中考数学中的几何最值问题

中考数学中的几何最值问题

在近几年各地中考中，几何最值问题屡屡受到命题者关注，此类问题不仅涉及平面几何的基础知识，还涉及几何图形的性质、平面直角坐标系、方程与不等式、函数知识等。因此一批立意新颖、构造精巧、考点突出的新题、活题脱颖而出。这类试题较好地考查了同学们的几何探究、推理能力的要求及数学思想方法的运用。本节课以近几年的全国各地的中考题为例加以讲解，希对同学们的备考有所帮助。

1．（2009年潍坊市）已知边长为a 的正三角形ABC ，两顶点A B 、分别在平面直角坐标系的x 轴、y 轴的正半轴上滑动，点C 在第一象限，连结OC ，则OC 的长的最大值是____________ ．

解：取AB 的中点D ，连结OD 、CD 、OC ，则OD=a 21，且CD ⊥AB ，，∴CD=a 23，当C ，D ，O 三点共线时，

OC=OD+CD ，否则OC ＜OD+CD ，∴OC 长的最大值是a 2

1+a 23。 点评 本题求一条线段的最大值，关键是抓住斜边长度确定，斜边上的中线长也确定，利用三角形两边之和大于第

O y x A C

B

三边，寻找突破口从而求解。

2．（2008年兰州）如图，在

ABC △中，1086AB AC BC ===，，，经过点C 且与边

AB 相切的动圆与CB CA ，分别相交于点E F ，，则线段EF 长度的最小值是

（ ）

A

． B ．4.75 C ．5 D ．4.8

解：易知⊿ABC 是直角三角形，所以EF 是圆的直径，设切点是D ，因为直径是圆中最长的弦，所以E F ≥CD ，作CH ⊥AB 于点H ，则CD ≥CH ，所以有E F ≥CH ，即EF 长度的最小值是CH ，利用面积方法易得CH=4.8。所以线段EF 长度的最小值是4.8，故选D 。

点评 本题求一条线段的最小值，通过转化后利用垂线段最短求解。

3．（2009年四川达州）在边长为2㎝的正方形ABCD 中，点Q 为BC 边的中点，点P 为对角线AC 上一动点，连接PB 、PQ ，则△PBQ 周长的最小值为____________㎝（结果不取近似值）。

E F D C B A H E F

D C B A

解：B 、Q 在直线AC 同侧，动点P 只能在AC 上运动。⊿PBQ 中，B 、Q 为定点，故BQ 长度不变，要使⊿PBQ 周长最小，应使动点P 到两定点B 、Q 之和PB+PQ 最小。 直线AC 是正方形的对称轴，点Q 关于对角线AC 的对称点Q ′一定落在边CD 上，如图所示，当B 、P 、 Q ′共线时PB+PQ=PB+PQ ′=BQ ′=

5取最小值，则△PBQ 周长的最小值为

5+1。

点评 本题有一定的难度，△PBQ 周长的最小值问题转为求一个动点到两个定点的距离和的最小值问题，通过作对称点的方法，当三点共线时，两条线段和△PBQ 周长的最小。

4．（2010年苏州）如图，已知A 、B 两点的坐标分别为(2，0)、(0，2)，⊙C 的圆心坐标为(－1，0)，半径为

1．若D 是⊙C 上的一个动点，线段DA 与y 轴交于点E ，则△ABE 面积的最小值是（ ）

A ．2

B ．1 C

．

22-

D

．2

D C A

解：当AD 为⊙C 的切线，切点为D 时，OE 最长，BE 最短，此时⊿ABE 面积最小，易证⊿AO E ∽⊿ADC ，所以AD

AO CD OE =，可求得OE=22，于是BE=2-22，从而△ABE 面积的最小值是=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛

-⨯⨯22222122-。选D 。

点评 本题求面积的最小值，由于三角形的高确定，因此只要求底（即一条线段）的最小值即

可，根据圆的性质，易知AD 处于

极端位置（切线）时，所求三角形

的面积最小。

5．（2010年天津市）在平面直角坐标系中，矩形OACB 的顶点O 在坐标原点，顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，3OA =，4OB =，D 为边OB 的中点.

（1）若E 为边OA 上的一个动点，当△CDE 的周长最小时，求点E 的坐标；

（2）若E 、F 为边OA 上的两个动点，且2EF =，当四边形CDEF 的周长最小时，求点E 、F 的坐标.

温馨提示 如图可以作点D 关于x 轴的对称点D ′，连接C D ′与x 轴交于点E ，△CDE 的周长是最小的。这样，你只需要求出OE 的长，就可以确定点E 的坐标了。

解：（1）如图，作点D 关于x 轴的对称点D '，连接CD '与x

轴交于点E ，连接DE .

若在边OA 上任取点E '（与点E 不重合），连接CE '、

DE '、D E ''. 由DE CE D E CE CD D E CE DE CE '''''''+=+>=+=+，

可知△CDE 的周长最小.

∵ 在矩形OACB 中，3OA =，4OB =，D 为OB 的中点，

∴ 3BC =，2D O DO '==，6D B '=.

∵ OE ∥BC ，

∴ Rt △D OE '∽Rt △D BC '，有OE D O BC D B '='. ∴ 2316D O

BC OE D B '⋅⨯==='. ∴ 点E 的坐标为（1，0）. （2）如图，作点D 关于x 轴的对称点D '，在CB 边上截取

2CG =，连接D G '与x 轴交于点E ，在EA 上截取2EF =.

∵ GC ∥EF ，GC EF =，

∴ 四边形GEFC 为平行四边形，有GE CF =.

又 DC 、EF 的长为定值，

∴ 此时得到的点E 、F 使四边形CDEF 的周长最小. ∵ OE ∥BC ，

∴ Rt △D OE '∽Rt △D BG ', 有 OE D O BG

D B '='. ∴ ()21163D O BG D O BC CG O

E D B D B ''⋅⋅-⨯====''. ∴ 17233O

F OE EF =+=+=. ∴ 点E 的坐标为（13，0），点F

3

0）

点评 本题（1）有一个温馨提示，而问题（2）要使四边形CDEF 的周长最小，注意到DC 、EF 的长为定值，故只需DE+CF 最小，用轴对称及平移方法设法将DE 、CF 集中到一条直线上解决问题。

6．（2009年郴州市）如图1，已知正比例函数和反比例函数的图像都经过点M （－2，－1），且P （－1，－2）为双曲线上的一点，Q 为坐标平面上一动点，PA 垂直于x 轴，QB 垂直于y 轴，垂足分别是A 、B ．

（1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；

（2）当点Q 在直线MO 上运动时，直线MO 上是否存在这样的点Q ，使得△OBQ 与△OAP 面积相等？如果存在，请求出点Q 的坐标，如果不存在，请说明理由；