《现代控制理论》课后习题答案1

G ( s) =
每一个环节的状态空间模型分别为：
1 2s + 5 ⋅ s+3 s+5
2 = −5 x 2 + u1 ⎧x ⎩ y = −5 x 2 + 2u1
1 = −3x1 + u ⎧x ⎨ ⎩ y1 = x1
又因为 y1 = u1 ， 所以
和 ⎨
1 = −3 x1 + u ⎧x ⎨ 2 = x1 − 5 x 2 ⎩x y = 2 x1 − 5 x 2
由此得到的 d 就是状态空间实现中的直接转移项 D 。 1.6 在例 1.2.2 处理一般传递函数的状态空间实现过程中，采用了如图 1.12 的串联分解， 试问：若将图 1.12 中的两个环节前后调换，则对结果有何影响？ 答: 将图 1.12 中的两个环节调换后 y a(s)
5
1.10
已知单输入单输出时不变系统的微分方程为:
(t ) + 3 y (t ) = u ( t ) + 6u ( t ) + 8u ( t ) y (t ) + 4 y
试求:（1）建立此系统状态空间模型的对角线标准形； （2）根据所建立的对角线标准形求系统的传递函数。 答: （1）由微分方程可得:
s 2 + 6s + 8 2s + 5 G(s) = 2 = 1+ 2 s + 4s + 3 s + 4s + 3
记
G 1 (s) =
其中，
c c 2s + 5 2s + 5 = = 1 + 2 ， s + 4 s + 3 ( s + 1)( s + 3) s + 1 s + 3
2
2s + 5 3 2s + 5 1 = ， c 2 = lim = 。 s → −1 s + 3 s → −3 s + 1 2 2 从输入通道直接到输出通道上的放大系数 d = 1 ，由此可得: 1 ⎤ ⎡− 1 0 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡1⎤ ⎡x ⎥=⎢ ⎢x ⎥ ⎢ ⎥ + ⎢ ⎥u ⎣ 2 ⎦ ⎣ 0 − 3⎦ ⎣ x 2 ⎦ ⎣1⎦ c1 = lim
⎡0 = ⎢1 x ⎢ ⎢ ⎣0 y = [0
两个环节调换前的状态空间模型是：
0 − a0 ⎤ ⎡ b0 ⎤ ⎥ 0 − a1 x + ⎢ b1 ⎥ u ⎥ ⎢ ⎥ 1 − a2 ⎥ ⎢ ⎦ ⎣b2 ⎥ ⎦ 0 1] x
1 0 ⎤ ⎡ 0 ⎡0 ⎤ ⎢ ⎥ ⎥ = 0 0 1 ⎥x+⎢ x ⎢ ⎢0 ⎥ u ⎢ ⎢ ⎣ − a0 − a1 −a2 ⎥ ⎦ ⎣1 ⎥ ⎦ y = [b0 b1 b2 ]x
系统的能观标准形为:
⎧ ⎡0 −6 ⎤ ⎡6⎤ =⎢ + ⎢ ⎥u x ⎪x ⎥ ⎣1 −5⎦ ⎣1 ⎦ ⎨ ⎪y = 0 1 x [ ] ⎩
1.8 考虑由下图描述的二阶水槽装置，
u2 x2 x1
u1
图 1.18
二阶水槽装置图
该装置可以看成是由两个环节串联构成的系统，它的方块图是：
4
u1 u2
能控标准型的特点： 状态矩阵的最后一行由传递函数的分母多项式系数确定， 其余部分具有 特定结构，输出矩阵依赖于分子多项式系数，输入矩阵中的元素除了最后一个元素是 1 外， 其余全为 0。 能观标准型的特点：能控标准型的对偶形式。 对角线标准型的特点：状态矩阵是对角型矩阵。 1.4 对于同一个系统，状态变量的选择是否惟一？ 答：对于同一个系统，状态变量的选择不是惟一的，状态变量的不同选择导致不同的状态空 间模型。 1.5 单输入单输出系统的传递函数在什么情况下，其状态空间实现中的直接转移项 D 不等 于零，其参数如何确定？ 答: 当传递函数 G ( s ) 的分母与分子的阶次相同时，其状态空间实现中的直接转移项 D 不等 于零。 转移项 D 的确定：化简下述分母与分子阶次相同的传递函数
3 2
6 =3 s → −1 ( s + 2)( s + 3) 6 c 2 = lim = −6 s → −2 ( s + 1)( s + 3) 6 c3 = lim =3 s → −3 ( s + 1)( s + 2) c1 = lim
故该系统状态空间模型的对角线标准形为:
