中考数学中的几何最值问题

中考数学中的几何最值问题
在近几年各地中考中，几何最值问题屡屡受到命题者关注，此类问题不仅涉及平面几何的基础知识，还涉及几何图形的性质、平面直角坐标系、方程与不等式、函数知识等。

因此一批立意新颖、构造精巧、考点突出的新题、活题脱颖而出。

这类试题较好地考查了同学们的几何探究、推理能力的要求及数学思想方法的运用。

本节课以近几年的全国各地的中考题为例加以讲解，希对同学们的备考有所帮助。

1．（2009年潍坊市）已知边长为a 的正三角形ABC ，两顶点A B 、分别在平面直角坐标系的x 轴、y 轴的正半轴上滑动，点C 在第一象限，连结OC ，则OC 的长的最大值是____________ ．
解：取AB 的中点D ，连结OD 、CD 、OC ，则OD=a 21，且CD ⊥AB ，，∴CD=a 23，当C ，D ，O 三点共线时，
OC=OD+CD ，否则OC ＜OD+CD ，∴OC 长的最大值是a 2
1+a 23。

点评 本题求一条线段的最大值，关键是抓住斜边长度确定，斜边上的中线长也确定，利用三角形两边之和大于第
O y x A C
B
三边，寻找突破口从而求解。

2．（2008年兰州）如图，在
ABC △中，1086AB AC BC ===，，，经过点C 且与边
AB 相切的动圆与CB CA ，分别相交于点E F ，，则线段EF 长度的最小值是
（ ）
A
． B ．4.75 C ．5 D ．4.8
解：易知⊿ABC 是直角三角形，所以EF 是圆的直径，设切点是D ，因为直径是圆中最长的弦，所以E F ≥CD ，作CH ⊥AB 于点H ，则CD ≥CH ，所以有E F ≥CH ，即EF 长度的最小值是CH ，利用面积方法易得CH=4.8。

所以线段EF 长度的最小值是4.8，故选D 。

点评 本题求一条线段的最小值，通过转化后利用垂线段最短求解。

3．（2009年四川达州）在边长为2㎝的正方形ABCD 中，点Q 为BC 边的中点，点P 为对角线AC 上一动点，连接PB 、PQ ，则△PBQ 周长的最小值为____________㎝（结果不取近似值）。

E F D C B A H E F
D C B A
解：B 、Q 在直线AC 同侧，动点P 只能在AC 上运动。

⊿PBQ 中，B 、Q 为定点，故BQ 长度不变，要使⊿PBQ 周长最小，应使动点P 到两定点B 、Q 之和PB+PQ 最小。

直线AC 是正方形的对称轴，点Q 关于对角线AC 的对称点Q ′一定落在边CD 上，如图所示，当B 、P 、 Q ′共线时PB+PQ=PB+PQ ′=BQ ′=
5取最小值，则△PBQ 周长的最小值为
5+1。

点评 本题有一定的难度，△PBQ 周长的最小值问题转为求一个动点到两个定点的距离和的最小值问题，通过作对称点的方法，当三点共线时，两条线段和△PBQ 周长的最小。

4．（2010年苏州）如图，已知A 、B 两点的坐标分别为(2，0)、(0，2)，⊙C 的圆心坐标为(－1，0)，半径为
1．若D 是⊙C 上的一个动点，线段DA 与y 轴交于点E ，则△ABE 面积的最小值是（ ）
A ．2
B ．1 C
．
22-
D
．2
D C A
解：当AD 为⊙C 的切线，切点为D 时，OE 最长，BE 最短，此时⊿ABE 面积最小，易证⊿AO E ∽⊿ADC ，所以AD
AO CD OE =，可求得OE=22，于是BE=2-22，从而△ABE 面积的最小值是=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛
-⨯⨯22222122-。

