河南省郑州市第一中学2021届高三上学期第五次周测数学(文)答案

则由 | OP |, 2 5,| OM |成等比数列，可得 | OP | | OM |= 20 ，（1 分）
即
1
= 20 ， 1
=
20
．（2 分）
高三 21 届高三文科数学周测五答案 第4页（共 5 页）
又
M (1
，)
满足
1
=
4sin
，即
20
=
4sin
， （3
分）
sin = 5 ，（4 分）
四边形
MNF1F2
为矩形，且 |
MF1
|=
5 2
． （1
分）
点 M 的坐标为 (c, b2 ) ．（2 分） a
又 b2 = 3 b ， a2
b = 3 ．（3 分） a2
设 a = 2k,b = 3k ，则 c = k ．
在
Rt
△
MF1F2
中， |
MF2
|=
3 2
k
，|
F1F2
|=
2k
，
|
MF1
．（9 分）
又 | MN |= 1 + k 2 | x1 − x2 |= 1 + k 2
(x1 + x2 )2 − 4x1x2 = 1 + k 2
192k 2 + 36 3 + 4k 2
， （10
分）
3 + 3k 2 3 3 + 4k2 = 7
1+ k2
192k 2 + 36 ， 3 + 4k2
即 7 1 + k 2 = 192k 2 + 36 ，
得 t2 + 2t − 3 = 0 ，（8 分）
故 t1 + t2 = − 2 ， t1t2 = −3 0 ，（9 分）
|| AD | − | AE ||=| t1 + t2 |= 2 ．（10 分）
[选修 4-5：不等式选讲]
23．（Ⅰ）由 2a4b＝2 可知 a+2b＝1，又因为
，
由 a，b∈（0，+∞）可知
− 1 ， − 1 + ln
2a
2
− 1 = − 1 ，（4 分） 2a 2
a = − 1 ．（6 分） 2
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知， g(x) = 1 x2 − 2x + lnx ， g(x) = x + 1 − 2 ．
2
x
x + 1 2 ， g(x) 0 ， g(x) 在 (0, +) 上单调递增．（9 分） x
15. 20
( ) 16. 2 + 2, 2 + 2 2
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（Ⅰ） an = 2 Sn −1 ， 4Sn = (an + 1)2 ．（1 分）
当 n = 1 时， 4S1 = (a1 + 1)2 ，得 a1 = 1．（2 分）
+
x2
=
−
3
12k + 4k
2
，
x1 x2
=
−
3
3 + 4k
2
． （7
分）
高三 21 届高三文科数学周测五答案 第3页（共 5 页）
故 | PM | | PN |=
1 + k 2 | x1 − 0 |
1+ k2
| x2
− 0 |= (1 + k 2 ) | x1x2 |=
3 + 3k 2 3 + 4k 2
，
当且仅当 a＝2b 时取等，所以
的最小值为 8．…（5 分）
（Ⅱ）由题意可知即解不等式|x﹣1|+|2x﹣3|≥8，
①
，∴
．
②
，∴x∈∅，
③ 综上，
，∴x≥4．
．…（10 分）
高三 21 届高三文科数学周测五答案 第5页（共 5 页）
=1−
n +1 3n
． （12
分）
解法二：由（Ⅰ）可知， bn
= (2n −1)
1 3n
，
设 bn
= (2n −1)
1 3n
= (An + B)
1 3n
− [A(n −1) + B]
1 3n−1
= (−2An + 3A − 2B)
1 3n
，
−2A = 2
A = −1
3
A
−
2B
=
−1
解得
B
=
−1.
当 n 2 时， 4Sn−1 = (an−1 + 1)2 ， 4(Sn − Sn−1) = (an + 1)2 − (an−1 + 1)2 ，（3 分）
4an
=
an2
+
2an
−
a2 n−1
−
2an−1 ，即 (an
+
an−1 )(an
− an−1)
=
2(an
+ an−1)
，
an 0 ，an − an−1 = 2 ．（4 分）
1 32
+ 3
1 33
+ + (2n − 3)
1 3n
+ (2n −1)
1 3n+1
，−−
② （8
分）
①−
②得
2 3
Tn
=
1 3
+
2(
1 32
+
1 33
++
1 3n
) − (2n −1)
1 3n+1
（9
分）
=
1 3
+ 2
1 32
−
1 3n+1
1− 1
− (2n −1)
1 3n+1
， （10
分）
3
化简得 Tn
数列{an} 是等差数列，且首项为 a1 = 1，公差为 2，（5 分）
an =1+ 2(n −1) = 2n −1．（6 分）
（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）可知， bn
= (2n −1)
1 3n
， Tn
=
1
1 3
+
3
1 32
+
5Байду номын сангаас
1 33
+ + (2n −1)
1 3n
，
− − ①（7 分）
1 3 Tn
= 1
240
由表中数据可得，K2＝240×18（0×906×0×221－289×0×11328）2≈3.214>2.706，所以有 90%的把握认为空气质量的优良
与汽车尾气的排放有关.
