微积分D102二重积分计算
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D 1
xlny( 1y2)dxdy 0
D2
例 6 ：f(x 设 )在 a,b上,连 证续 明
bx
b
adxaf(y)dya(bx)f(x)dx
bx
证明：记 I dx f(y)dy, 则积分区域D为 aa
axb,ayx,
将D改写为： ayb,yxb
于是有
bb
b
I dy f(y)dx f(y)(by)dy
2 y2 x
y
则
D
:
y2xy2 1y2
oD
1
4x yx2
xyd D
2
dy
1
y2
y 2 xydx
211 2x2yyy 22dy1 2 21[y(y2)2y5]dy
1y44y32y21y62 45
24 3
6 1 8
sinx
例3. 计算
D
x
dxdy,
其中D 是直线 yx,y0,
x所围成的闭区域.
D
D
f2(x,y)dxdy
D
因此上面讨论的累次积分法仍然有效 .
例1. 计算 I xyd, 其中D 是直线 y＝1, x＝2, 及
D
y＝x 所围的闭区域. 解法1. 将D看作X–型区域,
则D
:
1yx 1x2
y
I
2
d
x
1
x x yd 1
y
2
1
1 2
xy2
| x
1
dx
2 y
yx
1
1212x312xdx
rkrkk
k
在 k 内取点(rk,k),对应有
k r k co k , k s r k si kn
rk
rk
n
lim f
0k1
(k,k)k
n
l i0k m 1f(rkcok,s rksik n )rk rkk
即 f(x,y)d f(rcos,rsin)rdrd
D
D
rd d
d
y
解: 由被积函数可知, 先对 x 积分不行,
因此取D 为X – 型域 :
D:
0 0
yx
x
yx
D x
o x
Dsixnxdxdy
sinxdx 0x
x
d
0
y
0
sinxdx
cosx
0
2
说明: 有些二次积分为了积分方便, 还需交换积分顺序.
例4. 交换下列积分顺序
2 x 2
22 8 x 2
I 0 d x 0 2f(x ,y )d y 2 d x 0 f(x ,y )d y
dr r
设 D: 1() r 2(),则
Dr2()
f(rco,srsi n)rdrd
D
d
2()f(rco ,rssin )rd or
1()
D
c
1(y)
x
定理
设 D 为上述X 定 型义 区 ,f(x 中 ,y 域 )在 的 D 上连 ,则
f(x,y)dxdybdx 2(x)f(x,y)dy a 1(x) D
设 D 为上述Y 定 型义 区 ,f(x 中 ,y 域 )在 的 D 上连 ,则
f(x,y)dxdyddy 2(y)f(x,y)dx c 1(y) D
Y –型区域
D : 1 (y c ) x y d 2 (y )， 其 i(y )i( 1 中 ,2 )是 c ,d 上
的连续 1(x)函 2(x数 )则 , D ， 为 称 Y -型 且区
由曲顶柱体体积的计算可知, 当被积f函 (x,y数 )0
且在D上连续时, 若D为 X – 型区域
ay
a
b
a f(x)(bx)dx
二、利用极坐标计算二重积分
y 在极坐标系下, 用同心圆 r =常数
及射线 =常数, 分划区域D 为
k(k 1 ,2 , ,n )
o
则除包含边界点的小区域外,小区域的面积
k k
k
k
r rk x
k 1 2(rk rk)2 k12rk2k
1 2 [r k (r k r k ) r ] k k rkk
第二节
第十章
二重积分的计算法
一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分 *三、二重积分的换元法
一、利用直角坐标计算二重积分
X – 型区域
D : 1 (x a ) y x b 2 (x )， 其 i(x )i( 1 中 ,2 )是 a ,b 上
的连续 1(x)函 2(x 数 )则 , D ， 为 称 X -型 且区
y4x2, y D 3x,x1所围成.