选D 。

点评 本题求面积的最小值，由于三角形的高确定，因此只要求底（即一条线段）的最小值即
可，根据圆的性质，易知AD 处于
极端位置（切线）时，所求三角形
的面积最小。

5．（2010年天津市）在平面直角坐标系中，矩形OACB 的顶点O 在坐标原点，顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，3OA =，4OB =，D 为边OB 的中点.
（1）若E 为边OA 上的一个动点，当△CDE 的周长最小时，求点E 的坐标；
（2）若E 、F 为边OA 上的两个动点，且2EF =，当四边形CDEF 的周长最小时，求点E 、F 的坐标.
温馨提示 如图可以作点D 关于x 轴的对称点D ′，连接C D ′与x 轴交于点E ，△CDE 的周长是最小的。

这样，你只需要求出OE 的长，就可以确定点E 的坐标了。

解：（1）如图，作点D 关于x 轴的对称点D '，连接CD '与x
轴交于点E ，连接DE .
若在边OA 上任取点E '（与点E 不重合），连接CE '、
DE '、D E ''. 由DE CE D E CE CD D E CE DE CE '''''''+=+>=+=+，
可知△CDE 的周长最小.
∵ 在矩形OACB 中，3OA =，4OB =，D 为OB 的中点，
∴ 3BC =，2D O DO '==，6D B '=.
∵ OE ∥BC ，
∴ Rt △D OE '∽Rt △D BC '，有OE D O BC D B '='. ∴ 2316D O
BC OE D B '⋅⨯==='. ∴ 点E 的坐标为（1，0）. （2）如图，作点D 关于x 轴的对称点D '，在CB 边上截取
2CG =，连接D G '与x 轴交于点E ，在EA 上截取2EF =.
∵ GC ∥EF ，GC EF =，
∴ 四边形GEFC 为平行四边形，有GE CF =.
又 DC 、EF 的长为定值，
∴ 此时得到的点E 、F 使四边形CDEF 的周长最小. ∵ OE ∥BC ，
∴ Rt △D OE '∽Rt △D BG ', 有 OE D O BG
D B '='. ∴ ()21163D O BG D O BC CG O
E D B D B ''⋅⋅-⨯====''. ∴ 17233O
F OE EF =+=+=. ∴ 点E 的坐标为（13，0），点F
3
0）
点评 本题（1）有一个温馨提示，而问题（2）要使四边形CDEF 的周长最小，注意到DC 、EF 的长为定值，故只需DE+CF 最小，用轴对称及平移方法设法将DE 、CF 集中到一条直线上解决问题。

6．（2009年郴州市）如图1，已知正比例函数和反比例函数的图像都经过点M （－2，－1），且P （－1，－2）为双曲线上的一点，Q 为坐标平面上一动点，PA 垂直于x 轴，QB 垂直于y 轴，垂足分别是A 、B ．
（1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；
（2）当点Q 在直线MO 上运动时，直线MO 上是否存在这样的点Q ，使得△OBQ 与△OAP 面积相等？如果存在，请求出点Q 的坐标，如果不存在，请说明理由；
（3）如图2，当点Q 在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP 、OQ 为邻边的平行四边形OPCQ ，求平行四边形OPCQ 周长的最小值．
解：（1）设正比例函数解析式为y kx =，将点M （2-，1-）坐标代入得12k
，所以正比例函数解析式为12
y x · 2分 同样可得，反比例函数解析式为2y x ·················· 3分 （2）当点Q 在直线DO 上运动时，
设点Q 的坐标为1()2
Q m m ，， ································· 4分 于是，24
1212121m m m BQ OB S OBQ =⨯⨯=⨯=∆ 而，1|)2()1(|2
1=-⨯-=∆OAP S 所以有，2114m ，解得2m =± ······························· 6分
所以点Q 的坐标为1(21)Q ，
和2(21)Q ， ······················ 7分 （3）因为四边形OPCQ 是平行四边形，所以OP ＝CQ ，OQ ＝PC ，
图2
而点P （1-，2-）是定点，所以OP 的长也是定长，所以要求平行四边形OPCQ 周长的最小值就只需求OQ 的最小值． ····························································· 8分 因为点Q 在第一象限中双曲线上，所以可设点Q 的坐标为2()Q n n
，， 由勾股定理可得2
22242()4OQ n n n n ， 所以当22()0n n 即2
0n n 时，2OQ 有最小值4，
又因为OQ 为正值，所以OQ 与2OQ 同时取得最小值， 所以OQ 有最小值2． ······································· 9分 由勾股定理得OP
OPCQ 周长的最小值是
2()2(52)254OP OQ ． ····························· 10分 点评 本题中的（1）、（2）小题相对较简单，问题（3）求平行四边形周长的最小值，注意到OP 的长为定长，只需求邻边OQ 的最小值，通过勾股定理、配方求解。

