求一般位置直线的实长和对投影面的倾角

求一般位置直线的实长和对投影面的倾角在投影面平行线和投影面垂直线的三个投影中，至少有一个投影能反映线段的真实长度及其对投影面的真实倾角。

而一般位置直线的三个投影，既不反映线段的真实长度，也不反映其对投影面的真实倾角。

下面介绍根据投影图求作一般位置直线的实长及其对投影面倾角的直角三角形法。

如图1，AB为一般位置直线，过点A作AB0∥ab，则得一直角三角形ABB0，线段AB是它的斜边，即为实长；直角边AB0=ab，BB0=Z B－Z A为线段AB两端点的 Z坐标差，也是a’、b’到X轴的距离差；∠BAB0为线段AB对H面的倾角α。

从图中可见，已知AB的两个投影，就相当于给定了直角三角形ABB0的两个直角边，因而可以求出AB的实长及对H面的倾角。

图1 AB的投影与其实长及α角的关系图2 AB的投影与其实长及β角的关系在图2中，若过A点作 AB1∥a’b’，则得直角三角形ABB1，用类似前面的分析方法，已知AB的两个投影，可以求出AB的实长及对V面的倾角。

例1：如图3a所示，根据线段AB的正面投影和水平投影，求线段AB的实长及其对H面的倾角α。

图3 例1
解: 解题步骤如下(见图3b)：
（1）以水平投影ab为一直角边，过b点（或过 a点）作bB0⊥ab，且 bB0=Z B－Z A。

Z B
－Z A,可直接在正面投影上量取。

(2) 连接aB0，aB0即为所求线段AB的实长。

(3) 实长aB0与水平投影ab的夹角即为线段AB对H面的倾角α。

实际作题时，也可以采用图3c所示的方法,即作a’B0∥X轴，延长a’B0至A0,使B0A0=ab,连接b’A0 ,b’A0即为所求线段AB的实长, b’A0与B0A0的夹角即为α。

例2：如图4a所示，根据线段CD的正面投影和水平投影，求作线段AB的实长及对V面的倾角β。

图4 例2
仿例1，做法如图4b和图4c所示。

综上所述可以看出，已知一般位置直线的两个投影，求其实长及对投影面的倾角，可以通过作直角三角形得到，因此将这种方法称为直角三角形法。

其作图方法是：以空间线段在某一投影面上的投影为一直角边，以空间线段的两端点对该投影面的坐标差为另一直角边，由此构成的直角三角形的斜边即为该线段的实长，斜边与线段投影的夹角即为线段对该投影面的倾角。

在应用直角三角形法中，三角形包含四个因素：投影、坐标差、实长及倾角，只要知道其中的两个因素，就可以把其它两个求出来。

例3: 如图5a所示，已知直线EF对V面的倾角β=30°、e’f’及 e, 求 ef。

图5 例3
解: 作图步骤如下(见图5b)：
(1) 过f’点作f’P⊥e’f’,且使∠f’e’P = 3O°,组成一直角三角形。

在直角三角形e’f’P 中，f’P = Y F-Y E。

(2) 过f’作X轴的垂线，与过e平行于X轴的直线相交于Q；在f’Q的延长线上截取Qf=Y F-Y E确定f点的位置。

(3) 连接ef,ef即为所求。

实际作题时，也可采用图5c所示的方法,即作eQ∥X轴，延长eQ至T, 且使QT= e’f’,∠QTf = 3O°, 组成直角三角形TQf，连接ef,ef即为所求。

例4: 如图6a所示，已知直线GK=30、gk及 g’, 求 g’k’。

图6 例4
仿例3，做法如图6b和c所示。

由以上讨论可归纳如下：
①已知直线的两面投影，用直角三角形法，可求其实长及其对投影面倾角；
②已知直线的一面投影，一个端点的另一面的投影及实长或与投影面夹角，可求直线的另一面投影。