解: 令 f(x ,y)xln y (1 y2)
其中D 由 y
4 y 4x2
DD1D2 (如图所示)
D1
显然,
在D1上, f( x ,y ) f(x ,y ) 在D2上, f(x , y ) f(x ,y )
y 3x
oD 2
1x
x 1
Ixlny( 1y2)dxdy
y y2(x)
D:1(xa)yx b2(x)
则
f(x,y)dxdy
D
b
dx
a
2(x) f(x,
1(x)
若D为Y –型区域D: 1(yc) xy d2(y)
D x oay1(x)b x y)dy
y x2(y) d y
x1(y)
则
f(x,y)dxdy
d
dy
2(y) f(x,y)dx
c o
说明:(1)应用公式时应先确定D是X-型区域或Y-型区域
(2) 若积分区域既是X–型区域又是Y –型区域 ,
则有
f(x,y)dxdy
D
b
dx
a
2(x) f(x,y)dy
1(x)
d
dy
2(y) f(x,y)dx
c
1(y)
y d
y2(x)
xyc1(yy)D1x(x)2(y)
o a x bx
为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序.
(3) 若积分域较复杂,可将它分成若干 y
D2
X-型域或Y-型域 , 则
D1
D3
D
D1
D2
D3
o
x
(4)当被积函数f (x,y)在D上变号时, 由于
f(x,y)f(x,y)f(x,y)f(x,y)f(x,y)
2
2
f1(x, y)
f2(x,y) 均非负
f(x ,y )dxdy f1 (x ,y )dxdy
解: 积分域由两部分组成:
y
D1:00yx122x2, D2:02yx822x2 将 D D 1D 2视为Y–型区域 , 则
x2 y2 8
2
y
1 2
x2 D
1
D
2
o 22 2 x
D :
2yx 8y2 0y2
I
f(x,y)dxdy
2
dy
8y2
f (x,y)dx
0
2y
D
例5. 计算 Ixlny( 1y2)dxdy,
9 8
解法2. 将D看作Y–型区域,
则D
:
yx2o 1y2
1 x2x
2
I d y
1
y2x y d
x
2
1
1 2
x2y
|
2 y
2
dy
1
2y1 2y3 dy
9 8
例2. 计算 xyd , 其中D 是抛物线 y2 x 及直线
D
yx2所围成的闭区域.
y
解: 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分,
xlny( 1y2)dxdy 0
D2
例 6 ：f(x 设 )在 a,b上,连 证续 明
bx
b
adxaf(y)dya(bx)f(x)dx
bx
证明：记 I dx f(y)dy, 则积分区域D为 aa
axb,ayx,
将D改写为： ayb,yxb
于是有
bb
b
I dy f(y)dx f(y)(by)dy
2 y2 x
y
则
D
:
y2xy2 1y2
oD
1
4x yx2
xyd D
2
dy
1
y2
y 2 xydx
211 2x2yyy 22dy1 2 21[y(y2)2y5]dy
1y44y32y21y62 45
24 3
6 1 8
sinx
例3. 计算
D
x
dxdy,
其中D 是直线 yx,y0,
x所围成的闭区域.
D
D
f2(x,y)dxdy
D
因此上面讨论的累次积分法仍然有效 .
例1. 计算 I xyd, 其中D 是直线 y＝1, x＝2, 及
D
y＝x 所围的闭区域. 解法1. 将D看作X–型区域,
则D
:
1yx 1x2
y
I
2
d
x
1
x x yd 1
y
2
1
1 2
xy2
| x
1
dx
2 y
yx
1
1212x312xdx
rkrkk
k
在 k 内取点(rk,k),对应有
k r k co k , k s r k si kn
rk
rk
n
lim f
0k1
(k,k)k
n
l i0k m 1f(rkcok,s rksik n )rk rkk
即 f(x,y)d f(rcos,rsin)rdrd
D
D
rd d
d
y
解: 由被积函数可知, 先对 x 积分不行,
因此取D 为X – 型域 :
D:
0 0
yx
x
yx
D x
o x
Dsixnxdxdy
sinxdx 0x
x
d
0
y
0
sinxdx
cosx
0
2
说明: 有些二次积分为了积分方便, 还需交换积分顺序.