其实本题还有另外两种解法：44242222=⨯≥+
n n n n ，即OQ 2的最小值为4。

反比例函数2y x
的一条对称轴为一、三象限的角平分线，即直线y=x ，所以取到最小值的点Q 只能是反比例函数2y x 与直线y=x 在第一象限的交点，同样可求得OQ 2的最小值为4。

7．（2010年宁德市）如图，四边形ABCD 是正方形，△ABE
是等边三角形，M 为对角线BD （不含B 点）上任意一点，将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ，连接EN 、AM 、CM. ⑴ 求证：△AMB ≌△ENB ；
⑵ ①当M 点在何处时，AM ＋CM 的值最小；
②当M 点在何处时，AM ＋BM ＋CM 的值最小，并说明理由；
⑶ 当AM ＋BM ＋CM 的最小值为
13 时，求正方形的边长.
解：⑴∵△ABE 是等边三角形，
∴BA ＝BE ，∠ABE ＝60°.
∵∠MBN ＝60°，
∴∠MBN －∠ABN ＝∠ABE －∠ABN.
即∠ABM ＝∠EBN.
又∵MB ＝NB ，
∴△AMB ≌△ENB （SAS ）. ………………5分
⑵①当M 点落在BD 的中点时，AM ＋CM 的值最小. ………………7分
②如图，连接CE ，当M 点位于BD 与CE 的交点处时， AM ＋BM ＋CM 的值最小. ………………9分
理由如下：连接MN.由⑴知，△AMB ≌△ENB ，
∴AM ＝EN.
∵∠MBN ＝60°，MB ＝NB ，
B C
∴△BMN 是等边三角形.
∴BM ＝MN.
∴AM ＋BM ＋CM ＝EN ＋MN ＋CM. ………………10分
根据“两点之间线段最短”，得EN ＋MN ＋CM ＝EC 最短 ∴当M 点位于BD 与CE 的交点处时，AM ＋BM ＋CM 的值最小，即等于EC 的长.……11分
⑶过E 点作EF ⊥BC 交CB 的延长线于F ，
∴∠EBF ＝90°－60°＝30°.
设正方形的边长为x ，则BF ＝
23x ，EF ＝2x . 在Rt △EFC 中，
∵EF 2＋FC 2＝EC 2， ∴（2x ）2＋（23x ＋x ）2＝()2
13+. ………………12分 解得，x ＝2（舍去负值）. ∴正方形的边长为
2. ………………13分
点评 此题中第（2）小题将线段和的最小值问题转化为“两点之间，线段最短”问题，特别是第（2）小题，更是利用了BM 绕点B 逆时针旋转60°得到⊿BMN 是等边三角形的特殊结构，将三条线段的和转化为“两点之间，线段最短”问题，再结合图形的特殊对应结构进行分析，从而确定AM ＋BM ＋CM 取最小值时，点M 的位置，在第（2）小题的基础上，第（3）小题显而易见可转化为R t ⊿EFC 来解
决。