1 ⎤ ⎡− 1 0 0 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡1⎤ ⎡x ⎢x ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 2 ⎥ = ⎢ 0 − 2 0 ⎥ ⎢ x 2 ⎥ + ⎢1⎥u ⎢ 3 ⎥ 0 − 3⎥ ⎣x ⎦ ⎢ ⎣0 ⎦⎢ ⎣ x3 ⎥ ⎦ ⎢ ⎣1⎥ ⎦ ⎡ x1 ⎤ ⎥ y = [3 − 6 3]⎢ ⎢ x2 ⎥ ⎢ ⎣ x3 ⎥ ⎦
1 1 ， b( s ) = b2 s 2 + b1s + b0 。 = 3 2 a ( s ) s + a2 s + a1s + a0
2
由于 s y 相当于对 y 作 3 次积分，故
−3
y 1 = 可用如下的状态变量图表示： m a( s)
− ∫
a1 a2
m
−
a0
∫
− ∫
y
因为 s 2b 相当于对 b 作 2 次微分，故
又因为 u = u1 + x 2 ，所以
1 = − a1 x1 + b1 x 2 + b1u1 x 2 = − a2 x2 + b2 u 2 x y = x1
进一步将其写成向量矩阵的形式，可得：
1 ⎤ ⎡− a1 ⎡x ⎥=⎢ ⎢x ⎣ 2 ⎦ ⎣ 0
b1 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡b1 ⎢ ⎥+⎢ − a2 ⎥ ⎦ ⎣ x2 ⎦ ⎣ 0
⎡ 3 1 ⎤ ⎡ x1 ⎤ y=⎢ ⎥⎢ ⎥ + u ⎣ 2 2 ⎦ ⎣ x2 ⎦ ⎡1⎤ ⎡− 1 0 ⎤ ⎡3 1⎤ ， D = 1 ，因此 （2） 由于 A = ⎢ ， B = ⎢ ⎥ ，C = ⎢ ⎥ ⎣2 2⎥ ⎦ ⎣ 0 − 3⎦ ⎣1⎦
G ( s ) = C ( sI − A)−1 B + D
= = 1 ⎡3 ( s + 1)( s + 2) ⎢ ⎣2 1.5 0.5 + +1 s +1 s + 3 1 ⎤ ⎡ s + 3 0 ⎤ ⎡1⎤ ⎢ ⎢ ⎥ +1 s + 1⎥ 2⎥ ⎦⎣ 0 ⎦ ⎣1⎦
1.11
已知系统的传递函数为
G ( s) =
2s + 5 ( s + 3)( s + 5)
（1） 采用串联分解方式，给出其状态空间模型，并画出对应的状态变量图； （2） 采用并联分解方式，给出其状态空间模型，并画出对应的状态变量图。 答:（1）将 G ( s ) 重新写成下述形式：
b2 s + a2
图 1.19
x2
b1 s + a1
x1
二阶水槽系统的方块图
试确定其状态空间模型。 答：图 1.19 中两个环节的状态空间模型分别为:
2 = − a 2 x 2 + b2 u 2 1 = − a1 x1 + b1u ⎧x ⎧x 和 ⎨ ⎨ ⎩ y 2 = x2 ⎩ y = x1
1.3 线性系统的状态空间模型有哪几种标准形式？它们分别具有什么特点？ 答: 线性系统的状态空间模型标准形式有能控标准型、能观标准型和对角线标准型。对于 n 阶传递函数
bn −1s n −1 + bn − 2 s n − 2 + " + b1s + b0 G(s) = +d ， s n + an −1s n −1 + " + a1s + a0
m = b( s ) 可用如下的状态变量图表示: u
d dt
b2
u
d dt d dt
b1
m
b0
因此，两个环节调换后的系统状态变量图为
u
d dt d dt
d dt
b1
b2
m
−
a0
∫
a1
−
∫
a2
− ∫
y
b0
进一步简化，可得系统状态变量图为
u
b0
b1
b2
−
a0
∫
x1
− ∫
a1
x2
− ∫
a2
x3
y
3
= x2 ， 取 y = x3 ， y y = x1 ，可以得到两个环节调换后的系统的状态空间模型为
《现代控制理论》第一章习题解答
1.1
线性定常系统和线性时变系统的区别何在？
答：线性系统的状态空间模型为：
= Ax + Bu x y = Cx + Du
线性定常系统和线性时变系统的区别在于： 对于线性定常系统， 上述状态空间模型中的系数 矩阵 A ， B ， C 和 D 中的各分量均为常数，而对线性时变系统，其系数矩阵 A ， B ， C 和