20．（Ⅰ）当 k = 0 时，直线 l / / x 轴，
又四边形
MNF1F2
恰在以
MF1
为直径，面积为
25 16
的圆上，
(2)因为空气质量良好与中度污染的天气的概率之比为 0.3∶0.15＝2∶1，
按分层抽样的方法从中抽取 6 天，则空气质量良好的天气被抽取的有 4 天，记作 A1，A2，A3，A4，空气中度
污染的天气被抽取的有 2 天，记作 B1，B2，
从这 6 天中随机抽取 2 天，所包含的基本事件有(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，
，
高三 21 届高三文科数学周测五答案 第1页（共 5 页）
bn
= (2n −1)
1 3n
= (−n −1)
1 3n
− (−n)
1 3n−1
=n
1 3n−1
− (n +1)
1 3n
，（9 分）
Tn
= b1
+ b2
+ + bn
= (1
1 30
− 2
1 31
)
+
(2
1 31
−
3
1 32
)
+
+
[n
1 3n−1
当 a 0 时，令 f (x) = 0 ，得 x = − 1 ， 2a
当 x (0, − 1 ) 时， f (x) 0 ，函数 f (x) 单调递增； 2a
当 x ( − 1 , +) 时， f (x) 0 ，函数 f (x) 单调递减，（3 分） 2a
f (x)max = f (
− 1 ) = − 1 + ln 2a 2
解得 k = 11 ， 11
直线 l 的方程为 y = 11 x + 3 ．（12 分） 11 2
21．（Ⅰ） f (x) 的定义域为 (0, +) ， f (x) = 2ax + 1 ．（1 分） x
当 a 0 时， f (x) 0 ， f (x) 在 (0, +) 上为单调递增函数，无最大值，不合题意，舍去；（2 分）
A3)，(A2，A4)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，A4)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A4，B1)，(A4，B2)，(B1，B2)，共 15
个，
记事件 A 为“至少有一天空气质量是中度污染”，则事件 A 所包含的事件有(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，
高三 21 届高三文科数学周测五答案 第2页（共 5 页）
化为直角坐标方程为 y = 5 ．
点 P 的轨迹 C2 的直角坐标方程为 y = 5 ．（5 分）
（Ⅱ）依题意可得
B(2, 5)
，故 kAB
=1 ，即直线
AB
倾斜角为
4
，（6
分）
直线
AB
的参数方程为
x
=
2t 2
（7 分）
y
=
3
+
2t 2
代入圆的直角坐标方程 x2 + ( y − 2)2 = 4 ，
由 OP⊥OB，OP⊥AC 且 OB∩AC＝O，知 PO⊥平面 ABC.
(2)解 作 CH⊥OM，垂足为 H.
又由(1)可得 OP⊥CH，所以 CH⊥平面 POM.
故 CH 的长为点 C 到平面 POM 的距离.
由题设可知 OC＝12AC＝2，CM＝23BC＝43 2，∠ACB＝45°.
所以
OM＝2
(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A4，B1)，(A4，B2)，(B1，B2)，共 9 个， 故 P(A)＝195＝35，即至少有一天空气质量是中度污染的概率为35. (3)2×2 列联表如下：
空气质量优、良 空气质量污染 总计
限行前
90
90
180
限行后
38
22
60
总计
128
112
|=
5 2
k
=
5 2
，
k =1．
a = 2,b = 3 ，（5 分）
椭圆 C 的方程为 x2 + y2 = 1 ．（6 分） 43
（Ⅱ）将 l : y = kx + 3 与椭圆方程联立得 (3 + 4k 2 )x2 + 12kx − 3 = 0 ， 2
设 M (x1 ，
y1) ，
N(x2 ，
y2 ) ，得 x1
− (n +1)
1 3n ]
= 1− n +1 ．（12 分） 3n
18．证明 因为 AP＝CP＝AC＝4，O 为 AC 的中点，
所以 OP⊥AC，且 OP＝2 3.
连接 OB.因为 AB＝BC＝ 22AC，所以△ABC 为等腰直角三角形，且 OB⊥AC，OB＝12AC＝2. 由 OP2＋OB2＝PB2 知，OP⊥OB.
21 届高三上期周测（五）
数学（文科）试题 答案
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。
1．D
2．C
3．B
4．D
5．A
6．C
7．D
8．A
9．C
10．B
11．D
12．D
第 II 卷（非选择题，共 90 分）
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13. 2
14. 2
g(x) = 1 −
1 x2
=
x2 − x2
1
，
当
x
1 时， g(x) 0 ， g(x)
单调递增，
当 0 x 1时， g(x) 0 ， g(x) 单调递减。（12 分）
请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清题号．[选修 4-4： 坐标系与参数方程] 22．（Ⅰ）设 P(, ) ， M (1 ， ) ，
3
5，CH＝OC·MCO·Msin∠ACB＝4
5
5 .
所以点 C 到平面 POM 的距离为4 5 5.
19．解 (1)因为限行分单双号，王先生的车被限行的概率为 0.05，
所以空气重度污染和严重污染的概率应为 0.05×2＝0.1，
由频率分布直方图可知(0.004＋0.006＋0.005＋m)×50＋0.1＝1，解得 m＝0.003.