高考数学二轮总复习 基本不等式及其应用

2015届高考数学二轮总复习 基本不等式及其应用

【例3】 (1)(2013·天津高考)设a ＋b ＝2，b >0，则12|a |＋|a |

b

的最小值为________．

(2)(2014·湖北高考)某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F (单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时)与车流速度v (假设车辆以相同速度v 行驶，单位：

米/秒)、平均车长l (单位：米)的值有关，其公式为F ＝76 000 v

v 2＋18 ＋20l

.

①如果不限定车型，l ＝6.05，则最大车流量为______辆/小时；

②如果限定车型，l ＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/小时． 【解析】 (1)分a >0和a <0，去掉绝对值符号，用均值不等式求解．

当a >0时，12|a |＋|a |b ＝12a ＋a b ＝a ＋b 4a ＋a b ＝14＋(b 4a ＋a b )≥5

4；

当a <0时，12|a |＋|a |b ＝1－2a ＋－a b ＝a ＋b －4a ＋－a b ＝－14＋(b －4a ＋－a b )≥－14＋1＝3

4.

综上所述，12|a |＋|a |b 的最小值是3

4.

(2)①F ＝76 000v ＋20×6.05v

＋18

≤76 000

2121＋18＝1 900，

当且仅当v ＝11时等号成立． ②F ＝76 000v ＋20×5v

＋18

≤76 000

2100＋18＝2 000，当且仅当v ＝10时等号成立，2 000－1 900

＝100.

【答案】 (1)3

4

(2)①1 900 ②100

【规律方法】 利用基本不等式求函数最值应注意的问题：

(1)一般地，分子、分母有一个一次、一个二次的分式结构的函数以及含有两个变量的函数，特别适合用基本不等式求最值．

(2)在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．解题时应根据已知条件适当进行添(拆)项，创造应用基本不等式的条件．

注意：在使用基本不等式时，一般要把求最值的函数或代数式化为ax ＋b x

的形式，常用的方法是变量分离和配凑法．

[创新预测]

3．(1)(2014·洛阳统考)若正实数x ，y ，z 满足x 2＋4y 2

＝z ＋3xy ，则当xy z

取最大值时，

1x

＋12y －1

z

的最大值为( ) A ．2 B.32 C ．1 D.1

2

【解析】 ∵z ＝x 2

＋4y 2

－3xy ，x ，y ，z ∈(0，＋∞)，∴xy z ＝

xy x 2＋4y 2

－3xy ＝1

x y ＋4y

x

－3≤1(当且仅当x ＝2y 时等号成立)，此时1x ＋12y －1z ＝1y －12y 2，令1y ＝t >0，则1x ＋12y －1z ＝t －12t 2≤1

2

(当

且仅当t ＝1时等号成立)．故选D.

【答案】 D

(2)(2014·潍坊联考)已知不等式

x ＋2

x ＋1

<0的解集为{x |a 0，则2m ＋1

n

的最小值为( )

A ．4 2

B ．8

C ．9

D ．12

【解析】 易知不等式x ＋2

x ＋1

<0的解集为(－2，－1)，所以a ＝－2，b ＝－1，则2m ＋n ＝1，

2m ＋1n ＝(2m ＋n )(2m ＋1n )＝5＋2m n ＋2n m ≥5＋4＝9(当且仅当m ＝n ＝13时取等号)，所以2m ＋1

n 的最小值为9.

【答案】 C

[总结提升] 通过本节课的学习，需掌握如下三点： 失分盲点

1．(1)不等式变形时，不等号的方向易出错．

(2)二次项的系数中含有参数时，该不等式不一定是二次不等式． (3)同向不等式可以相加，但能否相乘是有条件的． 2．(1)不等式(组)表示的区域确定错误．

(2)线性目标函数的斜率与可行域的边界斜率大小分不清．

(3)y ＝a b x ＋z b

中截距的符号弄反，导致平移时上下方向错误．

3．利用基本不等式求最值时，一定要注意基本不等式的适用条件，否则容易出错． 答题指导

1．(1)看到不等式需要变形，想到用性质有根有据进行． (2)看到解含参数的不等式，想到参数对求解过程的影响．

(3)看到求不等式中的参数，想到数形结合(画数轴或画函数图象)． 2．(1)看到不等式组的表示区域，想到“直线定界，特殊点定域”． (2)看到求线性目标函数最值，想到平移目标函数等直线进行观察．

(3)看到求约束条件或目标函数中的参数，想到由目标函数的最值列方程(组)求解． 3．(1)看到和为定值，想到积是否有最值． (2)看到积为定值，想到和是否有最值． 方法规律

一元二次不等式的解法，分离参数法解决不等式恒成立问题，利用“穿根法”求解高次不等式.

运算的合理性与转化思想的体现

运算能力不仅要求会根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理，还要求能根据问题的条件寻找合理的简捷的运算途径，这也是在实施运算过程中遇到障碍而调整运算能力的具体表现．

【例1】 设实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪

⎧

x －y －2≤0，x ＋2y －5≥0，

y －2≤0，

则u ＝x 2＋y 2

xy

的取值范围是________．

【解析】 画出的可行域为点(1,2)，(3,1)，(4,2)形成的三角形，u ＝x 2＋y 2xy ＝x y ＋y －0

x －0

，

设k ＝y x ，则k ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2，所以u ＝k ＋1k 在k ∈⎣⎢⎡⎦

⎥⎤13，2时，u min ＝2，u max ＝3＋13＝103.所以u ＝x 2＋y 2xy 的取值范围是⎣

⎢⎡⎦⎥⎤2，103.

【答案】 ⎣

⎢⎡⎦

⎥⎤2，103

【规律感悟】 形如u ＝x 2＋y 2

xy

的式子在可行域确定的前提下需要进行适当转化，化为具

有几何意义的算式，如直线的斜率、点到直线的距离等，从而求得相应的取值范围．

【例2】 (2014·浙江高考)已知实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，a 2＋b 2＋c 2

＝1，则a 的最大值是________．

【解析】 利用不等式求解．

因为a ＋b ＋c ＝0，所以b ＋c ＝－a .

因为a 2＋b 2＋c 2

＝1，

所以－a 2＋1＝b 2＋c 2＝(b ＋c )2－2bc ＝a 2

－2bc ，

所以2a 2－1＝2bc ≤b 2＋c 2＝1－a 2

，

所以3a 2≤2，所以a 2

≤23，所以－63≤a ≤63

.

所以a max ＝6

3

. 【答案】

63

【规律感悟】 形如本题已知含有两个条件和三个变量的问题，要想求某个变量的取值范围，一般采用消元法．本题还可消b 或c 后利用方程求a 的最大值．(把c ＝－(a ＋b )代入

a 2＋

b 2＋

c 2＝1得2b 2＋2ab ＋2a 2－1＝0，由Δ≥0得3a 2≤2，所以a max ＝6

3

.)