bn s n + bn −1 s n −1 + " + b1 s + b0 G ( s) = n s + a n −1 s n −1 + " + a1 s + a 0
可得：
G(s) =
c n −1 s n −1 + " + c1 s + c 0 +d s n + a n −1 s n −1 + " + a1 s + a 0
0 ⎤ ⎡ u1 ⎤ ⎢ ⎥ b2 ⎥ ⎦ ⎣u 2 ⎦
⎡x ⎤ y = [1 0]⎢ 1 ⎥ ⎣ x2 ⎦
1.9 考虑以下单输入单输出系统:
+ 6 y = 6u y + 6 y + 11 y
试求该系统状态空间模型的对角线标准形。 答： 由微分方程可得:
G(s) =
其中，
c c c 6 6 = = 1 + 2 + 3 s + 6s + 11s + 6 ( s + 1)( s + 2)( s + 3) s + 1 s + 2 s + 3
⎧ ⎡ p1 0 " 0 ⎤ ⎡1⎤ ⎪ ⎢0 p " 0⎥ ⎢1⎥ 2 ⎪x ⎢ ⎥ x + ⎢ ⎥u ⎪ = ⎢ # ⎢# ⎥ # % # ⎥ ⑶ 对角线标准型： ⎨ ⎢ ⎥ ⎢⎥ ⎪ 0 0 " pn ⎦ ⎣1⎦ ⎣ ⎪ ⎪ ⎩ y = [ c1 c2 " cn ] x + du 式中的 p1 , p2 ,", pn 和 c1 , c2 ,", cn 可由下式给出， G ( s) = bn −1s n −1 + bn − 2 s n − 2 + " + b1s + b0 c c c + d = 1 + 2 +" + n + d n n −1 s + an −1s + " + a1s + a0 s − p1 s − p2 s − pn
3
x1
2 x −
∫
5
x2
5
−
y
（2）将 G ( s ) 重新写成下述形式：
G(S ) =
每一个环节的状态空间模型分别为：
−0.5 2.5 + s+3 s+5
分别有
⎧ 1 ⎡ 0 ⎪ ⎢ 0 0 ⎪ ⎢ ⎪ =⎢ # # ⎪x ⑴ 能控标准型： ⎨ ⎢ 0 ⎢ 0 ⎪ ⎢ ⎪ ⎣ − a0 − a1 ⎪ ⎪ ⎩ y = [b0 b1 " ⎧ ⎡0 ⎪ ⎢1 ⎪ ⎢ ⎪ = ⎢0 ⎪x ⑵ 能观标准型： ⎨ ⎢ ⎢# ⎪ ⎢ ⎪ ⎣0 ⎪ ⎪ ⎩ y = [0 0 0 1 # 0 " " " # "
D 中有时变的元素。线性定常系统在物理上代表结构和参数都不随时间变化的一类系统，
而线性时变系统的参数则随时间的变化而变化。 1.2 现代控制理论中的状态空间模型与经典控制理论中的传递函数有什么区别？ 答: 传递函数模型与状态空间模型的主要区别如下: 传递函数模型（经典控制理论） 仅适用于线性定常系统 用于系统的外部描述 基于频域分析 状态空间模型（现代控制理论） 适用于线性、非线性和时变系统 用于系统的内部描述 基于时域分析
0 1 # 0 − a2 bn − 2
0 ⎤ " ⎡0⎤ ⎥ ⎢0⎥ 0 ⎥ " ⎢ ⎥ % # ⎥ x + ⎢# ⎥ u ⎥ ⎢ ⎥ 1 ⎥ " ⎢0⎥ ⎢ " −an −1 ⎥ ⎦ ⎣1 ⎥ ⎦ bn −1 ] x + du
+ du 0 " 0 1] x
1
0 − a0 ⎤ ⎡b0 ⎤ ⎢b ⎥ ⎥ 0 − a1 ⎥ ⎢ 1 ⎥ + ⎢# ⎥ u 0 −a2 ⎥ x ⎢ ⎥ ⎥ # # ⎥ ⎢bn−2 ⎥ ⎢b ⎥ 1 − an−1 ⎥ ⎦ ⎣ n−1 ⎦
显然，调换前后的状态空间实现是互为对偶的。 1.7 已知系统的传递函数
Y ( s) s+6 = 2 U ( s ) s + 5s + 6
试求其状态空间实现的能控标准形和能观标准形。 答： 系统的能控标准形为:
⎧ ⎡0 1⎤ ⎡0 ⎤ =⎢ x + ⎢ ⎥u ⎪x ⎥ ⎣ −6 −5⎦ ⎣1 ⎦ ⎨ ⎪y = 6 1 x [ ] ⎩
6
因此，若采用串联分解方式，则系统的状态空间模型为：
1 ⎤ ⎡− 3 0 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡1⎤ ⎡x ⎥=⎢ ⎢x ⎥ ⎢ ⎥ + ⎢ ⎥u ⎣ 2 ⎦ ⎣ 1 − 5⎦ ⎣ x 2 ⎦ ⎣0⎦ ⎡x ⎤ y = [2 − 5]⎢ 1 ⎥ ⎣ x2 ⎦
对应的状态变量图为：
2
u
1 x
−
∫