立体几何存在性问题

立体几何存在性问题
未命名
一、解答题
1．在多面体中，底面是梯形，四边形是正方形，，,面面，。

（1）求证：平面平面；
（2）设为线段上一点,,试问在线段上是否存在一点，使得平面，若存在，试指出点的位置；若不存在，说明理由?
（3）在（2）的条件下，求点到平面的距离.
2．如图,四棱锥中,底面是直角梯形，，，，侧面是等腰直角三角形,,平面
平面，点分别是棱上的点，平面平面
（Ⅰ)确定点的位置，并说明理由；
（Ⅱ）求三棱锥的体积.
3．如图，在长方体中，,点在棱上，，点
为棱的中点，过的平面及棱交于，及棱交于，且四边形为菱形.
（1）证明：平面平面；
(2）确定点的具体位置（不需说明理由），并求四棱锥的体积.
4．如图2，已知在四棱锥中，平面平面，底面为矩形。

（1）求证：平面平面;
(2）若，试求点到平面的距离. 5．如图,三棱锥的三条侧棱两两垂直，，，分别是棱，的中点．
（1）证明：平面平面；
（2）若四面体的体积为，求线段的长．
6．如图，在四棱锥中，，，,。

（1）求证：；
（2)若，，为的中点．
（i)过点作一直线及平行,在图中画出直线并说明理由;
（ii）求平面将三棱锥分成的两部分体积的比．
7．如图1所示，在梯形中,//，且,，分别延长两腰交于点，点为线段上的一点，将沿折起到的位置,使,如图2所示．
(1）求证:；
(2）若，，四棱锥的体积为，求四棱锥的表面积. 8．如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面,．
（1）证明：平面平面；
（2)若,为棱的中点，，，求四面体的体积．
9．如图，在梯形中，，,，四边形是矩形，且平面平面，点在线段上.
（1）求证：平面；
（2)当为何值时，平面？证明你的结论。

10．10．如图,已知菱形的对角线交于点，点为的中点。

将三角形沿线段折起到的位置，如图2所示。

图1图2
(Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）证明：平面平面；
（Ⅲ）在线段上是否分别存在点，使得平面平面？若存在,请指出点的位置，并证明；若不存在，请说明理由。

参考答案
1．（1)见解析。

(2)见解析.（3)。

【解析】分析：(1）在梯形中,过点作作于，可得，所以,由面面,可得出，利用线面垂直的判定定理得平面,进而可得平面平面;（2）在线段上取点,使得，连接，先证明及相似,于是得，由线面平行的判定定理可得结果；（3）点到平面的距离就是点到平面的距离，设到平面的距离为，利用体积相等可得，，解得.
详解：（1）因为面面，面面，,所以面，.
故四边形是正方形，所以。

在中，,∴.，
∴，∴∴.
因为，平面，平面.
∴平面,
平面,∴平面平面。

（2）在线段上存在点，使得平面
在线段上取点，使得，连接。

在中，因为,所以及相似，所以
又平面,平面，所以平面。

(3）点到平面的距离就是点到平面的距离，设到平面的距离为，利用同角相等可得，，可得。

点睛：证明线面平行的常用方法:①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条及已知直线平行的直线,可利用几何体的特征,合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行。

②利用面面平行的性质,即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面.
2．（Ⅰ）见解析(Ⅱ）
【解析】试题分析：(1）根据面面平行的性质得到，,根据平行关系和长度关系得到点是的中点，点是的中点;（2），因为，所以,进而求得
体积。

详解：
（1）因为平面平面，平面平面,
平面平面，所以，又因为，
所以四边形是平行四边形，所以，
即点是的中点．
因为平面平面，平面平面,平面平面,
所以，又因为点是的中点，所以点是的中点，
综上：分别是的中点；
（Ⅱ）因为,所以，又因为平面平面,
所以平面；又因为，
所以．
点睛：这个题目考查了面面平行的性质应用，空间几何体的体积的求法，求椎体的体积，一般直接应用公式底乘以高乘以三分之一，会涉及到点面距离的求法，点面距可以通过建立空间直角坐标系来求得点面距离，或者寻找面面垂直，再直接过点做交线的垂线即可;当点面距离不好求时，还可以等体积转化.
3．（1）见解析（2)为棱上靠近的三等分点，为棱中点，
【解析】分析:(1)要证平面平面，即证平面,即证，；(2）为棱上靠近的三等分点，为棱中点,利用等体积法
即可求得结果。

