最新人教版八年级下册数学培优课件17.1.1勾股定理

.
答案 5 解析 连接OP(O为坐标原点),作PA⊥x轴于A,则PA=4,OA=3.根据勾股定 理,得OP=5.
17.1.1 勾股定理
4.在△ABC中,∠C=90°,∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c.
(1)若b=2,c=3,则a=
;
(2)若a∶c=3∶5,b=32,则a=
,c=
.
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答案 (1) 5 (2)24;40
角形的周长为 ( )
A.12
B.7+ 7
C.12或7+ 7
D.以上都不对
答案 C 设第三边的长为x(x>0).①当4为直角三角形的直角边长时,x为 斜边长,由勾股定理得,x= 32 42 =5,此时这个三角形的周长为3+4+5=12; ②当4为直角三角形的斜边长时,x为直角边长,由勾股定理得,x= 42 -32 = 7,此 时这个三角形的周长为3+4+ 7 =7+ 7 ,故选C.
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2.如图是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形(两直角边长分别是a、b, 斜边长为c)和一个正方形(边长为c).请你将它们拼成一个能验证勾股定理 的图形. (1)画出拼成的图形的示意图; (2)用(1)中画出的图形验证勾股定理.
17.1.1 勾股定理
解析 (1)(答案不唯一)如图.
17.1.1 勾股定理
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知识点一 勾股定理 1.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,a=12,b=16,则c=
()
A.26
B.18
C.20
D.21
答案 C 因为∠C=90°,所以c是斜边,由勾股定理,得c= a2 b2 = 122 162 =20.
17.1.1 勾股定理
17.1.1 勾股定理
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初中数学（人教版）
八年级 下册
第十七章 勾股定理
第1十7.七1.1章 勾勾股股定定理理
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第1十7.七1.1章 勾勾股股定定理理
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知识点一 勾股定理
勾股定理
内容
图例
内容
如果直角三角形的两条直角边 长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+ b2=c2.
符号语言
答案 D
17.1.1 勾股定理
知识点二 勾股定理的验证
项目
内容
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勾股定理验证的思路
用拼图法验证勾股定理的思路:(1)图形经过割补拼接后,只要没有重叠,没 有空隙,那么面积不会改变;(2)根据同一图形面积的不同表示方法列出等 式,推导出勾股定理
勾股定理验证的实质
勾股定理的验证是通过拼图法,即图形割补来完成的,探索的关键是要找 面积相等,通过面积之间的相等关系,将“形”的问题转化为“数”的问 题
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2.(2019浙江宁波慈溪期末)在△ABC中,AB=AC=15,BC=18,则BC边上的高
为( )
A.12
B.10
C.9
D.8
答案 A 如图,作AD⊥BC于D,
∵AB=AC,∴BD= 1 BC=9,
2
由勾股定理得,AD= AB2 -BD2 =12,故选A.
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3.(2019江苏常州中考)平面直角坐标系中,点P(-3,4)到原点的距离是
A.108
图17-1-1-1
B.50
C.20
D.12
17.1.1 勾股定理
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答案 C 如图,由勾股定理可知,正方形G的面积=正方形A的面积+正方
形B的面积=12,正方形H的面积=正方形C的面积+正方形D的面积=8,∴正
方形E的面积=正方形G的面积+正方形H的面积=20,故选C.
17.1.1 勾股定理
解析 (1)∵∠C=90°,a=b=6, ∴由勾股定理,得c= a2 b2 = 62 62 =6 2 . (2)∵∠C=90°,c=3,b=2, ∴由勾股定理,得a= c2 -b2 = 32 -22 = 5 . (3)∵a∶b=2∶1, ∴a=2b. 又∵∠C=90°,c=5, ∴由勾股定理,得(2b)2+b2=52, ∴b= 5 .
D.若a、b、c分别是Rt△ABC中∠A,∠B,∠C所对的边,∠C=90°,则a2+b2=c2
解析 勾股定理中“a2+b2=c2”表达的含义是直角三角形两条直角边的平 方和等于斜边的平方,这个结论成立的前提 条件有两个:一是这个三角形是直角三角形;二是a、b是直角边,c是斜边,这 两个条件缺一不可.
