感伏安特性的相量表示； ❖ 掌握电路定律的相量表示。
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4.1 正弦量的三要素
一. 正弦量：按正弦规律变化的量。
i
+ u_
瞬时值表达式：i(t)=Imsin(w t+) u(t)=Umsin(w t+)
先到达最大值)；
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特殊相位关系：
u, i
=0，同相：
O
u, i
= (180o) ，反相：
O
规定： || (180°)。
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u i
wt
u
iw t
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u, i u i
O
wt
= /2：u 领先 i /2, 不说 u 落后 i 3/2；
i 落后 u /2, 不说 i 领先 u 3/2。
这实际上是一种 变换思想
例．u1(t) 6 2sin(314t 30) V
U1 630o V
u2 (t ) 4 2sin(314t 60o ) V
U2 460o V
U U1 U2 630 460 5.19 j3 2 j3.46 7.19 j6.46 9.6441.9o V