详解:(1）在矩形中，,
.
又平面，。

，平面.
又平面，平面平面。

（2)为棱上靠近的三等分点,为棱中点，
，所以的面积.
于是四棱锥的体积
.
点睛：求锥体的体积要充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解，注意求体积的一些特殊方法--分割法、补形法、等体积法.①割补法：求一些不规则几何体的体积时,常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决．②等积法:等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积）通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时,这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥）的高，而通过直接计算得到高的数值．
4．(1)见解析；（2)
【解析】分析：(1）由平面平面，根据面面垂直的性质可得平面，由面面垂直的判定定理可得结论；(2）取AD的中点O，则平面，由
,从而利用棱锥的体积公式可得结果。

详解：（1）证明：
．
（2)解：取AD的中点O，则,
，则．
又易知,
所以，解出．
点睛：解答空间几何体中垂直关系时,一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理；证明直线
和平面垂直的常用方法有:（1）利用判定定理；(2）利用判定定理的推论；（3）利用面面平行的性质;（4）利用面面垂直的性质，当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。

5．（1)证明见解析；(2）.
【解析】分析：（1)推导出BE⊥CD,AB⊥CD，从而CD⊥平面ABE,由此能证明平面ABE⊥平面ACD；
（2)取BD的中点G，连接EG,则EG∥BC．推导出BC⊥平面ABD，从而EG⊥平面ABD,由此能求出线段AE的长．
详解：（1）证明：因为，是棱的中点，所以．
又三棱锥的三条侧棱两两垂直,且，
所以平面,则．
因为，所以平面，
又平面，所以平面平面．
（2)解：取的中点，连接，
则．
易证平面，
从而平面，
所以四面体的体积为,
则，
在中，,．
点睛:垂直、平行关系证明中应用转化及化归思想的常见类型.
(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.
（2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直。

（3）证明线线垂直,需转化为证明线面垂直。

6．(1）见解析；（2)见解析，
【解析】分析：(1）取中点,连接，,先证明面，再证明.(2) （i)取中点,连接,，则,即为所作直线，证明四边形为平行四边形即得证。

（ii）先分别计算出两部分的体积，再求它们的比。

详解：（1）证明：(1）取中点，连接,
，为中点，
又，为中点，
又，面
又面，
(2）（i）取中点,连接,，则,即为所作直线，理由如下：
在中、分别为、中点
，且
又，
且，四边形为平行四边形.
（ii),，，面
又在中，，,
又,
面
，。

：（1)本题主要考查空间平行垂直位置关系的证明，考查空间几何体体积的计算，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和空间想象转化能力.(2）对于空间平行垂直位置关系的证明有几何法和向量法两种方法,空间几何体体积的计算有公式法、割补法和体积变换法三种方法.
7．(1)见解析;（2)
【解析】分析：(1）先利用直角三角形和线线平行的性质得到线线垂直，再利用线面垂直的判定定理和性质得到线面垂直和线线垂直；（2）分析四棱锥的各面的形状，利用相关面积公式进行求解．
详解:（1）因为∠C＝90°，即AC⊥BC，且DE∥BC，
所以DE⊥AC，则DE⊥DC，DE⊥DA1，
又因为DC∩DA1＝D，所以DE⊥平面A1DC。