例4. 交换下列积分顺序
2 x 2
22 8 x 2
I 0 d x 0 2f(x ,y )d y 2 d x 0 f(x ,y )d y
dr r
设 D: 1() r 2(),则
Dr2()
f(rco,srsi n)rdrd
D
d
2()f(rco ,rssin )rd or
1()
D
c
1(y)
x
定理
设 D 为上述X 定 型义 区 ,f(x 中 ,y 域 )在 的 D 上连 ,则
f(x,y)dxdybdx 2(x)f(x,y)dy a 1(x) D
设 D 为上述Y 定 型义 区 ,f(x 中 ,y 域 )在 的 D 上连 ,则
f(x,y)dxdyddy 2(y)f(x,y)dx c 1(y) D
Y –型区域
D : 1 (y c ) x y d 2 (y )， 其 i(y )i( 1 中 ,2 )是 c ,d 上
的连续 1(x)函 2(x数 )则 , D ， 为 称 Y -型 且区
由曲顶柱体体积的计算可知, 当被积f函 (x,y数 )0
且在D上连续时, 若D为 X – 型区域
ay
a
b
a f(x)(bx)dx
二、利用极坐标计算二重积分
y 在极坐标系下, 用同心圆 r =常数
及射线 =常数, 分划区域D 为
k(k 1 ,2 , ,n )
o
则除包含边界点的小区域外,小区域的面积
k k
k
k
r rk x
k 1 2(rk rk)2 k12rk2k
1 2 [r k (r k r k ) r ] k k rkk
第二节
第十章
二重积分的计算法
一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分 *三、二重积分的换元法
一、利用直角坐标计算二重积分
X – 型区域
D : 1 (x a ) y x b 2 (x )， 其 i(x )i( 1 中 ,2 )是 a ,b 上
的连续 1(x)函 2(x 数 )则 , D ， 为 称 X -型 且区
y4x2, y D 3x,x1所围成.
解: 令 f(x ,y)xln y (1 y2)
其中D 由 y
4 y 4x2
DD1D2 (如图所示)
D1
显然,
在D1上, f( x ,y ) f(x ,y ) 在D2上, f(x , y ) f(x ,y )
y 3x
oD 2
1x
x 1
Ixlny( 1y2)dxdy
y y2(x)
D:1(xa)yx b2(x)
则
f(x,y)dxdy
D
b
dx
a
2(x) f(x,
1(x)
若D为Y –型区域D: 1(yc) xy d2(y)
D x oay1(x)b x y)dy
y x2(y) d y
x1(y)
则
f(x,y)dxdy
d
dy
2(y) f(x,y)dx
c o
说明:(1)应用公式时应先确定D是X-型区域或Y-型区域
(2) 若积分区域既是X–型区域又是Y –型区域 ,
则有
f(x,y)dxdy
D
b
dx
a
2(x) f(x,y)dy
1(x)
d
dy
2(y) f(x,y)dx
c
1(y)
y d
y2(x)
xyc1(yy)D1x(x)2(y)
o a x bx
为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序.
(3) 若积分域较复杂,可将它分成若干 y
D2
X-型域或Y-型域 , 则
D1
D3
D
D1
D2
D3
o
x
(4)当被积函数f (x,y)在D上变号时, 由于
f(x,y)f(x,y)f(x,y)f(x,y)f(x,y)
2
2
f1(x, y)
f2(x,y) 均非负
f(x ,y )dxdy f1 (x ,y )dxdy
解: 积分域由两部分组成:
y
D1:00yx122x2, D2:02yx822x2 将 D D 1D 2视为Y–型区域 , 则
x2 y2 8
2
y
1 2
x2 D
1
D
2
o 22 2 x
D :
2yx 8y2 0y2
I
f(x,y)dxdy
2
dy
8y2
f (x,y)dx
0
2y
D
例5. 计算 Ixlny( 1y2)dxdy,
9 8
解法2. 将D看作Y–型区域,
则D
:
yx2o 1y2
1 x2x
2
I d y
1
y2x y d
x
2
1
1 2
x2y
|
2 y
2
dy
1
2y1 2y3 dy
9 8
例2. 计算 xyd , 其中D 是抛物线 y2 x 及直线
D
yx2所围成的闭区域.
y
解: 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分,