在动转化为静的过程中，对同学们的思维能力提出了
更高的要求。

8．（2010年通化市）如图，四边形ABCD中，AD＝CD，
∠DAB＝∠ACB＝90°，过点D作DE⊥AC，垂足为F，
DE与AB相交于点E．
（1）求证：AB·AF＝CB·CD；
（2）已知AB＝15 cm，BC＝9 cm，P是射线DE上的动
点．设DP＝x cm（0
x ），四边形BCDP的面积为y cm2．
①求y关于x的函数关系式；
②当x为何值时，△PBC的周长最小，并求出此时y的值．
解：⑴∵AD=CD，DE⊥AC，
∴DE垂直平分AC，
∴AF=CF，∠DFA=∠DFC=90°，∠DAF=∠DCF。

∵∠DAB=∠DAF+∠CAB=90°
∠CAB+∠B=90°，∴∠DCF=∠DAF=∠B
D
在Rt△DCF和Rt△ABC中，
P ·∠DFC=∠ACB=90°，∠DCF=∠B C
F
∴△DCF ∽△ABC. ∴.CD CB
AF AB
，CB
CF AB
CD ===即
∴AB ·AF=CB ·CD
⑵ ①∵AB=15, BC=9, ∠ACB=90°, ∴AC=
129152222=-=-BC AB
∴CF=AF=6.
∴y=2
1(x+9)×6=3x+27(x ﹥0).
②∵BC=9(定值)，∴△PBC 的周长最小，就是PB+PC 最小.
由⑴知,点C 关于直线DE 的对称点是A, ∴PB+PC=PB+PA,故只要求PB+PA 最小.
显然当P,A,B 三点共线时PA+PB 最小.此时DP=DE, PA+PB=AB.
由⑴知∠ADF=∠FAE, ∠DFA=∠ACB=90° 得△DAF ∽△ABC.
由E F ∥BC,得AE=BE=2
1AB=2
15,EF=2
9.
∴AF ︰BC=AD ︰AB,即6︰9=AD ︰15. ∴AD=10. 在Rt △ADF 中,AD=10,AF=6, ∴DF=8. ∴DE=DF+FE=8+2
9=2
25
当x=2
25时，△PBC 的周长最小，此时y=2
129.
点评 此题中的第⑵小题对学生有较大的迷惑性，问题①是用函数研究运动变化图形中的数量关系，进而建立函数关系式；问题②从表面上看似乎要用到问题①的结论，易使学生的思维从函数关系式入手探求△PBC 的周长最小值的
x
陷阱，此问构思巧妙，需要学生利用几何方法探求△PBC 的周长最小值，并求出x 和y 的值.问题动静结合，较好地考查了学生分析问题、解决问题的能力. 9．（2010年济南）如图所示，抛物线2
23
y x x =-
++与x 轴交
于A 、B 两点，直线BD 的函数表达式为y =+的对称轴l 与直线BD 交于点C 、与x 轴交于点E ． ⑴求A 、B 、C 三个点的坐标．
⑵点P 为线段AB 上的一个动点（与点A 、点B 不重合），以点A 为圆心、以AP 为半径的圆弧与线段AC 交于点M ，以点B 为圆心、以BP 为半径的圆弧与线段BC 交于点N ，分别连接AN 、BM 、MN ．①求证：AN =BM ．
②在点P 运动的过程中，四边形AMNB 的面积有最大值还是有最小值？并求出该最大值或最小值.
解：⑴令2
230x
x -++=，
解得：1
21,3x
x =-=，
∴A (－1，0)，B (3，0)2分 ∵2
23y x
x =-++=2(1)4x --+，
∴抛物线的对称轴为直线x =1， 将x =1代入
y =+y
∴C （1，
. · 3分
⑵①在Rt △ACE 中，tan ∠CAE =
CE AE
=
∴∠CAE =60º，
由抛物线的对称性可知l 是线段AB 的垂直平分线， ∴AC=BC ，