在Rt△ABC中,由勾股定理得,AB= AC2 BC2 =10.
设CD=x(x>0),∵S△ACD+S△ABD=S△ABC,
∴ 1 AC·CD+1 AB·DE=1 AC·BC,
2
2
2
即 1 ×6x+ 1 ×10x= 1 ×6×8,
2
2
2
解得x=3,即CD=3.
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17.1.1 勾股定理
17.1.1 勾股定理
易错点二 忽视勾股定理应用的前提条件致错
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例2 已知△ABC的三边长为整数,且较短两边的长分别为3和4,则最长边
的长为
.
正解
设最长边的长为x,则4x-3
x 4,
4
3,
解得4<x<7,因为x为整数,所以x=
5或6.
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答案 5或6
错解 因为较短两边的长为3,4,所以最长边为斜边,由勾股定理得,最长边 的长为 32 42 =5. 错解警示 勾股定理必须在直角三角形中使用,在没有说明的情况下,三角 形可能是直角三角形,也可能不是,不能因为较短两边的长为3,4,就认定三 角形是直角三角形.
解析 (1)∵∠C=90°,∴a2+b2=c2,∴a= c2 -b2 = 9-4 = 5 . (2)设a=3x,c=5x(x>0), ∵a2+b2=c2, ∴(3x)2+322=(5x)2,∴x=8. ∴a=24,c=40.
17.1.1 勾股定理
知识点二 勾股定理的验证
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5.(2019湖南长沙雅礼中学期末)如图17-1-1-1是美丽的勾股树,其中所有的 四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形.若正方形A、B、C、D 的面积分别是5、7、3、5,则正方形E的面积是 ( )
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6.(2019北京延庆期末)“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定
理,是我国古代数学的骄傲,图17-1-1-2所示的“赵爽弦图”是由四个全等
的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形较长直
角边的长为a,较短直角边的长为b,若ab=8,大正方形的面积为25,则小正方
形的边长为
2
2
22
2
简得c2=a2+b2.
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题型一 利用勾股定理求直角三角形的第三边
例1 在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别是a,b,c. (1)已知a=b=6,求c; (2)已知c=3,b=2,求a; (3)已知a∶b=2∶1,c=5,求b.
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在Rt△ABC中,若a,b为直角边 长,c为斜边长,则a2+b2=c2
17.1.1 勾股定理
例1 下列说法正确的是 ( )
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A.若a、b、c分别是△ABC中∠A,∠B,∠C所对的边,则a2+b2=c2
B.若a、b、c分别是Rt△ABC中∠A,∠B,∠C所对的边,则a2+b2=c2
C.若a、b、c分别是Rt△ABC中∠A,∠B,∠C所对的边,∠A=90°,则a2+b2=c2
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4.(2017四川遂宁期中)如图17-1-1-5,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分
∠BAC,若AC=6,BC=8,则CD的长为 ( )
图17-1-1-5
A.2
B.3
C.4
D.5
17.1.1 勾股定理
答案 B 过点D作DE⊥AB于点E,
∵AD平分∠BAC,
∴CD=DE,
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(2)证明:∵大正方形的面积可表示为(a+b)2,也可表示为c2+4× 1 ab,
2
∴(a+b)2=c2+4× 1 ab,即a2+b2+2ab=c2+2ab,
2
∴a2+b2=c2,
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
17.1.1 勾股定理
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1.(2017广西防城港期中)如图17-1-1-3,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,若AB=15, 则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为 ( )
4
4
4
4
= 1 ×2AB2= 1 ×9= 9 .
4
22
答案 9
2
17.1.1 勾股定理
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易错点一 用勾股定理时未对边的类型分类讨论导致漏解
例1 已知直角三角形的两边长分别为5和12,求第三边的长. 正解 当第三边是直角边时,第三边的长为 122 -52 = 119 ;当第三边是斜边 时,第三边的长为 52 122 = 169 =13,所以第三边的长为13或 119 . 错解 由勾股定理得,第三边的长为 52 122 =13. 错解警示 误认为本题中12,5是直角边长而致错.当题目中没有明确说明 哪条边是斜边时,要分类讨论.
