厄米算符的对易关系(优选.)

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§6 - 3 厄米算符的对易关系

一算符的一般运算规则和对易式

1 、算符之和与积

1 ) 单位算符I

对于任意的波函数，有

ψ=

ψ

I.

(6. 42)

2 ) 算符A

ˆ和B ˆ相等 如果对于任意的波函数ψ,都有

ψψB A ˆˆ=, 则有

B A ˆˆ=. (6. 43)

3 ) 算符A ˆ与B ˆ之和B A ˆˆ+

对于任意的波函数ψ，有

ψψψB A B A ˆˆ)ˆˆ(+=+.

(6. 44)

显然：

A B B A ˆˆˆˆ+=+,

(满足交换律)

C B A C B A ˆ)ˆˆ()ˆˆ(ˆ++=++,

(满足结合律)

可证:

● 两个线性算符之和仍为

线性算符.

● 两个厄米算符之和仍为厄

米算符。

4 ) 算符A

ˆ与B ˆ之积B A ˆˆ 对于任意的波函数ψ，有

)ˆ(ˆ)ˆˆ(ψψB A B A =.

(6. 45)

问题：两个厄米算符之积是不是厄米算符？

研究两个算符作用是否与次序有关？

2、 对易式及其满足的恒等式

算符之积一般并不满足交换律，

即

0ˆˆˆˆ≠-A B B A . ● 对易式的定义

A B B A B A ˆˆˆˆ]ˆ,ˆ[-≡.

(6. 46)

若0]ˆ,ˆ[=B A

，则称算符A ˆ与B ˆ对易；

若]ˆ,ˆ[B A

≠ 0，则称算符A ˆ与B ˆ不对易。

● 两个厄米算符之积一般并不是厄米

算符，除非这两个厄米算符可对

易。具体而言，若A A

ˆˆ=+，B B ˆˆ=+，则有

A B A B B A ˆˆˆˆ)ˆˆ(==+++,

(6. 47)

只有当0]ˆ,ˆ[=B A

或B A A B ˆˆˆˆ=时，才有

B A B A ˆˆ)ˆˆ(=+,

这时两个厄米算符A

ˆ与B ˆ的积B A ˆˆ才是厄米算符。

● 对易式满足下列恒等式：

]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[]ˆˆ,ˆ[C A B A C B A

±=±, ]ˆ,ˆ[ˆˆ]ˆ,ˆ[]ˆˆ,ˆ[C A B C B A C B A

+=,

(6. 48)

]ˆ,ˆ[ˆˆ]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆˆ[C B A B C A C B A

+=.

3、 逆算符1ˆ-A

若由 φψ=A

ˆ 能够唯一地解出ψ，则有

φ1ˆ-A ψ=.

若算符A

ˆ的逆算符1ˆ-A 存在，则有 I A A A A ==--ˆˆˆˆ11.

可以证明，若A

ˆ与B ˆ的逆算符均存

在，则有

111ˆˆ)ˆˆ(---=A B B A .

(6. 49)

二 学的基量子力本对易式

1、 动量算符的各个分量之间可对易

0]ˆ,ˆ[=y x p p

, 0]ˆ,ˆ[=z y p p

, 0]ˆ,ˆ[=x z p p

. 由坐标表象中的动量算符为

∇-= i ˆp

立即可证.

2、 量子力学的基本对易式（位置算符和动量算符各分量之间的对易式，重要！）

αβ

βαδ= i ],[p x ,

(6.50) 其中z y x ,,,=βα或1, 2, 3，这里

用了克罗内克符号

1,0.αβαβαβ=⎧δ=⎨≠⎩.

可见，动量算符的各个分量只与位置

算符的不同分量对易

0]ˆ,[=y p

x , 0]ˆ,[=z p

x , 0]ˆ,[=x p y , 0]ˆ,[=z p y ,

0]ˆ,[=x p z , 0]ˆ,[=y p

z ; 动量算符的相同分量之间是不可对易的

i ]ˆ,[]ˆ,[]ˆ,[===z y x p z p y p

x . 凡与经典力学量相对应的力学量之

间的对易关系，均可由此导出。显然，

克普朗常量在力学量的对易关系中起着关键性的作用。

证明:

考虑坐标算符x 和动量算符的x

分量x p

ˆ. 对于任一波函数ψ，有 ψψx

x p x x ∂∂-= i ˆ,

ψψψψx

x x x x p x ∂∂--=∂∂-= i i )(i ˆ.

将以上两式相减，得

ψψ i )ˆˆ(=-x p p

x x x . 由于ψ 是体系的任意波函数，所以有

i ˆˆ=-x p p

x x x . 其它等式与此类似证明。（典型证法，要掌握）

三 角动量算符各分量之间的对易式

1、角动量算符各分量之间

(6. 51)

2、角动量算符平方与各分量之间

),,(.0]ˆ,ˆ[2z y x L L ==αα.

(6. 52)

3、

角动量算符各分量与空间坐标

分量之间

0],ˆ[=x L x , z y L

x i ],ˆ[=, y z L

x i ],ˆ[-=, z x L y i ],ˆ[-=, 0],ˆ[=y L y ,

x z L

y i ],ˆ[=, （6. 53）

y x L z i ],ˆ[=, x y L z i ],ˆ[-=, 0],ˆ[=z L

z . 由以上各式可以归纳出以下规则：从左到右，以x z y x →→→依次循环指标为正，任一指标“错位”则为负，相同指标则为零。