因为A1F⊂平面A1DC,所以DE⊥A1F。

又因为A1F⊥CD，CD∩DE＝D，所以A1F⊥平面BCDE,
又因为BE⊂平面BCDE,所以A1F⊥BE．
（2）由已知DE∥BC，且DE＝BC，得D，E分别为AC，AB的中点，
在Rt△ABC中，，则A1E＝EB＝5，A1D＝DC＝4，
则梯形BCDE的面积S1＝×（6＋3）×4＝18，
四棱锥A1—BCDE的体积为V＝×18×A1F＝12，即A1F＝2,
在Rt△A1DF中，,即F是CD的中点，
所以A1C＝A1D＝4，
因为DE∥BC,DE⊥平面A1DC,
所以BC⊥平面A1DC，所以BC⊥A1C,所以，
在等腰△A1BE中，底边A1B上的高为，
所以四棱锥A1-BCDE的表面积为S＝S1＋＋＋＋
＝18＋×3×4＋×4×2＋×6×4＋×2×2＝36＋4＋2．
点睛：本题考查空间中的垂直关系的转化、空间几何体的表面积等知识，意在考查学生的空间想象能力和数学转化能力．
8．（1）见解析；（2）
【解析】分析：（1）由面面垂直的性质定理得到⊥平面,即，进而得到平面
平面，（2）由等体积法求解，.
详解:（1）证明：∵四边形是矩形，∴CD⊥BC.
∵平面PBC⊥平面ABCD,平面PBC∩平面ABCD=BC，CD平面ABCD，
∴CD⊥平面PBC，∴CD⊥PB。

∵PB⊥PD，CD∩PD=D，CD、PD平面PCD，∴PB⊥平面PCD.
∵PB平面P AB，∴平面P AB⊥平面PCD。

（2）取BC的中点O，连接OP、OE。

∵平面，∴,∴，
∵，∴．
∵平面PBC⊥平面ABCD，平面PBC∩平面ABCD=BC，PO平面PBC,
∴PO⊥平面ABCD，∵AE平面ABCD，∴PO⊥AE。

∵∠PEA=90O, ∴PE⊥AE。

∵PO∩PE=P，∴AE⊥平面POE，∴AE⊥OE。

∵∠C=∠D=90O, ∴∠OEC=∠EAD,
∴，∴．
∵，，,∴，
．
点睛：本题主要考查面面垂直，线面垂直,考查三棱锥体积的求法，考察学生分析解决问题的能力，考查学生的空间想象能力。

9．（1)见解析；(2）.
【解析】分析：（1)在梯形中，利用梯形的性质得,再根据平面平面,利用面面垂直的性质定,即可证得平面;
（2）在梯形中,设，连接，利用比例式得，进而得，利用线面平行的判定定理，即可得到平面.
详解：（1）在梯形中,∵，，，
∴四边形是等腰梯形,且,，
∴，∴.
又∵平面平面，又平面平面,∴平面。

（2）当时，平面，在梯形中，设,连接，则，∵，而，∴，
∴,∴四边形是平行四边形,∴，又∵平面，平面，∴平面。

点睛：本题考查线面位置关系的判定及证明，熟练掌握空间中线面位置关系的定义、判定、几何特征是解答的关键,其中垂直、平行关系证明中应用转化及化归思想的常见类型：(1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行;（2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直;（3）证明线线垂直,需转化为证明线面垂直．
10．(Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ)和的中点，证明见解析。

【解析】分析：（Ⅰ）由菱形的性质可得，又平面，
所以平面；（Ⅱ）先证明四边形为平行四边形,可得. 又由（Ⅰ）得，
平面, 从而得平面，由平面可得结论；（Ⅲ）别取和的中点，
由三角形中位线定理以及平行四边形的性质可得及,由面面平行的判定定理可得结论.
详解：（Ⅰ）证明：折叠前,因为四边形为菱形，所以；
所以折叠后,,
又平面，
所以平面
（Ⅱ）因为四边形为菱形，
所以。

又点为的中点,
所以.
所以四边形为平行四边形.
所以。

又由（Ⅰ）得，平面，
所以平面。

因为平面,
所以平面平面。

(Ⅲ）存在满足条件的点，且分别是和的中点。

如图,分别取和的中点。

连接。

因为四边形为平行四边形,
所以。

所以四边形为平行四边形.
所以。

在中,分别为中点,
所以。

又平面，平面,
所以平面平面.
点睛：解答空间几何体中垂直关系时,一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理；证明直线
和平面垂直的常用方法有:（1)利用判定定理；（2)利用判定定理的推论；（3)利用面面平行的性质；（4)利用面面垂直的性质，当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。