A.4
B.8
C.16
D.32
17.1.1 勾股定理
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答案 C 如图,根据勾股定理知④号正方形的边长为 12 12 = 2 ,则②号
正方形的边长为 ( 2)2 ( 2)2 =2,⑤号正方形的边长为 22 22 =2 2 ,①号
正方形的边长为 (2 2)2 (2 2)2 =4,所以①号正方形的面积为4×4=16.故选C.
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3.(2019江苏泰州泰兴期末)如图17-1-1-4,△ABC中,AB=AC,AB=5,BC=8,AD
平分∠BAC,则AD的长为 ( )
图17-1-1-4
A.5
B.4
C.3
D.2
答案 C ∵AB=AC,AD平分∠BAC,∴BD=1 BC=4,AD⊥BC,由勾股定理
2
得,AD= AB2 -BD2 =3,故选C.
.
图17-1-1-2
答案 3
17.1.1 勾股定理
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解析 由题意可知中间小正方形的边长为a-b,每一个直角三角形的面积
为 1 ab= 1 ×8=4,∴4× 1 ab+(a-b)2=25,∴(a-b)2=25-16=9,∴a-b=3,故答案是3.
22
2
17.1.1 勾股定理
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1.如图是由5个正方形和5个等腰直角三角形组成的图形,已知③号正方形 的面积是1,那么①号正方形的面积是 ( )
图17-1-1-1 分析 连接CC'.易证Rt△ADC与Rt△C'B'A全等,所以AC=AC',∠DAC= ∠AC'B',从而得到△ACC'为等腰直角三角形,运用不同的方法表示出△ACC' 的面积即可.
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解析 连接CC'.易证Rt△ADC≌Rt△C'B'A,所以AC=AC',∠DAC=∠B'C'A,
拓展延伸
拼图法 步骤
①拼出图形;②写出图形面积表达式;③找出等量关 系;④恒等变形;⑤推导出勾股定理
原则
图形割补、拼接前后不重叠、没有空隙
17.1.1 勾股定理
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例2 如图17-1-1-1所示,设长方形ABCD的两邻边长分别为a,b,对角线长为 c,推倒后的长方形为AB'C'D',试用该图形验证勾股定理.
所以AH2= 1 AC2,
2
所以S△ACH=
1 2
AH·HC=
1 2
AH2=
1 4
AC2.
同理,S△BCF=
1 4
BC2,S△ABE=
1 4
AB2.
在Rt△ABC中,AC2+BC2=AB2,AB=3,
故阴影部分的面积为S△ACH+S△BCF+S△ABE
= 1 AC2+ 1 BC2+ 1 AB2= 1 (AC2+BC2+AB2)
又∠B'C'A+∠C'AB'=90°,所以∠DAC+∠DAC'=90°,所以△ACC'为等腰直角
三角形,所以△ACC'的面积为 1 c·c=1 c2.另一方面,△ACC'的面积等于直角
22
梯形BCC'D'的面积减去两个完全一样的直角三角形(△ABC和△AD'C')的
面积之和,即S△ACC'= 1 (a+b)(a+b)-2× 1 a·b,从而得1 c2=1 (a+b)(a+b)-2×1 a·b,化
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17.1.1 勾股定理
题型二 利用勾股定理求面积
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例2 如图17-1-1-2,以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形.
若AB=3,则图中阴影部分的面积为
.
图17-1-1-2
17.1.1 勾股定理
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解析 因为△ACH为等腰直角三角形,所以AH=HC,AH2+HC2=AC2,
图17-1-1-3
A.225
B.200
C.250
D.150
答案 A 正方形ADEC的面积=AC2,正方形BCFG的面积=BC2.在Rt△ABC 中,AB2=AC2+BC2,AB=15,则AC2+BC2=225.故选A.
17.1.1 勾股定理
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2.(2017山东德州夏津期中)已知直角三角形两边的长分别为3和4,则此三