五年级奥数——格点与面积

长方形面积： 4 ? 1 ? 4 (cm2 )
宝塔图形面积：3 ? 4 ? 4 ? 11 (cm2 )
练习： P30
2
知识拓展
姓名:乔治·毕克 (1859~1943)
全名:George Pick
国籍:奥地利
S ? N ? 1 L?1 2
格点多边形的面积S和多边形内部 的格点数N，它的边上的格点数L之间 存在一定的数量关系
第3讲 格点与面积
如图，网格纸上画着纵、横两组
A
平行线，相邻平行线之间的距离相等
E
，这两组平行线的交点称为格点（如 图中的点 A、B、C等）。显然，每一个
B
小方格就是一个面积单位。
C
D
如果一个多边形的顶点都在格点
上，那么这个多边形叫做 格点多边形 (
如图中的多边形 ABCD)E。
例：判断下列图形哪些是格点多边形？
S= N ? 1 L ? 1 2
---毕克定理
例1 下图是一个格点图。图中有长方形、三角形、平行四边形和梯形 各一个。请利用方格网计算出它们的面积各是多少？（阴影部分的小 正方形的面积是1 cm2 )
图形
SN
L
长方形 8
3
12
三角形 4
2
6
平行四边形 8
4
10 S ? N ? 1 L ? 1
梯形
6
方法（二）：毕克定理
练习： P31 6
图形 内部格点数 边上格点数 面积（单位：cm
阴影部分 9个
8个 ?9 ? 8 ? 2 ? 1?? 1? 12
三角形格点问题
三角形格点多边形是指：每相邻三点成“∵”或 “∴”，所形成的三角形都是等边三角形．规定它的面积 为1，以这样的点为顶点画出的多边形为三角形格点多边 形。关于三角形格点多边形的面积同样有它的计算公式：
⑴√
⑵
⑶
⑷
练习：分割下图多边形
A B
C
E D
分割法：把不规则的大图形分割转
化为若干规则的小图形；
添补法：把不规则图形周围添补上
规则的小图形转化一个规则的大图形， 使总面积便于计算。
下面的格点中，画出了一个“小鸟”的图案 .已知 每个小正方形的边长为 1,你能求出“小鸟”所占的面积 是多少吗？
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两个相同的等边三角形可以组合成一个平行四边形， 如图。
平行四边形面积 ? 2? 三角形面积 ? 2
图形面积S ? ?内部格点数 ? 边界格点数 ? 2 ? 1?? 2
? 内部格点数 ? 2 ? 边界格点数 ? 2
? 2? N ? L?1
S ? 2? N ? L? 2
例5
解：利用毕克定理来解决。 内部格点数： 4个 边界的格点数： 4个 图形面积： 2×4+4?2 = 10
2
10
2
内部的格点数 边上的格点数
例2
宝塔图形面积：3 ? 4 ? 4 ? 11 (cm2 )
图形
SN
L
宝塔图形 11 5
14
S ? N ? 1 L?1 2
内部的格点数 边上的格点数
例3
图形 序号
S
NL
图1 1? 4 ? 2 ? 1 ? 2 1 4
图2 2 ? 6 ? 2 ? 1 ? 4 2 6
各一个。请利用方格网计算出它们的面积各是多少？（阴影部分的小
正方形的面积是1 cm2 )
解：
2? 4 ? ?8 cm2 ?
1? 2 ? 2 ? 3? 2 ? 2
?
?
44??cm2 ?2 ?2
? ? 1? 2? 32? 2 ? 4? 2 ? 8 cm2
2? 2 ? 2 ? 2? 24 ? 2
? 2? ?2 ? 4?? 2 ? ?6 cm2 ?
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Hale Waihona Puke ●●图一图二
图三
图四
三角形：s ? 底? 高 ? 2 平行四边形：s ? 底? 高 梯形：s ? ?上底 ? 下底?? 高 ? 2
例1 下图是一个格点图。图中有长方形、三角形、平行四边形和梯形
如果用 S表示面积， N表示图形内包含的格点数， L表 示图形周界上的格点数，那么有
S ? 2? N ? L? 2
即：格点多边形面积等于图形内部所包 含格点数的 2倍与边界上格点数的和减去 2．
三角形格点面积公式 S ? 2 ? N ? L ? 2
分析：还是利用毕克定理来解决。 毕克定理中的正方形方格现在变成平行四边形，
答：图中三角形的面积是10。
练习：P31 5
小结
作业 思考与练习 P30：
1~4，7，8
谢谢
图3 5 ? 6 ? 2 ? 1 ? 7 5 6
图4 6 ? 8 ? 2 ? 1 ? 9 6 8 S ? N ? 1 L ? 1 2
例4
解：方法（一）：分割法
四周每个小三角形的面积：
2 ? 2 ? 2 ? 2 (cm2 ) 中间正方形的面积：2 ? 2 ? 4 (cm2 ) 阴影部分的面积： 2 ? 4 ? 4 ? 12 (cm2 )
练习： P29 1
b
a
s? a?b
a
a
s? a?a
b
h
a
s? a?h
h
a
s? a?h?2
h
a
s ? (a ? b) ? h ? 2
例2
分析：利用分割法将该图形分成一个三角形、一个正 方形和一个长方形。
解：三角形面积： 1? 3 ? 3（cm2 ）
或 2 ? 3 ? 2 ? 3 (cm2 )
正方形面积：2 ? 2 ? 4 (cm2 )
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格点中相邻的上
● ● ● ● ● ● ● ● 下或者左右两点之间
● ● ● ● ● ● ●● ● 的距离是1,你能算出
下面图形的面积是多
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少吗？
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