∴△ABC 为等边三角形， ····· 4分 ∴AB = BC =AC = 4，∠ABC=∠ACB = 60º， 又∵AM=AP ，BN=BP ， ∴BN = CM ，
∴△ABN ≌△BCM ， ∴AN =BM . ············ 5分 ②四边形AMNB 的面积有最小值． · 6分 设AP=m ，四边形AMNB 的面积为S ，
由①可知AB = BC= 4，BN = CM=BP ，S △ABC =
×
42
=
，
∴CM=BN= BP=4－m ，CN=m ， 过M 作MF ⊥BC ,垂足为F ,
则MF =MC •sin60º=
)m -，
∴S
△CMN =12
CN MF =12
m )m -=2， 7分
∴S =S △ABC －S △CMN
=
2+）
2
m-+··········8分
2)
···9分
∴m=2时，S取得最小值
点评此题的第⑵小题将函数与圆的有关知识蕴涵于几何图形中,以较为新颖的方式出现,使问题更具有综合性.将不规则的四边形转化为三角形来解决,充分体现了转化思想在解题中的应用,由于四边形AMNB的面积随着点P的位置变化而变化,所以用函数的观点,从函数关系式入手探求四边形AMNB的最小值.本题较好地体现了对学生合情理及转化能力的考查,通过建立面积与动点坐标之间的函数关系式,利用函数知识求解.
10．（2009年恩施）恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世.著名的恩施大峡谷（A）
和世界级自然保护区星斗山（B ）位于笔直的沪渝高速公路X 同侧，AB=50km,A 、B 到直线X 的距离分别为10km 和40km,要在沪渝高速公路旁修建一服务区P,向A 、B 两景区运送游客.小民设计了两种方案，图11（1）是方案一的示意图(AP 与直线X 垂直，垂足为P),P 到A 、B 的距离之和S 1=PA+PB ； 图11（2）是方案二的示意图(点A 关于直线X 的对称点是A '，连接BA'交直线X 于点P),P 到A 、B 的距离之和S 2=PA+PB. (1).求S 1 、S 2 ,并比较它们的大小.(2).请你说明S 2=PA+PB 的值为最小.(3).拟建的恩施到张家界高速公路Y 与沪渝高速公路垂直，建立如图所示的直角坐标系，B 到直线Y 的距离为30km,请你在X 旁和Y 旁各修建一服务区P 、Q,使P 、A 、B 、Q 组成的四边形的周长最小.并求出这个最小值.
解：⑴图11（1）中过B 作BC ⊥AP,垂足为C,则PC=40,又AP=10,
图11（1）
X
A
∴AC=30 ． 1分 在Rt △ABC 中，AB=50 AC=30 ∴BC=40 ∴ BP=24022=+BC CP
S 1=10240
+ 2
分
⑵图11（2）中，过B 作BC ⊥AA ′垂足为C ，则A ′C=50， 又BC=40 ∴BA'=
4110
50402
2
=+
由轴对称知：PA=PA ' ∴S 2=BA '=4110
3
分
∴1S ﹥2S 4分 (2)如 图11（2），在公路上任找一点M,连接MA,MB,MA '，由轴对称知MA=MA ' ∴MB+MA=MB+MA '﹥A 'B
∴S 2=BA '为最小 7分 （3）过A 作关于X 轴的对称点A ', 过B 作关于Y 轴的对称点B '，
连接A 'B ',交X 轴于点P, 交Y 轴于点Q,则P,Q 即为所求 ８分
过A '、 B '分别作X 轴、Y 轴的平行线交于点G, A 'B '=
5505010022=+
∴所求四边形的周长为550
50+ 10
分
点评本题求四边形周长的最小值，由于AB的长确定，因此只要求三条线段和的最小值，利用轴对称将三条线段转移到山同一条直线上，再根据两点之间线段最短原理确定最小值。